重庆市凤鸣山中学2024-2025九年级上学期期中考试数学试卷(含详解)

重庆市凤鸣山中学2025届九年级上学期期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在,0,,这四个数中,最小的数( )
A. B.0 C. D.
2．在第66届凤鸣山中学校田径运动会上,凤中的运动健儿们勇于挑战,超越自我,生动诠释了凤中人拼搏进取的精神.在下列的运动标识中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3．反比例函数的图象一定经过的点是( )
A. B. C. D.
4．如图,已知直线,,则等于( )
A. B. C. D.
5．如果两个相似三角形的面积比是,则它们对应边上的中线之比为( )
A. B. C. D.
6．“数形结合”是一种重要的数学思维,观察下面的图形和算式：
解答下列问题：请用上面得到的规律计算：( )
A.2304 B.2601 C.2401 D.2500
7．估计的值应在( )
A.6和7之间 B.7和8之间 C.8和9之间 D.9和10之间
8．如图,中,,,,以点A为圆心、为半径画弧,交于点E,以点B为圆心、为半径画弧,交于点F,则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
9．如图,在正方形中,M,N是边上的两点,连接,,过点A作的垂线,交于点P.若,则( )
A. B. C. D.
10．有一组非负整数：,,…,.从开始,满足,,,…,,某数学小组研究了上述数组,得出以下结论：
①当,时,；
②当,时,；
③当,,时,；
④当,,(,m为整数)时,.
其中正确的结论个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
11．计算：______.
12．一个五边形五个外角的比是,则这个五边形最大的外角的度数是______.
13．凤鸣山中学高中艺术课程丰富多彩,小凤和小鸣两名同学准备从美术、声乐、器乐、舞蹈四门专业中选择一门学习,若不考虑兴趣和天赋等因素,两名同学选到同一门专业的概率是______.
14．美术兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼,共送出56个月饼,美术兴趣小组人数是______.
15．如图,矩形中,,,点E在对角线上,且,连接并延长交于点F,则______.
16．关于x的不等式组有解且最多有3个整数解,且关于y的分式方程有非负整数解,则所有满足条件的整数a的值之和是______.
17．如图,是的直径,是的切线,点B为切点.连接交于点D,点E是上一点,连接,,过点A作交的延长线于点F.若,,,则的长度是______,的长度是______.
18．若正整数m满足个位数字是1,其他数位上的数字均不为1,且百位数字和十位数字相等,则称正整数m为“群凤和鸣数”,交换“群凤和鸣数”m的首位数字和个位得到一个新数n,并记,那么最小的四位“群凤和鸣数”为______；若四位正整数(,且,x、y均为整数)与均为“群凤和鸣数”,那么所有满足条件的四位“群凤和鸣数”k的和为______.
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2).
20．某校举行了“风雨百年路,青春心向党”知识竞赛,现从七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩(百分制)进行整理和分析.成绩得分用x表示,共分成四组：A.；B.；C.；D.,95分及以上为优秀.其中,七年级20名学生的成绩分别是83,87,96,85,84,90,90,86,91,96,89,92,94,93,92,99,98,99,100,96；八年级20名学生的成绩在C组中的数据是91,92,93,94,90,92.
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 92 92 b
八年级 92 c 98
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息,解答下列问题：
(1)直接写出a,b,c的值：______,______,______；
(2)你认为在这次竞赛中哪个年级的成绩更好,并说明理由；(写一条理由即可)
(3)若该校分别有七年级1200人、八年级1000人参加了此次知识竞赛活动,请估计参加此次竞赛成绩为优秀的七、八年级学生共有多少人.
21．如图,是菱形的对角线.
(1)作边的垂直平分线,分别与,交于点E,F,连接、(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)；
(2)求证：点F在线段的垂直平分线上.
证明：四边形是菱形
,,,
①,,
,
在和中,
,
,
②.
垂直平分,
③,
点F在线段的垂直平分线上(④).
22．沙漠化制约着我国西部的发展,我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式,光伏发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现.光伏发电既安全又绿色,为我们实现“碳达峰”、“碳中和”的目标奠定了基础.2023年8月底,新疆光伏发电项目投入建设.甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务.
(1)若甲、乙两厂共生产4000块光伏板,甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产数量多150块,甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务,则甲厂每天生产的光伏板数量是多少？
(2)若甲厂每天生产的光伏板比乙厂每天生产的多,甲、乙两厂各生产6000块光伏板时,乙厂比甲厂多用2天时间,求甲、乙厂每天各生产多少块光伏板？
23．如图,四边形是边长为6的正方形,O是正方形的中心,动点P从点A出发沿折线方向运动,到达C点停止,在上的运动速度为每秒2个单位长度,在上的运动速度为每秒4个单位长度,设运动时间为t秒,的面积为y.
(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象,直接写出的面积为3时t的值.
