上海市闵行区六校联合教研2024-2025高三上学期数学期中考试数学试卷

上海市闵行区六校联合教研2024-2025学年高三上学期数学期中考试数学试卷
1．（2024高三上·闵行期中）已知全集，集合，，则　 　.
2．（2024高三上·闵行期中）函数在处的导数是　 　.
3．（2024高三上·闵行期中）已知，函数的最小正周期是，则正数的值为　 　.
4．（2024高三上·闵行期中）函数的单调递增区间是　 　.
5．（2024高三上·闵行期中）设是实数，若函数为奇函数，则　 　.
6．（2024高三上·闵行期中）设集合有且只有两个子集，则　 　.
7．（2024高三上·闵行期中）设是以2为周期的函数，且当时，则　 　.
8．（2024高三上·闵行期中）若“”是“”的充分条件，则的最小值为　 　.
9．（2024高三上·闵行期中）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则　 　．
10．（2024高三上·闵行期中）函数的最大值为3，则的取值范围为　 　.
11．（2024高三上·闵行期中）已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为　 　.
12．（2024高三上·闵行期中）已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为　 　.
13．（2024高三上·闵行期中）若实数满足，则（　　）
A． B． C． D．
14．（2024高三上·闵行期中）若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则满足条件的实数的值是（　　）
A． B． C．3 D．4
15．（2024高三上·闵行期中）下列命题错误的是（　　）
A．
B．若，且，，则
C．若，则
D．若，则当且仅当时，等号成立
16．（2024高三上·闵行期中）数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，其中、、分别为内角、、的对边.若，，则面积的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．
17．（2024高三上·闵行期中）（1）已知，为第二象限角，求和的值；
（2）在中，角的对边分别为、、，已知，，，求的面积和边.
18．（2024高三上·闵行期中）已知函数，.
（1）①判断函数的奇偶性，并用定义证明；
②判断函数的单调性，无需说明理由；
（2）若恒成立，求的取值范围.
19．（2024高三上·闵行期中）某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.
（1）若，求此红旗图案的面积；（精确到）
（2）求组成的红旗图案的最大面积.（精确到）
20．（2024高三上·闵行期中）已知关于的不等式的解集为或．
（1）求，的值；
（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；
（3）关于的不等式的解集中恰有5个正整数，求实数的取值范围．
21．（2024高三上·闵行期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若是增函数，求a的取值范围；
（3）证明：有最小值，且最小值小于．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，所以.
故答案为：.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】3
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数定义域为，求导可得，当时，.
故答案为：.
【分析】根据基本函数的求导法则求得，代入数值求值即可.
3．【答案】2
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：由，函数的最小正周期是，则，解得.
故答案为：2.
【分析】由题意，根据正弦型函数的最小正周期公式求解即可.
4．【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的单调区间为
由，
解得
所以函数的单调递增区间是.
【分析】由题意，利用整体代入法求函数的单调递增区间即可.
5．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：易知函数的其定义域为，
因为函数为奇函数，所以当时，，解得，
经检验符合题意，则.
故答案为：.
【分析】由题意，根据奇函数的性质，建立方程求解即可.
6．【答案】1
【知识点】集合中元素的个数问题；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为集合有且只有两个子集，
所以集合有且只有一个元素，
所以方程有且仅有1个解，
所以，解得.
故答案为：1.
【分析】根据集合中元素的个数求参数的值即可.
7．【答案】-1
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：因为是以2为周期的函数，且时，
则.
故答案为：-1.
【分析】根据已知条件，求函数值即可.
8．【答案】2
【知识点】充分条件；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式，解得，
因为是的充分条件，所以是的子集，所以，即的最小值为2.
故答案为：2.
【分析】先解一元二次不等式，求其解集，再根据充分条件，求参数的取值范围从而可得a的最小值.
9．【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，要使该函数为奇函数，则，，即，，
又因为，所以．
故答案为：.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求平移后的函数解析式，再结合正弦函数的奇偶性求解即可.
