浙江省宁波市储能中学2024-2025九年级上学期12月“储能杯”数学竞赛试卷(含详解)

储能中学初三 “储能杯” 数学竞赛试卷
一、选择题
1.在 中, ,则 的范围为 ( )
A. B. C. D.
2.化简 ( )
A. B. C. D.
3.已知 有四个非零实数根,且在数轴上对应的四个点等距排列,则 的值为 ( )
A. B. C. D.
4. 均为整数, 为完全平方数,则(X, Y)有几组 ( )
A. 0 B. 1 C. 无数组 D. 以上都不对
5. 是 的一个任意排序数列,令 ,则 的最小值为 ( )
A. 84 B.85 C.86 D. 87
二、填空题
6.令 ,则 _____.
7.小明有六件工艺品,四件正品,两件次品,小明对其进行逐一检查,检查次数小于等于三次的概率_____.
8.如图, 是直角三角形, ,三角形内有一圆且圆心在斜边 上,圆与 相切,则圆的半径 _____.
9.现有数列 ,则第 2024 项除以 5 的余数是_____.
10.已知 ,则 _____.
11.如图,在 中, , 则 _____.
三、解答题
12.现有 三个正整数, 均为正整数,求 的最大值与最小值之和.
13.已知 ,满足 .
(1) 求 ;
(2)对于任意整数 ,使得 恒成立,求 的最大值.
14.是否存在正整数 满足 . 若存在请求出值; 若不存在请说明理由.
15.如图,在四边形 中, 于 于 为 的垂心,求证: 三点共线.
解析
1.解析：
构造一个角的角度为 的直角三角形,斜边长度为 3,与角 相对的直角边长度为 2,由勾股定理得,第三边的边长为 ,大于 2,小于 ,因此 范围在 到 之间. 、选 B.
2.解析：
原式 .
选 B.
3. 解析：
对原式变形 可设 得, ,且数轴上的四个点关于原点对称,不妨设 的两根为 ,且 ,由等距排列可推出, ,化简得 ,又 , . 选 C.
4. 解析：
,必定为奇数,同理 也必定为奇数,考虑 模 4 的情况,考虑任何奇数的平方除以 4 的余数,
,因此 ,
然而, 一个完全平方数除以 4 的余数只能为 0 或 1 ,奇数的平方除以 4 的余数必定为 1 ,
考虑偶数的平方 ,余数必定为 0,因此 不可能是完全平方数,有 0 组.
选 A.
5. 解析：
考虑将较大的数与较小的数交替配对,
最小的数为 1 , 两侧的数应为 6 、 7 ,
最大的数为 7 , 两侧的数应为 1 、 2 ,
因此可以得到序列 6、1、7、2,
2 右侧应当填写剩余的数中的最大数 5 ,
6 左侧应当填写剩余的数中的最小数 3 ,
得到序列 ,经过计算得 87,选 D.
二、填空题
6.解析：
,直接把 和 代入得 (也可通过构造 或 平方来辅助求解).
7.解析：
由题意得: (检查次数小于等于三次的概率) (检查次数等于三次) (检查次数等于两次) .
8. 解析：
设圆心为 ,设 分别与圆 切于点 ,连接 ,显然四边形 是正方形,设圆的半径为 ,则 ,由一线三等角显然有 ,则 ,即 ,解得 .
9.解析：
显然该数列由 1 个 1,2 个 2,3 个3, 个 组成,而 项和为 ,要求第 2024 项,即要使 项和趋于 2024,当 时, ,当 时, , 故第 2024 项是 64 , 故第 2024 项除以 5 的余数是 4 .
10.解析：
由题意有 ,两边平方并化简有 ,两边再次平方并化简有 (化出此步的关键是把 看成一个整体),即 ,解得 或 (舍),故 .
11.解析：
显然 ①,以 为例,其被 所截,由梅涅劳斯定理得 ,则 ,则 ,故 ; 在以 为例,其被 所截,由梅涅劳斯定理得 ,与前面同理得 ; 同理有 ,代入①即可解得 .
三、解答题
12.解析：
注意到, 一定与 互素,故要么 ,要么 .
不妨设 ,若 ,则只能 或(3,3,3);
若 ,则由 得 ,故只有 ,即 . ① 若 ,则同理 ,故 或 ,即 ,即 ,解得 或(6,4,2)或(7,5,3)或(8,6,4)或(11,9,7) ② 若 ,则 或
(i) 若 ,则 ,只有 ,则 ,代入发现这是不行的
(ii) 若 ,可直接得到 ,矛盾!
综上所有满足条件的(x, y, z),可得 的最小值为 ,最大值为 , 其和为 701.
13.解析：
(1)由题代入得到 ①, ②, ③, 40④,若 为奇数,由①②即可得到 ,代入③④得 ,故 ;
若 为偶数,由①②即可得到 ,代入③④得 ,显然无解.
故 .
(2) ,由 ,只需 , 整理得 ,代入 ,有 ,下面说明等号可以取到: 当 时 ,显然恒成立,故 的最大值为 3 .
(解法二）: ,只需 )
14.解析：
联想到海伦公式和秦九韶公式之间的变形, ,故 是偶数,则 也是偶数,则 也是偶数,故而 24 得是 16 的倍数,显然矛盾,故不存在.
15.解析：
证明: 如图,取 的垂心 和 的垂心 ,
连结 、 .
不难发现 三个三角形都是旋转相似的,因此我们可以证明 ,进一步地,可证 ,同理 ,故 , ,即 ,故点 三点共线.
由角度关系我们可以得到 ,故 .
又,由相似关系知: ,故 ,
而 , ,
故 ,从而 ,故 ,即可证 三点共线.