24．2024“中国国家队公益服务大行动”重庆站活动在重庆凤鸣山中学开展,小凤与小鸣精心规划,为奥运冠军们设计了两条欢迎通道.如图,点A是校门所在的位置,点D是奥运冠军宣讲活动的主会场“风凌体育馆”.小风设计的欢迎通道是,小鸣设计的欢迎通道是为；已知点B位于点A的南偏东方向,且米；点D位于点A的南偏西方向,且米；点C位于点A的西南方向上,同时点C也位于点D的正西方向.(参考数据：,,)
(1)求道路的长度(结果精确到个位)；
(2)若小凤带队经过通道的速度为米/分钟,小鸣带队经过通道的速度为米/分钟,若他们同时从点处出发,并保持匀速游览,请通过计算说明哪条路线能更快到达体育馆D.
25．如图1,在平面直角坐标系中,直线与交于点,与x轴,y轴分别交于A,B两点,与x轴,y轴正半轴分别交于C,D两点,且.
(1)求直线的解析式；
(2)如图2,连接,若点P为y轴负半轴上一点,点Q是x轴上一动点,连接,,当时,求周长的最小值；
(3)如图3,将直线向上平移经过点D,平移后的直线记为,点N为直线上一动点,是否存在点N,使是等腰直角三角形？若存在,请直接写出点N的坐标,并写出其中一个点N的求解过程；若不存在,请说明理由.
26．在中,,,D为中点,,,在上取一点E,连接、、.
(1)如图1,若,,求的面积；
(2)如图2,若,求证；
(3)如图3,在(1)的条件下,P为内部一点,且,.将线段绕点C顺时针旋转得到线段,连接交延长线于点N,G为线段上一个动点,连接,将沿所在直线翻折得到,连接,,当取最小值时,直接写出的值.
参考答案
1．答案：C
解析：∵,
∴在,0,,这四个数中,最小的数是.
故选：C.
2．答案：B
解析：A、不是轴对称图形,故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形,故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形,故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形,故此选项不符合题意；
故选：B.
3．答案：A
解析：A、当时,,故此选项符合题意；
B、当时,,故此选项不符合题意；
C、当时,,故此选项不符合题意；
D、当时,,故此选项不符合题意；
故选：A.
4．答案：A
解析：如图,
∵,,
∴,
∴.
故选：A.
5．答案：C
解析：两个相似三角形的面积之比为
相似比为
对应边上的中线的比为.
故选：C.
6．答案：D
解析：观察下面的图形和算式：
…
∴,
由,得,
.
故选：D.
7．答案：C
解析：
,
∵,
∴,
∴的值应在8和9之间.
故选：C.
8．答案：A
解析：,,,
,,
,
阴影部分的面积为.
故选：A.
9．答案：C
解析：过点P作于点E,
设,则,,
∴,,
,,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵
∴,
∴,
∵,
∴；
∵,
∴,
∴
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
故选：C.
10．答案：B
解析：根据题意有,
①当,时,,,
故①错误；
②当,时,,,
同理：,,,,,,,,…,,,
,
故②正确；
③当,,时,,
则有：,
解得：或,
故③错误；
④当,,(,m为整数)时,
,,,,,,.
故④正确；
综上所述,正确的结论②④观点,共2个.
故选：B.
11．答案：10
解析：
.
故答案为：.
12．答案：/120
解析：∵一个五边形五个外角的比是,
∴这个五边形最大的外角的度数是.
故答案为：.
13．答案：
解析：美术、声乐、器乐、舞蹈四门专业分别记为A、B、C、D,列表如下：
A B C D
A
B
C
D
从表中可知,共有种等可能的结果,其中两名同学选到同一门专业的结果有4种,
所以,两名同学选到同一门专业的概率为.
故答案为：.
14．答案：8
解析：设美术兴趣小组有x人,
,
解得：,(负值舍去),
∴美术兴趣小组有8人.
故答案为：8.
15．答案：
解析：∵四边形是矩形,
,
根据勾股定理可得：,
,
,
∴,
∴,
,
,
,
故答案为：.
16．答案：21
解析：解不等式组,
解不等式①得：,
解不等式②得：,
∵不等式组最多只有3个整数解,
∴,
解得：,
解分式方程,得,
∵原分式方程有非负整数解,
∴a为奇数,,且,
解得：且,
∴满足条件的整数a值有：5,7,9.
满足条件的a值的和为21.
故答案为：21.
17．答案：；
解析：是的直径,
,
∵是的直径,是的切线,
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
即,
解得：或(不符合题意,舍去),
在中,由勾股定理得,
在中,由勾股定理得：；
如图所示,连接,
,
,
,,
,
,
；
故答案为：；.
18．答案：；
解析：由题意可得,在“群凤和鸣数”中,百位数字和十位数字相等且不为1,
则最小的四位“群凤和鸣数”的千位上只能是2,十位和百位数为0,个为位为1,
即2001.
故答案为：2001.
∵(,且,x、y均为整数)与均为“群凤和鸣数”,
∴交换k的首位数字和个位数字得到一个新数.
则.
∴,.
∴
.
∵为“群凤和鸣数”,且的末位数数字为0,115的末尾数字为5,
∴的末尾数字必为6.
