2024-2025广东省八校联盟高二上学期教学质量检测数学试卷（二）（含答案）

2024-2025学年广东省八校联盟高二上学期教学质量检测数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知直线和互相垂直，则实数( )
A. B. C. D.
3.圆与圆的公共弦长为( )
A. B. C. D.
4.在三棱锥中，为的中点，则( )
A. B.
C. D.
5.已知离心率为的双曲线与椭圆有相同的焦点，则( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与相交于，两点，若的面积是面积的倍，则( )
A. 或 B. 或 C. D.
7.设是椭圆上的一点，，为焦点，，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线的方程为，则下列说法正确的是( )
A. 存在实数，使得曲线为圆
B. 若曲线为椭圆，则
C. 若曲线为焦点在轴上的双曲线，则
D. 当曲线是椭圆时，曲线的焦距为定值
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若非零向量，，满足，，则
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 若空间向量，，则在上的投影向量为
D. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则或
11.在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的一个动点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使得平面平面
C. 当时，直线与所成角的余弦值为
D. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，若，，三向量共面，则实数 ．
13.若圆与圆没有公共点，则实数的取值范围是 ．
14.过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心在直线和直线的交点上，且圆过点．
求圆的方程
若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系．
16.本小题分
已知圆．
若直线经过点，且与圆相切，求直线的方程
设点，点在圆上，为线段的中点，求的轨迹的长度．
17.本小题分
由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，，，为与的交点，平面．
求证：平面
若二面角的正切值为，求平面与平面夹角的大小．
18.本小题分
已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点
求双曲线的方程
直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．
19.本小题分
已知椭圆经过，两点．
求椭圆的方程
斜率不为的直线与椭圆交于，两点，且点不在上，，过点作轴的垂线，交直线于点，与椭圆的另一个交点为，记的面积为，的面积为，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：联立直线和直线，解得其交点为，
故圆的圆心坐标为，
因为点在圆上，由，可知圆的半径为，
所以圆的方程为：
由圆的方程为可知圆的圆心为，半径为，
因为，
所以两圆相交．
16.解：圆的标准方程为，
圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，的方程为，
圆心到的距离，所以，
直线与圆相切，符合题意，
当直线的斜率存在时，
设的方程为，即，
所以圆心到的距离，
由，得，解得，
所以直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或；
设，，
因为为线段的中点，
所以，得
因为点在圆上，
所以，
化简得，
即的轨迹方程为，
所以的轨迹的长度为．
17.解：证明：法一：将几何体补成四棱柱 ，
连接交于，连接，
因为 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ， ，
又 ，
故 ， ，

故四边形 为平行四边形，
故 ，
又 平面 ， 平面 ，
平面；
法二：四边形 是菱形，
，
又 平面 ， 平面 ，
， ，
故 两两垂直，
以为原点，直线 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
其中 ，
则 ，
设 ，
由 得 ，
由 得 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则
取 ，得 ，
，
又 平面 ，
平面 ；
设 ，取 的中点 ，
则 ，
又四边形 是菱形， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ， 平面 ，
故 面 ，
因为 平面 ，
则 ，
因为 且 ，
所以四边形 为平行四边形，故 ，
所以 ，
又 ，故四边形 为平行四边形，
故 ， ，故 ．
所以 为二面角 的平面角．
则 ，其中 ，故 ，
故 ，
设平面的法向量为 ，
则
取 ，得 ，
，
平面 与平面 夹角的余弦值为 ，
平面 与平面 夹角为 ．

18.解：由题意，知，解得
故双曲线的方程为．
设，
则，两式相减，得，
整理得．
因为线段的中点坐标为，所以，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即．
经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为．

19.解：将代入椭圆方程中，
解得
则椭圆的方程为；
当直线轴时，为钝角三角形，且，不满足题意．
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，因为点不在上，所以，
设，由，可得，
所以，
由化简得，
．
，
所以
，
则，
整理得，因为，所以，
所以直线的方程为，恒过点．
由题意和对称性可知，
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，
．

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