人教版九年级数学下名师点拨与训练第28章 锐角三角函数第28章本章综合素质测评（含解析）

人教版九年级数学下名师点拨与训练
第28章 锐角三角函数
第28章 本章综合素质测评
学校_____________班级_________ 姓名_____________ 考号____________
时间120分钟 满分120分钟
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值( )
A.都扩大到原来的3倍 B.都缩小为原来的3倍
C.都保持原来的数值不变 D.有的变大，有的缩小
2．已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣＝0，则∠A的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在CB的延长线上，且BD=BA=2AC，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
4．如图，在中，是斜边上的高.若，则的值为( )
A. B. C. D.
5．侦察机在P观测目标R俯角为30°，向东航行2分钟到达点Q，此时观测目标R俯角为45°，符合条件的示意图是( ).
A. B.
C. D.
6．如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为( )
A. B. C. D.
7．如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则( )
A. B. C. D.
8．如图，要测量小河两岸A，B两点的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于( )
A.50米 B.米 C.200米 D.米
9．如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6 cm（如箭头所示），则木桩上升了( )
A.6sin15° cm B.6cos15° cm C.6tan15° cm D. cm
10．如图，中，，，，，则( )
A. B.
C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，在中，，，D为上一点，将沿折叠后，点C恰好落在斜边的中点E处，则折痕的长为___.
12．如图，的三个顶点在上，圆的半径为7，，则弦BC的长度为___________.
13．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离BC为4米，，则梯子的长是__________米.
14．在中，若，则∠C的度数是_________________
15．如图, 点 A,C,D,B在 上, ,, 若,, 则 AD的长 是__________.
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）计算或化简:
(1);
(2).
17．（8分）如图,在中,是边上的中线,是锐角,且.
(1)求的度数与的值;
(2)求的值.
18．（8分）在中,分别是的对边,根据下列条件,解这个直角三角形.
(1);
(2).
19．（9分）如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E.
(1)求证：AC平分；
(2)若，B为OE的中点，求的值；
(3)在(2)的前提下，若，垂足为F，求CF的长.
20．（8分）在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？
思考并解答下列问题：
（1）观察图①~④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是__________.
（2）如图⑤，在中，已知，，，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由.（参考数据：，，）
21．（8分）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A,B养殖场捕捞海产品,经测量,A在灯塔C的南偏西方向,B在灯塔C的南偏东方向,且在A的正东方向,米.
(1)求B养殖场与灯塔C的距离(结果保留根号)；
(2)甲组完成捕捞后,乙组还未完成捕捞,甲组决定前往B处协助捕捞,若甲组航行的平均速度为600米/每分钟,请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？(参考数据：,)
22．（12分）如图，甲、乙两艘巡洋舰同时从点A出发，甲向正西方向航行，乙向正南方向航行，甲的航行速度是乙航行速度的2倍，乙的航行速度为，当乙行驶到达B点时，发现B点的西南方向，距离B点的C处有异常，立即按原速向C处航行，并通知航行到D点的甲减慢航行速度，以便支援.甲接到通知后，速度减慢到乙航行速度的.当乙到达C处时，甲航行到处，求此时甲、乙之间的距离.
23．（12分）一路文明一路情, 魅力轻轨轻松行, 重庆轨道交通第三轮规划线路正在如火如茶地建设中. 如图, 工程队在由南向北的方向上将轨道线路铺设到A 处时, 测得文史陈列馆 C在A 的北偏西方向上的 600 米处,再铺设 276 米到达B 处.
(1)请通过计算确定C 在 B的什么方向上;
(2)文史陈列馆C 周围若干米内需要建设文化广场, 不能铺设轨道, 工程队通过计算后发现, 轨道线 路铺设到 B处时, 只需沿北偏东 的BE 方向继续铺设, 就能使轨道线路恰好避开文化广场, 请 计算文史陈列馆C 周围至少多少米内不能铺设轨道.
(参考数据:，，，. 结果精确到 1 米)
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第28章 锐角三角函数
第28章 本章综合素质测评
学校_____________班级_________ 姓名_____________ 考号____________
时间120分钟 满分120分钟
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值( )
A.都扩大到原来的3倍 B.都缩小为原来的3倍
C.都保持原来的数值不变 D.有的变大，有的缩小
答案：C
解析：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变.
故选：C.
2．已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣＝0，则∠A的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
【答案】A
【详解】
解：∵3tanA﹣＝0，
∴tanA＝，
∴∠A＝30°．
故选：A．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在CB的延长线上，且BD=BA=2AC，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
【答案】A
【详解】
在Rt△ABC中，BA=2AC，
∴∠ABC=30°，∠BAC=60°，
∵设BD=BA=2x，
∴AC=x，BC=x，
∴DC=DB+BC=2x+x，
则tan∠DAC=，
故选A．
4．如图，在中，是斜边上的高.若，则的值为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：∵是斜边上的高，
∴是直角三角形，.
∵在中，，
∴设，，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴.
故选B.
5．侦察机在P观测目标R俯角为30°，向东航行2分钟到达点Q，此时观测目标R俯角为45°，符合条件的示意图是( ).
A. B.
C. D.
答案：A
解析：根据题意，得示意图
，与选项A相符.
故选：A.
6．如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：由题知为直角三角形，，其中，，
，
故选：B.
7．如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：如图，取格点D，连接，，则B在上，
，，，
，，，
，
；
故选：C.
8．如图，要测量小河两岸A，B两点的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于( )
A.50米 B.米 C.200米 D.米
答案：D
解析：，
，
米，，
，
小河宽（米）.
故选：D.
