浙教版数学八年级下册第2章一元二次方程 综合素质评价（含答案）

第2章综合素质评价
一、选择题（本题有10小题,每小题3分,共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
3．关于的方程能用直接开平方法求解的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于的一元二次方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
5．若，是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．56
6．劳动教育已纳入国家人才培养全过程，某农村新型农场2022年油菜的亩产量为400千克，通过试验创新，2024年亩产量增加到484千克，设平均每年增产的百分率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．[2024·杭州富阳区一模]在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为.根据这个规则，方程的解是（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．若某三角形的两边长分别为7和4，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．13 B．13或20 C．12 D．20
9．有两个正方形,（如图①），现将放在的内部如图②；再将,无缝隙且无重叠放置后构造的新正方形如图③.若图②和图③中阴影部分的面积分别为1和7，则图③所示的大正方形的面积为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
10．[2024·杭州上城区月考]对于一元二次方程，下列说法：
①若，则方程必有一根为；②若方程 有两个不相等的实根，则方程 无实根；③若方程 的两根分别为,，且满足，则方程 必有实根，；④若 是一元二次方程 的根，则.其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
二、填空题（本题有6小题,每小题4分,共24分）
11．已知一个一元二次方程的一个根为，二次项系数是1，则这个一元二次方程可以是________________________________________（只需写出一个方程即可）.
12．已知是方程的一个根，则______.
13．[2024·宁波月考]已知，则的值是______.
14．已知，为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则________.
15．如图，学校准备修建一个面积为的矩形花园，它的一边靠墙，其余三边利用长的围栏围起，已知墙长，则围成矩形花园的长为__________.
16．已知点，的坐标分别为，，点在直线上，若为等腰三角形，则这样的点共有______个.
三、解答题（本题有8小题,共66分）
17．（6分）解方程：
（1） ；
（2） .
18．[2024·宁波北仑区期末]（6分）小明同学在解一元二次方程时，他是这样解的:
解方程：.
解：,第①步
，第②步
,第③步
,第④步
.第⑤步
（1） 小明的解法从第______步开始出现错误；
（2） 请写出正确的解答过程.
19．（8分）杭州丝绸，质地轻软，色彩绮丽，品种繁多，唐代诗人白居易的诗句“红袖织绫夸柿蒂，青旗沽酒趁梨花”道出了当时杭州丝绸的水准之高.某网店推出了一款独特而精美的丝绸工艺品，该工艺品平均每月可以销售120件，每件盈利200元.为了给更多人提供了解和热爱丝绸技艺的机会，决定降价促销，且尽可能让利消费者.通过市场调研发现,每件每降价20元,则每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元,求每件应降价多少元.
20．（8分）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”.
（1） 下面方程是“完美方程”的是______；（填序号）
；；.
（2） 已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值.
21．[2024·绍兴期末]（8分）根据以下素材，探索完成任务.
素材 某奶茶店在试营业期间发现每杯奶茶的盈利与卖出的数量构成一定的关系，当卖出10杯时，每杯奶茶可盈利3元.以同样的材料制作，若每多卖出一杯，平均每杯奶茶盈利就增加0.1元.
任务一．若某天在卖出10杯奶茶的基础上，多卖出杯奶茶，则当天每杯奶茶可盈利________________元.（用含有 的代数式表示）
任务二．某天该奶茶店总盈利为630元，则当天卖出了多少杯奶茶？
22．（8分）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外的边利用学校现有的总长为的铁栏围成，开有两个长为的木质门.
（1） 求线段的取值范围.
（2） 若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽.
（3） 能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
23．[2024·杭州拱墅区期中]（10分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，.
（1） 求实数的取值范围.
（2） 用含的代数式表示.
（3） 是否存在实数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，说明理由.
24．（12分）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要利用配方法将代数式配成完全平方根.
例如:.
,
，即.
试利用“配方法”解决下列问题：
（1） 填空：（________）______，
当______时，代数式有最__（填“大”或“小”）值，这个最值为______;
（2） 比较代数式与的大小;
（3） 若代数式的最小值为0，求的值.
【参考答案】
第2章综合素质评价
一、选择题（本题有10小题,每小题3分,共30分）
1．C
2．C
3．D
4．D
5．D
6．A
7．C
8．D
9．B
【点拨】设正方形的边长为.
将放在的内部如题图②所示，且阴影部分的面积为1，
易得阴影部分为正方形，且边长为1，
正方形的边长为.
将,无缝隙且无重叠放置后构造的新正方形如题图③所示，
题图③中大正方形的边长为.
题图③中阴影部分的面积为7，
，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
题图③中大正方形的边长为.
题图③中大正方形的面积为15.
10．D
【点拨】①若，则方程必有一根为，故正确；
方程有两个不相等的实根，
.
在方程中，.
方程必有两个不相等的实根.故错误；
方程的两根分别为，，且满足，,.
,.
方程必有实根，.故正确；
④若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得，
.
.故正确.
综上，正确的是①③④.
二、填空题（本题有6小题,每小题4分,共24分）
11．（答案不唯一）
12．3
13．2
14．
15．
16．5
【点拨】因为点在直线上，所以设.
因为点，的坐标分别为，，
所以①当时，，故有一个点；
②当时，有，解得，故有两个点；
③当时，有，
解得，故有两个点.
综上所述，这样的点共有5个.
三、解答题（本题有8小题,共66分）
17．（1） 【解】，
，
，
，.
（2） ，
移项，得，
即，
因式分解，得，
或，
，.
18．（1） ④
（2） 【解】，
，
，
，
，.
19．【解】设每件应降价元，则每件的销售利润为元，每月可售出件.
根据题意，得，
整理，得，
解得，.
又 要尽可能让利消费者，.
每件应降价80元.
20．（1） ③
（2） 【解】是关于的“完美方程”，
.
原方程为.
又是此“完美方程”的一个根，
，即，
解得或.
21．任务一
任务二 【解】依题意得，，
整理得，，
解得，（不合题意，舍去），
（杯）.
故当天卖出了70杯奶茶.
22．（1） 【解】设线段的长为，则的长为，
根据题意得，解得，
线段的取值范围为.
（2） 根据题意，得，
解得，.
当时，；
当时，，不符合题意，舍去.
若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为，.
（3） 不能围成面积为的自行车车棚.理由如下：
根据题意，得，
整理得.
，
方程无实数根.
不能围成面积为的自行车车棚.
23．（1） 【解】 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
整理得，.
（2） 由根与系数的关系得，，
.
（3） 存在.由（1）可得，
.
又，，.
可转化为，
两边同时平方，得,
即,
，
整理得，解得.
存在实数，使得.
24．（1） ； 2； 2； 小； 2
（2） 【解】.
，，
.
（3） .
原代数式的最小值为0，,
即，配方，得，
，或.
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