2023-2024广东省深圳市九年级（下）期中数学考试模拟试卷（含答案）

2023-2024学年广东省深圳市九年级（下）期中数学考试模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列四个数中，是无理数的是（　　）
A．3.14 B． C． D．
2．（3分）光明科学城规划总面积达99000000平方米，将对标全球最高标准、最好水平．其中99000000用科学记数法表示为（　　）
A．9.9×107 B．99×107 C．9.9×106 D．0.99×108
3．（3分）若x＜y，则下列不等式中正确的是（　　）
A．x﹣6＞y﹣6 B．5x＞5y C．x+2＞y+2 D．
4．（3分）下列调查最适合于普查的是（　　）
A．华为公司要检测一款新手机的待机时长
B．市图书馆了解全市学生寒假期间最喜爱的图书种类
C．新生入学，班主任李老师了解班内每位学生家庭情况
D．调查全市人民对政府服务的满意程度
5．（3分）如图，CO⊥AB，垂足为O，∠DOE＝90°，下列结论不正确的是（　　）
A．∠1+∠2＝90° B．∠2+∠3＝90° C．∠1+∠3＝90° D．∠3+∠4＝90°
6．（3分）一次函数y＝ax+a与二次函数y＝ax2+ax+1的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
7．（3分）如图，把线段AB经过平移得到线段CD，其中A，B的对应点分别为C，D．已知A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（2，1），则点D的坐标为（　　）
A．（1，4） B．（1，3） C．（2，4） D．（2，3）
8．（3分）如图1，正方形ABCD中，点E是边AD的中点，点P以1cm/s的速度从点A出发，沿A→B→C运动到点C后，再沿线段CA到达点A．图2是点P运动时，△PEC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的部分图象．根据图象判断：下列能表示点P在整个运动过程中y随x变化的完整图象为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）一元二次方程x（2x﹣1）＝2x+3化为一般形式为 　 　．
10．（3分）某超市九月份的营业额为50万元，十一月份的营业额为72万元．则每月营业额的平均增长率为　 　．
11．（3分）若关于x的分式方程无解，则m的值为　 　．
12．（3分）如图所示，△ABC为等边三角形，点A的坐标为（0，4），点B在x轴上，点C在反比例函数y的图象上，则点B的坐标为 　 　．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，则NG CG的值为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（6分）．
15．（7分）北关中学为了解本校中考体育情况，随机抽取了部分学生的体育成绩进行统计分析，发现最低分为45分，且成绩为45分的学生占抽查人数的10%，现将抽查结果绘制成了如下不完整的折线统计图，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）此次抽查的学生人数为　 　人，抽查的学生体育考试成绩的中位数是　 　分，抽查的女生体育考试成绩的平均数是　 　分；
（2）补全折线统计图；
（3）为了今后中考体育取得更好的成绩，学校决定分别从成绩为50分的男生和女生中各选一名参加“经验座谈会”，若成绩为50分的男、女生中各有两名体育特长生，请用列表或画树状图的方法求出所选的两名学生刚好都不是体育特长生的概率．
16．（8分）今年，深圳市的新冠病毒疫情来势汹汹，但经过全市人民的团结一心、共同抗击，已经完全控制住了疫情发展．期间也涌现出了不少的先进人物和事迹，我校准备大力宣传，需印制若干份宣传资料印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示：
（1）填空：
甲种收费方式的函数关系式是 　 　，乙种收费方式的函数关系式是 　 　．
（2）我校某年级需印制100～650（含100和650）份宣传资料，选择哪种印刷方式较合算？
17．（8分）如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．
（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长 　 　米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．
18．（8分）在图1至图3中，⊙O的直径BC＝30，AC切⊙O于点C，AC＝40，连接AB交⊙O于点D，连接CD，P是线段CD上一点，连接PB．
（1）如图1，当点P，O的距离最小时，求PD的长；