9．如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6 cm（如箭头所示），则木桩上升了( )
A.6sin15° cm B.6cos15° cm C.6tan15° cm D. cm
答案：C
解析：分析：运用三角函数定义求解.
tan15°=.
木桩上升了6tan15°cm.
故选：C.
点评：考查三角函数的应用.
10．如图，中，，，，，则( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：，，，，
，
则，
而，
故，
，
，
则.
故选：C.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，在中，，，D为上一点，将沿折叠后，点C恰好落在斜边的中点E处，则折痕的长为___.
答案：
解析：方法一：将沿折叠后，点C恰好落在斜边的中点E处，
，，，
，，
.
又，
，
，
.
方法二：在中，，
设，则，
.
在中，，
即，
解得，
即.
故答案为：.
12．如图，的三个顶点在上，圆的半径为7，，则弦BC的长度为___________.
答案：
解析：如图，作于点D，连接OB，OC.
，.
，，，
...
13．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离BC为4米，，则梯子的长是__________米.
答案：/
解析：在中，BC＝4米，，
AB＝＝＝（米），
故答案为：.
14．在中，若，则∠C的度数是_________________
答案：/度
解析：，，
，，
，，
，，
；
故答案为：.
15．如图, 点 A,C,D,B在 上, ,, 若,, 则 AD的长 是__________.
答案：
解析：如图, 连接AB, 过点C 作, 垂足为E.
易知，,
，，
，
，
，，
，，
，
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）计算或化简:
(1);
(2).
答案：(1)
(2)
解析：(1)原式.
(2)原式.
17．（8分）如图,在中,是边上的中线,是锐角,且.
(1)求的度数与的值;
(2)求的值.
答案：(1)45°；9
(2)2
解析：(1)如图,作于E,设,
在中,，
,
,
,解得,
.
在中,,
,
为等腰直角三角形,
,
.
(2)为中线,
,
,
,
即的值为2.
18．（8分）在中,分别是的对边,根据下列条件,解这个直角三角形.
(1);
(2).
答案：(1)8
(2)2
解析：(1),
由,知.
由,知.
(2)由,得,
.
,
.
19．（9分）如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E.
(1)求证：AC平分；
(2)若，B为OE的中点，求的值；
(3)在(2)的前提下，若，垂足为F，求CF的长.
答案：(1)见解析
(2)
(3)
解析：(1)连接OC，如图.
与半圆切于点C，O为圆心，.
，，.，
，，即AC平分.
(2)为OE的中点，.
又，，.
(3)，.，，，.
20．（8分）在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？
思考并解答下列问题：
（1）观察图①~④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是__________.
（2）如图⑤，在中，已知，，，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由.（参考数据：，，）
答案：（1）根据全等三角形的判定可知题图③，题图④的三角形唯一确定，因此可以求出其余未知元素，故填③④.
（2）能.过点C作于点D，如图所示.
在中，，，
，
.
.
在中，，
即BC的长度为.
解析：
21．（8分）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A,B养殖场捕捞海产品,经测量,A在灯塔C的南偏西方向,B在灯塔C的南偏东方向,且在A的正东方向,米.
(1)求B养殖场与灯塔C的距离(结果保留根号)；
(2)甲组完成捕捞后,乙组还未完成捕捞,甲组决定前往B处协助捕捞,若甲组航行的平均速度为600米/每分钟,请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？(参考数据：,)
答案：(1)米
(2)甲组能在9分钟内到达B处
解析：(1)如图,过点C作于点D,
根据题意得：,,
∴,,
∴米,
∴米,
即B养殖场与灯塔C的距离为米；
(2)米,
∴米,
∴甲组到达B处所需时间为分钟分钟,
∴甲组能在9分钟内到达B处.
22．（12分）如图，甲、乙两艘巡洋舰同时从点A出发，甲向正西方向航行，乙向正南方向航行，甲的航行速度是乙航行速度的2倍，乙的航行速度为，当乙行驶到达B点时，发现B点的西南方向，距离B点的C处有异常，立即按原速向C处航行，并通知航行到D点的甲减慢航行速度，以便支援.甲接到通知后，速度减慢到乙航行速度的.当乙到达C处时，甲航行到处，求此时甲、乙之间的距离.
答案：
解析：如图，过点C分别作于点E，，交AB的延长线于点F，则四边形AECF为矩形，
，.
由题意可知，，，，
，
.
在中，，
，，
.
在中，由勾股定理，得.
此时甲、乙之间的距离为.
23．（12分）一路文明一路情, 魅力轻轨轻松行, 重庆轨道交通第三轮规划线路正在如火如茶地建设中. 如图, 工程队在由南向北的方向上将轨道线路铺设到A 处时, 测得文史陈列馆 C在A 的北偏西方向上的 600 米处,再铺设 276 米到达B 处.
(1)请通过计算确定C 在 B的什么方向上;
(2)文史陈列馆C 周围若干米内需要建设文化广场, 不能铺设轨道, 工程队通过计算后发现, 轨道线 路铺设到 B处时, 只需沿北偏东 的BE 方向继续铺设, 就能使轨道线路恰好避开文化广场, 请 计算文史陈列馆C 周围至少多少米内不能铺设轨道.
(参考数据:，，，. 结果精确到 1 米)
答案： (1) 北偏西方向上
(2) 323 米
解析：(1)如图, 过点C 作 于点F, 则，
在中, ,
，，
，
，
，
，
，
C在B的西北方向上(或北偏西方向上)
(2)如图, 过点C 作 于点G, 则,
，，
在中, ,
，
在中, ,
，，
（米）
答: 文史陈列馆 周围至少 323 米内不能铺设轨道.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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