∴或.
当时,.
∵为“群凤和鸣数”,即百位和十位上数字相同,
∴,.
∴.
当时,.
∵为“群凤和鸣数”,即百位和十位上数字相同,
∴,.
∴.
∴所有满足条件的k的和为：.
故答案为：11442.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)
；
(2)
.
20．答案：(1)40,96,92.5
(2)八年级的成绩更好,详见解析
(3)参加此次竞赛成绩为优秀的七、八年级学生共约有820人
解析：(1)七年级成绩中,数据96出现了3次,次数最多,所以众数；
八年级成绩中,A组人数为(人),B组人数为(人),
C组人数有6人,
∴中位数在C组,
将C组数据从小到大排列90,91,92,92,93,94.
∴中位数,
八年级的优秀率,
故答案为：40,96,92.5；
(2)八年级的成绩更好,理由如下：
八年级抽取学生成绩的中位数96分高于七年级抽取学生成绩的中位数92分.(答案不唯一)；
(3)(人),
答：参加此次竞赛成绩为优秀的七、八年级学生共约有820人.
21．答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：(1)如图即为所作；
(2)证明：四边形是菱形
,,,
,,
,
在和中,
,
,
.
垂直平分,
,
点F在线段的垂直平分线上(到线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
故答案为：；；；到线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
22．答案：(1)甲厂每天生产的光伏板块
(2)甲、乙厂每天各生产块和光伏板
解析：(1)设甲厂每天生产的光伏板x块,则乙厂每天生产的光伏板块,
根据题意得,
解得,
答：甲厂每天生产的光伏板块；
(2)设乙厂每天生产的光伏板m块,甲厂每天生产的光伏板块,
根据题意得,
解得,
经检验是原方程的解,且符合题意
,
答：甲、乙厂每天各生产块和光伏板.
23．答案：(1)
(2)见解析
(3)2或
解析：(1)∵在上的运动速度为每秒2个单位长度,在上的运动速度为每秒4个单位长度,且四边形是边长为6的正方形,
∴(秒),(秒),(秒),
①当时,动点P在上运动,
作,如图1:
,
,
是正方形的中心,
,
；
②当时,动点P在上运动,
作,如图：
此时,
∵O是正方形的中心,
,,
∴,,
；
综上所述：；
(2)依题意,如图3：
当时,y随t的增大而减小(或时,y随t的增大而增大,答案不唯一)；
(3)作出直线,如图4,
可知直线与函数的图象的交点横坐标为2和,
的面积为3时,或.
24．答案：(1)道路的长度为米
(2)小鸣的路线先到达体育馆D,理由见解析
解析：(1)过点A作交的延长线于点H,
在中,,米,,
米,米,
,
是等腰直角三角形,
米
(米)
即道路的长度为米.
(2)作于点M,
在中,,米,,
(米),(米)
米,
(米),
小鸣的游览速度为米/分,
小鸣到达出口D的时间是(分),
由(1)可得,(米),
小凤的游览速度为米/分,
小凤到达出口D的时间是(分).
,
小鸣的路线先到达体育馆D.
25．答案：(1)
(2)
(3)存在,或
解析：(1)把代入得
,
解得,
点E的坐标为,
把代入得,
点B的坐标为,
.
,
,
点C的坐标为.
设的解析式为：,
把点E和点C的坐标代入得,
解得,
的解析式为：；
(2)作P关于x轴的对称点,连接交x轴于点Q,
此时最小,
则的周长的最小值为,如图
在中,
令,
则,
解得,
.
在中,令得,
.
,
.
,
.
,
,
,
,
,
,,
的周长的最小值为；
(3)存在点N,使是等腰直角三角形,N的坐标为或.
,,,,,
,,,
,E为的中点,
,
,
.
是等腰直角三角形,
.
直线向上平移经过点,
直线.
设,
,
整理得,
解得或,
的坐标为或.
26．答案：(1)
(2)见解析
(3)
解析：(1)在中,,,D为中点,,,在上取一点E,连接、,过点D作于点Q,如图：
则,
,,
,
,
为的中点,
,
,
根据勾股定理得：,
,,
,
,
,
,
,
,
为等腰直角三角形,
,
,
；
(2)证明：作于点N,如图：
则,
,,
,
设则,,
设,则,
,
,
解得：,
,
为的中点,
,
,
,,
,
,
,
,
根据勾股定理得：,
,
,
,
即；
(3)P为内部一点,且,.将线段绕点C顺时针旋转得到线段,连接交延长线于点N,G为线段上一个动点,将沿所在直线翻折得到,
由(1)可知：,
,,
,,
,
根据旋转可知：,,
,
,
,
,
,
,,
根据翻折可知：,
点H在以点C为圆心,2为半径的圆上运动,
根据三角形三边关系可知：,且当C、M、H在同一直线上时,,此时最小,
延长交于点,如图3：
当点H在点时,最小,此时,
,
,
即当最小时,,
,,,
,
,
.