（2）如图2，若射线AP过圆心O，交⊙O于点E，F，求tanF的值；
（3）如图3，作DH⊥PB于点H，连接CH，直接写出CH的最小值．
19．（12分）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为x m，BC为y m．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y（x＞0）的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 　 　，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝　 　m，BC＝　 　m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
【类比探究】
（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；
【问题延伸】
当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y（x＞0）的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
20．（12分）综合与实践
【问题情境】在数学活动课上，同学们以等边三角形为背景，探究动点运动过程中产生的数学问题．已知△ABC是等边三角形，AB＝4，点D是射线BC上的一点，以AD为边作矩形ADEF（顶点A，D，E，F按逆时针顺序排列），其中AD＝2DE，直线EF分别与射线BC、直线AC交于点M，N．
【初步探究】针对老师给出的问题背景，小敏画出了点D与点B重合时的图形，如图1，并提出如下问题，请你解答：
（1）猜想EM与FN的数量关系，并说明理由；
【深入思考】
（2）在小敏研究的基础上，小捷同学画出了点N恰好是EF的中点时的图形，如图2，求此时的值；
【拓展延伸】
（3）在点D运动过程中，直接写出当CN＝2CM时的值．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D C C C A A
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．【解答】解：A．3.14是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．2，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
2．【解答】解：将数99000000用科学记数法表示为9.9×107．
故选：A．
3．【解答】解：A、∵x＜y，
∴x﹣6＜y﹣6，
故A不符合题意；
B、∵x＜y，
∴5x＜5y，
故B不符合题意；
C、∵x＜y，
∴x+2＜y+2，
故C不符合题意；
D、∵x＜y，
∴，
故D符合题意；
故选：D．
4．【解答】解：A．华为公司要检测一款新手机的待机时长，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
B．市图书馆了解全市学生寒假期间最喜爱的图书种类，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
C．新生入学，班主任李老师了解班内每位学生家庭情况，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；
D．调查全市人民对政府服务的满意程度，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．【解答】解：如图，∵CO⊥AB，
∴∠BOC＝∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
∴结论不正确的是：∠1+∠3＝90°，
故选：C．
6．【解答】解：∵一次函数y＝ax+a，
∴当x＝﹣1时，y＝0，
即一次函数y＝ax+a图象过点（﹣1，0），
∴选项D不符合题意；
∵二次函数y＝ax2+ax+1，
∴对称轴为：x，
∴故选项A不符合题意；
∵二次函数y＝ax2+ax+1的图象开口向上，
∴a＞0，
∴当a＞0时，一次函数y＝ax+a图象呈上升趋势，
∴故选项B不符合题意，
故选：C．
7．【解答】解：∵A（﹣1，0）的对应点C的坐标为（2，1），
∴平移规律为横坐标加3，纵坐标加1，
∵点B（﹣2，3）的对应点为D，
∴D的坐标为（1，4）．
故选：A．
8．【解答】解：∵函数图象经过点（4，0），
∴AB+BC＝1×4＝4（cm），
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，
∵点E是边AD的中点，
∴DE＝AE＝1cm，
当点P在AB上运动时，即0＜x≤2时，
AP＝x cm，BP＝（2﹣x）cm，
