北京市第三十五中学2024-2025高二第一学期12月月考数学试卷（含答案）

北京市第三十五中学 2024-2025 学年高二第一学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.直线 + = 0的倾斜角为( )
A. 45° B. 60° C. 90° D. 135°
2.点(5, 3)到直线 + 2 = 0的距离等于( )
A. 7 B. 5 C. 3 D. 2
3.若直线 + 1 = 0与直线2 + = 0垂直，则 的值为( )
1
A. 2 B. 1 C. D. 1
2
4.抛物线 2 = 8 的焦点 到准线 的距离为( )
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
5.如图，在四面体 中， = ， = ， = ， 为 的中点， 为 的
中点，则 可用向量 ， ， 表示为( )
1 1 1
A. + +
2 2 2
1 1 1B. + +
2 4 4
1 1 1
C. + +
4 2 4
1 1 1
D. + +
4 4 2
6.已知椭圆 的焦点为 1( 1,0)， 2(1,0).过点 1的直线与 交于 ， 两点．若△ 2的周长为8，则椭圆 的
标准方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
16 15 8 7 4 3 3 4
7.已知直线 ： + 1 = 0和圆 ： 2 + 2 4 = 0，则直线 与圆 的位置关系为( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
8.“ > > 0”是“方程 2 + 2 = 1表示焦点在 轴上的椭圆”的( )
A. 充而分不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)过点 (2,2)，点 为平面直角坐标系平面内一点，若线段 的垂直平分线
过抛物线 的焦点 ，则点 与原点 间的距离的最小值为( )
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5
A. √ 2 B. 2 C. D. 3
2
10.均匀压缩是物理学一种常见现象．在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述．设
1
曲线 上任意一点 ( , )，若将曲线 纵向均匀压缩至原来的一半，则点 的对应点为 1( , ).同理，若将2
1
曲线 横向均匀压缩至原来的一半，则曲线 上点 的对应点为 2( , ).若将单位圆
2 + 2 = 1先横向均匀
2
1
压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的 ，得到的曲线方程为( )
3
2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. 4 2 + 9 2 = 1 D. 9 2 + 4 2 = 1
4 9 9 4
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.在平面直角坐标系 中，圆 以原点为圆心，且经过点 (1, √ 3)，则圆 的方程为______；若直线√ 3 +
2 = 0与圆 交于两点 ， ，则弦长| | = ______．
12.写出一个离心率 = 2且焦点在 轴上的双曲线的标准方程 ，并写出该双曲线的渐近线方程 ．
13.设椭圆的两个焦点分别为 1， 2，过 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若△ 1 2为等腰直角三角形，
则椭圆的离心率为 ．
14. 为抛物线 = 2 2上一动点，当点 到直线2 4 = 0的距离最短时， 点的坐标是______．
15.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中，点 ， 分别在线段 1和 1 1
上.
出下列四个结论：
① 的最小值为2；
4
②四面体 的体积为 ；
3
③有且仅有一条直线 与 1垂直；
④存在点 ， ，使△ 为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 55 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题11分)
如图，在长方体 1 1 1 1中， = 3， = 1 = 2，点 在 上，且 = 1．
(Ⅰ)求直线 1 与 1所成角的余弦值；
(Ⅱ)求二面角 1 的余弦值．
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17.(本小题15分)
2 2 √ 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1 ( > > 0)的一个顶点为 (0,1)，且离心率为 ． 2
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)直线 ： = + 与椭圆 交于 ， 两点，且| | = | |，求 的值．
18.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 为平行四边形，∠ = 120°， = = 2.点
在 上，且 ⊥平面 ．
(Ⅰ)证明： ⊥ ；