10．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【解答】解：当时，；
当时，；
当时，，则函数式可化为
作出函数图象，如图所示：
因为 时最大值为3，又当时，，当时，，由图知，.
故答案为：.
【分析】分情况讨论将函数化为分段函数，再根据函数图象求参数范围即可.
11．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：易知函数是奇函数，则图象关于原点对称，
由图象可知，函数在区间单调递减，；
在区间单调递增，，
则的解集.
故答案为：.
【分析】根据已知条件，先判断函数的单调性，再根据函数的奇偶性以及单调性求不等式的解集即可.
12．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】，
，即对任意的 ，都存在，使 恒成立，
有，
当时，显然不等式恒成立；
当时，，解得 ；
当时，，此时不成立，
综上所述，。
故答案为：。
【分析】利用，所以，即对任意的 ，都存在，使 恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，所以，再利用分类讨论的方法，从而得出满足要求的实数a的取值范围。
13．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：令，显然满足，
同时，，，故ABC错误；
若，则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】令，举反例即可判断ABC；直接由不等式的传递性即可判断D.
14．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、，在上单调递减，故A错误；
B、，，定义域为为，是非奇非偶函数，故B错误；
C、，，是奇函数，且在上单调递增，故C正确；
D、，，是偶函数，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据奇函数的定义，结合幂函数的性质逐项判断即可.
15．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，
当且仅当时等号成立，故B正确；
C、由，，当且仅当时等号成立，由，则成立，故C正确；
D、在数轴上数字与分别对应的点之间的距离为，若，当且仅当时等号成立，故D错误.
故答案为：D.
【分析】利用作差法、基本不等式以及绝对值的几何意义逐项判断即可.
16．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理
【解析】【解答】解：由，可得，
根据同角三角函数基本关系可得：，
即，
，
，
由正弦定理得 ，
则的面积，
，
故当，即时， 的面积S 有最大值，最大值为.
故答案为：A .
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合两角和正弦公式化简可得，再利用正弦定理可得，代入公式，结合二次函数性质求解即可.
17．【答案】解：（1）由于，为第二象限角，则，
；
；
（2）由且，可得，
所以的面积为；
由余弦定理可得，
可得.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用同角三角函数之间的关系求得，再利用三角恒等变换代入计算即可；
（2）根据三角形内角和可得，再根据面积公式以及余弦定理计算即可.
18．【答案】（1）解：①：函数为定义域上的奇函数，证明如下：
函数的定义域为，关于原点对称，
且满足，则函数为奇函数；
②在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则，
因为，，且，所以，，，，
所以，即，则在上单调递增；
（2）解：由①知，为奇函数，
则等价于，
由②知在上单调递增，则，解得或，
故不等式的解集为：.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）①利用函数的奇偶性的定义判断即可；
②任取，，且，通过作差可判断与的大小，根据函数单调性的定义判断即可；
（2）利用函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“”，从而转化为具体不等式，注意考虑函数的定义域.
（1）①为定义域上的奇函数，证明如下：
定义域为，关于原点对称，
又，
为奇函数；
②在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则
，
，，且，
，，，，
，即，
在上单调递增；
（2）由①知，为奇函数，
等价于，
由②知在上单调递增，
，解得或，
不等式的解集为：；
19．【答案】（1）解：由题意，则，，，
，
；
（2）解：设，则，，
，
，
，
故当时，即时，取得最大值．
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由题意，求出，，，进而求出，再利用矩形面积公式求解即可；
（2）设，用的三角函数表示出，，，进而表达出，再利用矩形面积公式结合三角函数的性质求解即可．
（1）由题意，则，，，
，
；
（2）设，则，，
，
，
，
故当时，即时，取得最大值．
20．【答案】（1）解：由题意可知，，且方程有两个实数根，分别为和，
则，得，则，得，
所以，；
（2）解：，，所以，，
，
当，即时，等号成立，
所以的最小值为8，
不等式恒成立，即，
即，解得：；
（3）解：，，
不等式的解集中恰有5个正整数，
即的解集中恰有5个正整数，
即集合中恰有5个正整数，
所以，解得：.