y＝S正方形ABCD﹣S△ECD﹣S△AEP﹣S△PCB
＝2×21×21 x2×（2﹣x）
x+1，
∵k0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，即点P与点B重合时，y最大＝2；
当点P在BC上运动时，
这时△PEC的高不变，底边CP越来越小，
∴△PEC的面积也越来越小，
即y越来越小．
综上所述，点P运动时，△PEC的面积的最大值是2，则a＝2．由此可排除C，D．
当点P在CA上时，CP＝（x﹣4）cm，
过点E作EM⊥AC于点M，则EMcm，
∴y （x﹣4）
x，是一条直线．由此可排除B．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．【解答】解：x（2x﹣1）＝2x+3，
去括号：2x2﹣x＝2x+3，
移项得：2x2﹣x﹣2x﹣3＝0，
合并得：x2﹣3x﹣3＝0．
故答案为：x2﹣3x﹣3＝0．
10．【解答】解：设增长率为x，根据题意得50（1+x）2＝72，
解得x＝﹣2.2（不合题意舍去），x＝0.2，
所以每月的增长率应为20%，
故答案为：20%．
11．【解答】解：①分母为0，即是x＝3，
将方程可转化为x﹣2m（x﹣3）＝m，
当x＝3时，m＝3．
②分母不为0，整理得：x﹣m＝2mx﹣6m，
因为方程无解，所以x＝2mx，﹣m≠﹣6m，
解得：m．
故答案为：3或．
12．【解答】解：如图，作CD⊥AB于D，CG⊥x轴于G，过D点作EF∥OB，交y轴于E，交CG于F，
∵△ABC是等边三角形，CD⊥AB，
∴BD＝AD，
设点C的坐标为（x，），点B的坐标为（a，0），
∵A（0，4），
∴AB的中点D的坐标为（，2）；
∵CD⊥AB，
∴∠ADE+∠CDF＝90°，
∵∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠AED＝∠CFD＝90°，
∴△AED∽△DFC，
∴，即tan60°，
整理，可得x2①，2a②，
由①②整理得，a2+4a﹣33＝0
解得a1＝2，a2（舍去），
∴B（2，0），
故答案为（2，0）．
13．【解答】解：如图，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，
∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，
∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，
∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，
∵∠CMN＝∠CBN＝90°，
∴M、N、B、C四点共圆，
∴∠MCN＝45°，
∴∠NCH＝45°，
∴△MCG≌△HCG（SAS），
∴MG＝HG，
∵BG：MG＝3：5，
设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，
在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，
∵正方形ABCD的边长为，
∴BD＝12，
∴DM+MG+BG＝12a＝12，
∴a＝1，
∴BG＝3，MG＝5，
∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，
∴△MGN∽△CGB，
∴，
∴CG NG＝BG MG＝15．
故答案为：15．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．【解答】解：原式＝5﹣42﹣7
．
15．【解答】解：（1）抽查的学生人数为：（3+2）÷10%＝50人；
由图可知，得分为45分的人数为：3+2＝5，
得分为46分的人数为：2+4＝6，
得分为47分的人数为：4+3＝7，
得分为48分的人数为：3+4＝7，
得分为49分的人数为：9+7＝16，
所以，第25人的得分为48分，第26人的得分为49分，
中位数为48.5；
得分50分的女生人数为：50﹣5﹣6﹣7﹣7﹣16﹣4＝50﹣45＝5人．
所以，女生成绩的平均数为：48；
故答案为：50，48.5，48；
（2）女生得分50分的有5人，所以补全图形如图；
（3）设得分50分的男生分别为男1、男2、男3、男4，其中男1、男2是体育特长生，
得分50分的女生分别为女1、女2、女3、女4、女5，其中女1、女2是体育特长生，
列表如下：
由表可知，一共有20种等可能情况，其中都不是体育特长生的有6种情况，
所以，P（都不是体育特长生）．
16．【解答】解：（1）设甲种收费方式的函数关系式为y＝kx+b，
把（0，6），（100，16）分别代入得，
解得，
所以甲种收费方式的函数关系式为y＝0.1x+6（x≥0），
设乙种收费方式的函数关系式为y＝mx，
把（100，12）代入得100m＝12，解得m＝0.12，
