17.5 一元二次方程的应用 课时作业（3课时、分层、含答案） 2024-2025初中数学沪科版八年级下册

17.5 一元二次方程的应用
第1课时 变化率与一元二次方程
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 变化率问题
1．[2024牡丹江]一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
2．[2024重庆A卷]随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率是____________．
知识点2 销售利润问题
3．[2022深圳模拟]某超市经销一种水果,每千克盈利10元,每天销售.经市场调查发现:若每千克涨价1元,则日销售量减少.若超市要每天盈利6 000元,则每千克应该涨价（ ）
A．15元或20元 B．10元或15元 C．10元或20元 D．5元或10元
4．端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话:
小王:“该水果的进价是每千克22元.”
小李:“当销售价为每千克38元时,每天可售出;若每千克降低3元,每天的销售量将增加.”
根据他们的对话,解决下列问题:
超市每天要获得销售利润3 640元,又要尽可能让顾客得到实惠,则这种水果的销售价应定为每千克多少元？
易错点 “每每型”问题的特点就是每下降，就会增加；或每增加，就会减少
5．[2022威海模拟]某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出,平均每月能售出600个.经市场调查发现:这种台灯的单价每上涨1元,其销售量将减少10个.为实现平均每月10 000元的销售利润,该商场决定将售价适当调高,从消费者的角度考虑,商场对这种台灯的售价应定为__________元.
B组·能力提升 强化突破
6．[2024辽宁]某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价元 … 45 55 65 …
日销售量件 … 55 45 35 …
（1） 求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）.
（2） 该商品日销售额能否达到2 600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由．
C组·核心素养拓展 素养渗透
7．[2024淄博]【应用意识】“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1） 求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2） 为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1 600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元,但最低售价不得低于1 000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
17.5 一元二次方程的应用
第1课时 变化率与一元二次方程
课堂导学
例题引路
【思路分析】
利用8月份的荔枝销量月份的荔枝销量（月份到8月份荔枝销售量的月平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，求解即可．
例 【规范解答】
设6月份到8月份荔枝销售量的月平均增长率为.
根据题意，得，
，
，
，（舍去）
答：6月份到8月份荔枝销售量的月平均增长率为．
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 变化率问题
1．C
2．
知识点2 销售利润问题
3．D
4．解:设销售单价降低元时,超市每天可获得销售利润元.
根据题意,得,
整理,得,
解得或.
要尽可能让顾客得到实惠,
, 销售价应定为每千克（元）.
答:这种水果的销售价应定为每千克29元.
易错点 “每每型”问题的特点就是每下降，就会增加；或每增加，就会减少
5．
B组·能力提升 强化突破
6．（1） 解：设一次函数的关系式为，
代入，，
得
解得
与之间的函数关系式为．
（2） 设该商品日销售额为元．
根据题意，得，
,
即,
．
方程无解，
故该商品日销售额不能达到2 600元．
C组·核心素养拓展 素养渗透
7．（1） 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为.
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）.
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为．
（2） 设购买这种健身器材套.
根据题意，得
，
整理，得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：购买这种健身器材200套．第2课时 几何图形与一元二次方程
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 一般几何图形问题
1．[2023孝感模拟]如图,有一长为,宽为的长方形纸片,在它的四角各剪去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒,若纸盒的底面（图中阴影部分）的面积为,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形的边长为,根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．若一个直角三角形的两条直角边相差,面积是,则它的两条直角边长分别为________,________.
知识点2 边框与甬道问题
3．[2024青岛]如图，某小区要在长、宽的长方形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路的宽为________．
第3题图
4．[2022唐山模拟]如图,在一块长、宽的长方形地面上修建三条入口宽度相等的小路,每条小路的两边互相平行,且其中一条小路与长方形地面的一边平行.若要使剩余部分的面积为,则小路的入口宽度为________.
第4题图
知识点3 围墙问题
5．[2024通辽]如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的长方形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
易错点 多条道路的甬道问题，列方程时不会利用平移思想
6．[2024安徽模拟]如图，在一块长方形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积.已知该长方形基地的长为、宽为，种植面积为，则劳动基地中的道路 宽为（ ）
A． B． C． D．
B组·能力提升 强化突破
7．某林场计划修一条长、断面为等腰梯形的渠道,断面面积为,上口宽比渠深多,渠底宽比渠深多.
（1） 渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2） 如果计划每天挖土,需要多少天才能把这条渠道的土挖完？
8．[2023金华模拟]某农场拟建饲养室,饲养室一面靠现有墙（墙长）,已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为,并且材料必须全部用完.