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据不等式的解集和对应方程的关系，求解即可；
（2）利用基本不等式求的最小值，不等式转化为求解即可；
（3）先求解不等式的解集，再根据集合中恰有5个正整数，求解的取值范围即可.
（1）由题意可知，，且方程有两个实数根，分别为和，
则，得，则，得，
所以，；
（2），，所以，，
，
当，即时，等号成立，
所以的最小值为8，
不等式恒成立，即，
即，解得：；
（3），，
不等式的解集中恰有5个正整数，
即的解集中恰有5个正整数，
即集合中恰有5个正整数，
所以，解得：.
21．【答案】（1）解：当时，，，
，故，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：定义域为，求导可得，
若是增函数，则恒成立，故，
即，其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，解得，
a的取值范围是；
（3）证明：定义域为，
，
结合（2）可知，当时，是增函数，故在处取得最小值，且最小值小于，
当时，令得，，
该方程有两个正实数根，设为，由韦达定理得，即，
令得，，或，令得，，
随着的变化，的变化情况如下：
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以的极小值为，故的最小值为，记为，
当时，若，则，此时与矛盾，舍去，
所以，则或，
故，所以肯定小于，所以，
当时，，所以，此时，，
，即，故此时，
综上，有最小值，且最小值小于.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）将代入，求导得到，利用点斜式写出切线方程即可；
（2）先求定义域，求导后，即恒成立，即，求出的最小值，求参数的取值范围即可；
（3）在（2）的基础上得到分与两种情况，结合函数的单调性，得到极值和最值情况，证明出结论.
（1）当时，，，
，故，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）定义域为，
，
若是增函数，则恒成立，故，
即，其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，解得，
a的取值范围是
（3）定义域为，
，
结合（2）可知，当时，是增函数，故在处取得最小值，且最小值小于，
当时，令得，，
该方程有两个正实数根，设为，由韦达定理得，即，
令得，，或，令得，，
随着的变化，的变化情况如下：
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以的极小值为，故的最小值为，记为，
当时，若，则，此时与矛盾，舍去，
所以，则或，
故，所以肯定小于，所以，
当时，，所以，此时，，
，即，故此时，
综上，有最小值，且最小值小于
上海市闵行区六校联合教研2024-2025学年高三上学期数学期中考试数学试卷
1．（2024高三上·闵行期中）已知全集，集合，，则　 　.
【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，所以.
故答案为：.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高三上·闵行期中）函数在处的导数是　 　.
【答案】3
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数定义域为，求导可得，当时，.
故答案为：.
【分析】根据基本函数的求导法则求得，代入数值求值即可.
3．（2024高三上·闵行期中）已知，函数的最小正周期是，则正数的值为　 　.
【答案】2
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：由，函数的最小正周期是，则，解得.
故答案为：2.
【分析】由题意，根据正弦型函数的最小正周期公式求解即可.
4．（2024高三上·闵行期中）函数的单调递增区间是　 　.
【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的单调区间为
由，
解得
所以函数的单调递增区间是.
【分析】由题意，利用整体代入法求函数的单调递增区间即可.
5．（2024高三上·闵行期中）设是实数，若函数为奇函数，则　 　.
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：易知函数的其定义域为，
因为函数为奇函数，所以当时，，解得，
经检验符合题意，则.
故答案为：.
【分析】由题意，根据奇函数的性质，建立方程求解即可.
6．（2024高三上·闵行期中）设集合有且只有两个子集，则　 　.
【答案】1
【知识点】集合中元素的个数问题；集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为集合有且只有两个子集，
所以集合有且只有一个元素，
所以方程有且仅有1个解，
所以，解得.
故答案为：1.
【分析】根据集合中元素的个数求参数的值即可.
7．（2024高三上·闵行期中）设是以2为周期的函数，且当时，则　 　.
【答案】-1
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：因为是以2为周期的函数，且时，
则.
故答案为：-1.
【分析】根据已知条件，求函数值即可.