(Ⅱ)求 的值；

(Ⅲ)求点 到平面 的距离．
19.(本小题14分)
2 2 √ 2
椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)，经过点 (0, 1)，且离心率为 ． 2
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)过椭圆右焦点的直线与椭圆 交于 ， 两点，点 (2,0)， 为坐标原点，证明：∠ = ∠ ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】 2 + 2 = 4 2√ 3
2
12.【答案】 2 = 1(答案不唯一)
3
= ±√ 3
13.【答案】√ 2 1
1 1
14.【答案】( , )
2 2
15.【答案】①②④
16.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，以 为原点， , , 1的方向分别
为 轴、 轴、 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则 1(2,0,2)， (2,1,0)， (2,3,0)， (0,3,0)， 1(0,3,2)．
所以 1 = (0, 1, 2)， 1 = ( 2, 0, 2)．
| 1 | 1 √ 10所以cos 1 , 1 = = ． | || 1 1| 5
所以直线 1 与 1所成角的余弦值为
√ 10．
5
(Ⅱ)因为 = ( 2, 2, 0)．
= 0, 2 = 0,
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，则{
1 即{
= 0, 2 + 2 = 0.
令 = 2，则 = 2， = 1．
于是 = (2,2,1)．
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显然 1 = (0, 0, 2)是平面 的一个法向量．


1
因为cos 1 , =
1 = ，
| 1| | | 3
1
所以二面角 1 的余弦值为 ． 3
17.【答案】解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 ．
= 1 ,
√ 3
由题意得 { = ,
2
2 = 2 + 2,
解得 = 2，
2
所以椭圆 的方程为 + 2 = 1．
4
= + ,
(Ⅱ)由 { 2 2 得5
2 + 8 + 4( 2 1) = 0，
+ = 1
4
由 = (8 )2 4 × 5 × 4( 2 1) > 0，解得 √ 5 < < √ 5，
8
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = ， 5
设线段 的中点为 ，
+ 4
则 = 1 2 = ， = + = ， 2 5 5
“| | = | |”等价于“ ⊥ ”，

1
所以 54 = 1，
5
5
解得 = ，符合题意，
3
5
所以 = ．
3
18.【答案】(Ⅰ)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ．
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ．
∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ．
(Ⅱ)解：取 中点 ，连接 ．
由(Ⅰ)得四边形 为菱形，
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所以 = ．
因为∠ = 120°，
所以 ⊥ .
因为 ， ， 两两互相垂直，
以 为原点， , , 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则 (0,0,0)， (√ 3, 1, 0)， (√ 3, 1, 0)， (0,0,2)．
所以 = (√ 3, 1, 2)．
设 = = (√ 3 , , 2 )，其中0 ≤ ≤ 1．
所以 = + = ( √ 3 + √ 3 ,1 + , 2 2 )．
因为 ⊥平面 ，
所以 ⊥ ，即 = 0．
所以 3 + 3 + (1 + ) + (4 4) = 0．
3 3
解得 = ，即 = ．
4 4
( )解：由( )得 √ 3 7 1Ⅲ Ⅱ = ( , , )．
4 4 2
因为 = (√ 3, 1, 0)， = (0, 0, 2)．
= 0,
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{
= 0,
即{√ 3 = 0,
= 0.
令 = 1，则 = √ 3，于是 = (1, √ 3, 0)．
| | 3√ 3
所以点 到平面 的距离为 = .
| | 4
√ 2
19.【答案】解：( )由题设知， = , = 1，
2
结合 2 = 2 + 2，解得 = √ 2，
2
所以椭圆的方程为 + 2 = 1．
2
( )证明：由( )可得椭圆的右焦点为(1,0)，
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 = ( 1)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2
代入椭圆方程 + 2 = 1，
2
可得(2 2 + 1) 2 4 2 + 2 2 2 = 0，易知 > 0，
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2 2
4 2 2
1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
2 +1 2 +1
( 1) ( 1) ( 1)( 2)+ ( 1)( 2) 2
则 + = 1 + 2 = 1 + 2 = 1 2 2 1 = 1 2
3 ( 1+ 2)+4
= 1 2 2 2 1 2 2 2 ( 1 2)( 2 2) ( 1 2)( 2 2)
2 3 2
2 (2 2) 12 +4 (2 +1)
2
2 +1 = 0，
( 1 2)( 2 2)
则∠ = ∠ ；
当直线 斜率不存在时， 垂直 轴，由对称性易知∠ = ∠ ，
综上，∠ = ∠ ．
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