所以乙种收费方式的函数关系式为y＝0.12x（x≥0）；
故答案为：y＝0.1x+6（x≥0）；y＝0.12x（x≥0）．
（2）当0.1x+6＞0.12x时，解得x＜300，
当0.1x+6＝0.12x时，解得x＝300，
当0.1x+6＜0.12x时，解得x＞300，
所以当100≤x＜300时，选择乙种收费方式较合算；
当x＝300时，两种收费方式一样；
当300≤x≤650时，选择甲种收费方式较合算．
17．【解答】解：（1）BC＝22+2﹣3x＝24﹣3x．
故答案为（24﹣3x）；
（2）x（24﹣3x）＝45，
化简得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝5，x2＝3．
当x＝5时，24﹣3x＝9＜14，符合要求；
当x＝3时，24﹣3x＝15＞14，不符合要求，舍去．
答：花圃的宽为5米．
18．【解答】解：（1）如图1，连接OP，
∵AC切⊙O于点C，
∴AC⊥BC．
∵BC＝30，AC＝40，
∴AB＝50．
由S△ABCAB CDAC BC，
即，
解得CD＝24，
当OP⊥CD时，点P，O的距离最小，此时．
（2）如图2，连接CE，
∵EF为⊙O的直径，
∴∠ECF＝90°．
由（1）知，∠ACB＝90°，
由AO2＝AC2+OC2，得（AE+15）2＝402+152，
解得．
∵∠ACB＝∠ECF＝90°，
∴∠ACE＝∠BCF＝∠AFC．
又∠CAE＝∠FAC，
∴△ACE∽△AFC，
∴．
∴．
（3）CH的最小值为．
解：如图3，以BD为直径作⊙G，则G为BD的中点，DG＝9，
∵DH⊥PB，
∴点H总在⊙G上，
∵CD＝24，BC＝30，∠BDC＝90°，
∴BD＝18，
∴DG＝9，
∴GH＝9，
∴当点C，H，G在一条直线上时，CH最小，
此时，，，
即CH的最小值为．
19．【解答】解：（1）将反比例函数y与直线l1：y＝﹣2x+10联立得
，
∴2x+10，
∴x2﹣5x+4＝0，
∴x1＝1，x2＝4，
∴另一个交点坐标为（4，2），
∵AB为x m，BC为y m，
∴AB＝4，BC＝2．
故答案为：（4，2）；4；2；
（2）不能围出；
y＝﹣2x+6的图象，如答案图中l2所示：
∵l2 与函数 图象没有交点，
∴不能围出面积为 8m2的矩形．
（3）如答案图中直线l3所示：
将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8．
（4）∵AB和BC的长均不小于1m，
∴x≥1，y≥1，
∴1，
∴x≤8，
∴1≤x≤8，
如图所示，直线y＝﹣2x+a在l3、l4上面或之间移动，
把（8，1）代入y＝﹣2x+a得a＝17，
∴8≤a≤17．
20．【解答】解：（1）EM＝FN；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵四边形ADEF是矩形，
∴BE＝AF，∠E＝∠F＝∠EBA＝∠FAB＝90°，
∴∠EBM＝∠FAN＝30°，
在△BEM和△AFN中，
，
∴△BEM≌△AFN（ASA），
∴EM＝FN；
（2）如图2，连接DN，
∵点N是EF的中点，AD＝2DE，
∴DE＝EN，
∵∠E＝90°，
∴∠DEN为等腰直角三角形，
同理，△ANF也是等腰直角三角形，
∴∠FAN＝∠ANF＝45°，
∴∠EDN＝∠DNE＝45°，
∴∠NAD＝∠NDA＝45°，
∴△ADN为等腰直角三角形，
∴AD，
如图2，过点M作MH⊥CN于点H，
在Rt△CMH中，∠C＝60°，
∴∠CMH＝30°，
设CH＝x，则CM＝2x，，
在Rt△MNH中，∠MNH＝45°，
∴MH＝NHx，MNMHx，
∴CNx，
在Rt△CDN中，∠C＝60°，∠CDN＝30°，
∴DNCNxx，
∴ADDNxx，
∴
；
（3）分两种情况：
①当点D在线段BC上时，
如图3.1，过点N作NH⊥BC于点H．
∵∠NCH＝60°，
∴CN，
∵CN＝2CM，
∴CH＝MH，说明M与H重合，即EF⊥BC时，CU＝2CM，
如图3.2，此时点M与点E重合．
∵AB＝4，AD⊥BC，
∴ADAB4＝2，
∵DE，
∴DE，
∴CM＝CD﹣DEBC﹣DE＝2，
∵∠NMC＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠CNE＝30°，
∴MNCM，
∴，
∴当CN＝2CM时，；
②当点D在线段BC的延长线上时，CN＝2CM，
过点A作AH⊥BC于点H，如图3.2，
AD∥EF，
∴2，
∴CD＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴CH＝2，AH＝2，
∴DE，
∴AD＝2，
∵△DEM∽△AHD，
∴，
∴DM，
∴CM＝2，
∵△ACD∽△NCM，
∴，
∴，
综上，或．
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