8．（2024高三上·闵行期中）若“”是“”的充分条件，则的最小值为　 　.
【答案】2
【知识点】充分条件；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式，解得，
因为是的充分条件，所以是的子集，所以，即的最小值为2.
故答案为：2.
【分析】先解一元二次不等式，求其解集，再根据充分条件，求参数的取值范围从而可得a的最小值.
9．（2024高三上·闵行期中）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则　 　．
【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，要使该函数为奇函数，则，，即，，
又因为，所以．
故答案为：.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求平移后的函数解析式，再结合正弦函数的奇偶性求解即可.
10．（2024高三上·闵行期中）函数的最大值为3，则的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【解答】解：当时，；
当时，；
当时，，则函数式可化为
作出函数图象，如图所示：
因为 时最大值为3，又当时，，当时，，由图知，.
故答案为：.
【分析】分情况讨论将函数化为分段函数，再根据函数图象求参数范围即可.
11．（2024高三上·闵行期中）已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：易知函数是奇函数，则图象关于原点对称，
由图象可知，函数在区间单调递减，；
在区间单调递增，，
则的解集.
故答案为：.
【分析】根据已知条件，先判断函数的单调性，再根据函数的奇偶性以及单调性求不等式的解集即可.
12．（2024高三上·闵行期中）已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】，
，即对任意的 ，都存在，使 恒成立，
有，
当时，显然不等式恒成立；
当时，，解得 ；
当时，，此时不成立，
综上所述，。
故答案为：。
【分析】利用，所以，即对任意的 ，都存在，使 恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，所以，再利用分类讨论的方法，从而得出满足要求的实数a的取值范围。
13．（2024高三上·闵行期中）若实数满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：令，显然满足，
同时，，，故ABC错误；
若，则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】令，举反例即可判断ABC；直接由不等式的传递性即可判断D.
14．（2024高三上·闵行期中）若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则满足条件的实数的值是（　　）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、，在上单调递减，故A错误；
B、，，定义域为为，是非奇非偶函数，故B错误；
C、，，是奇函数，且在上单调递增，故C正确；
D、，，是偶函数，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据奇函数的定义，结合幂函数的性质逐项判断即可.
15．（2024高三上·闵行期中）下列命题错误的是（　　）
A．
B．若，且，，则
C．若，则
D．若，则当且仅当时，等号成立
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，
当且仅当时等号成立，故B正确；
C、由，，当且仅当时等号成立，由，则成立，故C正确；
D、在数轴上数字与分别对应的点之间的距离为，若，当且仅当时等号成立，故D错误.
故答案为：D.
【分析】利用作差法、基本不等式以及绝对值的几何意义逐项判断即可.
16．（2024高三上·闵行期中）数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，其中、、分别为内角、、的对边.若，，则面积的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理
【解析】【解答】解：由，可得，
根据同角三角函数基本关系可得：，
即，
，
，
由正弦定理得 ，
则的面积，
，
故当，即时， 的面积S 有最大值，最大值为.
故答案为：A .
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合两角和正弦公式化简可得，再利用正弦定理可得，代入公式，结合二次函数性质求解即可.
17．（2024高三上·闵行期中）（1）已知，为第二象限角，求和的值；
（2）在中，角的对边分别为、、，已知，，，求的面积和边.
【答案】解：（1）由于，为第二象限角，则，
；
；
（2）由且，可得，
所以的面积为；
由余弦定理可得，
可得.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用同角三角函数之间的关系求得，再利用三角恒等变换代入计算即可；
（2）根据三角形内角和可得，再根据面积公式以及余弦定理计算即可.
18．（2024高三上·闵行期中）已知函数，.
（1）①判断函数的奇偶性，并用定义证明；
②判断函数的单调性，无需说明理由；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：①：函数为定义域上的奇函数，证明如下：
函数的定义域为，关于原点对称，
且满足，则函数为奇函数；
②在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则，
因为，，且，所以，，，，
所以，即，则在上单调递增；
（2）解：由①知，为奇函数，
则等价于，
由②知在上单调递增，则，解得或，
故不等式的解集为：.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）①利用函数的奇偶性的定义判断即可；
②任取，，且，通过作差可判断与的大小，根据函数单调性的定义判断即可；
（2）利用函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“”，从而转化为具体不等式，注意考虑函数的定义域.
（1）①为定义域上的奇函数，证明如下：
定义域为，关于原点对称，
又，
为奇函数；
②在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则
，
，，且，
，，，，
，即，
在上单调递增；
（2）由①知，为奇函数，
等价于，
由②知在上单调递增，
，解得或，
不等式的解集为：；
19．（2024高三上·闵行期中）某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.
（1）若，求此红旗图案的面积；（精确到）
（2）求组成的红旗图案的最大面积.（精确到）
【答案】（1）解：由题意，则，，，
，
；
（2）解：设，则，，
，
，
，
故当时，即时，取得最大值．
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由题意，求出，，，进而求出，再利用矩形面积公式求解即可；
（2）设，用的三角函数表示出，，，进而表达出，再利用矩形面积公式结合三角函数的性质求解即可．
（1）由题意，则，，，
，
；
（2）设，则，，
，
，
，
故当时，即时，取得最大值．
20．（2024高三上·闵行期中）已知关于的不等式的解集为或．
（1）求，的值；
（2）当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；
（3）关于的不等式的解集中恰有5个正整数，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可知，，且方程有两个实数根，分别为和，
则，得，则，得，
所以，；
（2）解：，，所以，，
，
当，即时，等号成立，
所以的最小值为8，
不等式恒成立，即，
即，解得：；
（3）解：，，
不等式的解集中恰有5个正整数，
即的解集中恰有5个正整数，
即集合中恰有5个正整数，
所以，解得：.
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据不等式的解集和对应方程的关系，求解即可；
（2）利用基本不等式求的最小值，不等式转化为求解即可；
（3）先求解不等式的解集，再根据集合中恰有5个正整数，求解的取值范围即可.
（1）由题意可知，，且方程有两个实数根，分别为和，
则，得，则，得，
所以，；
（2），，所以，，
，
当，即时，等号成立，
所以的最小值为8，
不等式恒成立，即，
即，解得：；
（3），，
不等式的解集中恰有5个正整数，
即的解集中恰有5个正整数，
即集合中恰有5个正整数，
所以，解得：.
21．（2024高三上·闵行期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若是增函数，求a的取值范围；
（3）证明：有最小值，且最小值小于．
【答案】（1）解：当时，，，
，故，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：定义域为，求导可得，
若是增函数，则恒成立，故，
即，其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，解得，
a的取值范围是；
（3）证明：定义域为，
，
结合（2）可知，当时，是增函数，故在处取得最小值，且最小值小于，
当时，令得，，
该方程有两个正实数根，设为，由韦达定理得，即，
令得，，或，令得，，
随着的变化，的变化情况如下：
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以的极小值为，故的最小值为，记为，
当时，若，则，此时与矛盾，舍去，
所以，则或，
故，所以肯定小于，所以，
当时，，所以，此时，，
，即，故此时，
综上，有最小值，且最小值小于.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）将代入，求导得到，利用点斜式写出切线方程即可；
（2）先求定义域，求导后，即恒成立，即，求出的最小值，求参数的取值范围即可；
（3）在（2）的基础上得到分与两种情况，结合函数的单调性，得到极值和最值情况，证明出结论.
（1）当时，，，
，故，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）定义域为，
，
若是增函数，则恒成立，故，
即，其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，解得，
a的取值范围是
（3）定义域为，
，
结合（2）可知，当时，是增函数，故在处取得最小值，且最小值小于，
当时，令得，，
该方程有两个正实数根，设为，由韦达定理得，即，
令得，，或，令得，，
随着的变化，的变化情况如下：
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以的极小值为，故的最小值为，记为，
当时，若，则，此时与矛盾，舍去，
所以，则或，
故，所以肯定小于，所以，
当时，，所以，此时，，
，即，故此时，
综上，有最小值，且最小值小于