（1） 如果要围成如图所示的长方形饲养室,那么长和宽分别为多少米时,饲养室的占地面积为？
（2） 如果需要两间饲养室,为方便饲养,两间饲养室在墙的对面需各开1扇门,两间饲养室之间也需开一扇门,门宽均为,两间饲养室的占地面积和为,请设计一种符合要求的方案,画出设计示意图,并运用方程的知识给予解释方案的可行性.
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．【应用意识，模型观念】如图,在中, ,,,点从点出发沿边向点以的速度移动,点从点出发沿边向点以的速度移动.
（1） 如果,两点分别从,同时出发,那么几秒后,的面积等于？
（2） 在（1）中,的面积能否等于？请说明理由.
（3） 如果,分别从,同时出发,那么几秒后,四边形的面积等于？
第2课时 几何图形与一元二次方程
课堂导学
例题引路
【思路分析】
找准等量关系，根据长方形的面积关系正确列出一元二次方程是解题的关键.
例 目标1： 【规范解答】根据题意,得,．
，
整理得，
解得，.
当 时，，不符合题意；
当 时，，符合题意．
答：的长为．
目标2： （1） 【规范解答】不能围成面积为 的长方形花园.理由如下：
假设能围成面积为 的长方形花园，设 的长为，则 的长为.
根据题意，得，
整理，得．
，
原方程没有实数根，
假设不成立，即不能围成面积为 的长方形花园．
（2） ；
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 一般几何图形问题
1．B
2．；
知识点2 边框与甬道问题
3．
4．
知识点3 围墙问题
5．C
易错点 多条道路的甬道问题，列方程时不会利用平移思想
6．C
B组·能力提升 强化突破
7．（1） 解:设渠深是,则上口宽是,渠底宽是.
由题意,得,
解得（不合题意,舍去）,,
则渠道的上口宽是,
渠底宽是.
答:渠道的上口宽是,渠底宽是.
（2） 渠道的长为,
渠道的体积为.
每天挖土,
（天）.
答:需要25天才能把这条渠道的土挖完.
8．（1） 解:设平行于墙的一边长为.
由题意,得,
解得,（舍）,
,
答:长为、宽为时,饲养室的占地面积为.
（2） 设平行于墙的一边长为.
由题意,得,
解得,,
当时,饲养室的长为,宽为;
当时,饲养室的长为,宽为.
设计示意图如答图（答案不唯一）.
第8题答图
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．（1） 解:设后,的面积等于.
由题意,得,
解得或（不合题意,舍去）.
故后,的面积等于.
（2） 不能.理由如下:
假设,则,
整理,得.
,
原方程没有实数根.
故在（1）中,的面积不能等于.
（3） 设后,四边形的面积等于.
由题意,得,
解得,.
故或后,四边形的面积等于.第3课时 可化为一元二次方程的分式方程的应用
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 可化为一元二次方程的分式方程
1．[2023遂宁模拟]将分式方程化为整式方程,其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用换元法解方程时,若设,则原方程可化为关于的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列方程中有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若分式的值为2,则的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
5．解方程:.
知识点2 可化为一元二次方程的分式方程的应用
6．一组学生去春游,预计共需费用120元,后来又有2人参加进来,总费用不变,于是每人可少分摊3元,则原来这组学生有（ ）
A．8人 B．10人 C．12人 D．30人
7．[2023宣城模拟]某项电力工程按千米记工作量为.某工程队承担了此项工程的施工,在完成了工作量后,该工程队改进施工技术和方案,每小时比原来多完成工作量,结果共用了完成了此项工程的施工任务.试问:该工程队改进施工技术和方案后每小时的工作量是多少千米？
B组·能力提升 强化突破
8．甲、乙两组工人合作某项工作,10天以后,甲组另有任务,乙组再单独做2天才完成.如果单独完成这项工作,甲组比乙组快4天.求各组单独完成这项工作所需的天数.
9．某工厂贮存煤,由于改进炉灶和烧煤技术,每天能节约煤,使贮存的煤比原计划多用20天,贮存的煤原计划用多少天？每天烧多少吨？
C组·核心素养拓展 素养渗透
【应用意识】一小艇顺流下行到目的地,然后逆流回航到出发地,航行时间共计.已知水流速度是,小艇在静水中的速度是多少 小艇顺流下行和逆流回航的时间各是多少
第3课时 可化为一元二次方程的分式方程的应用
课堂导学
例题引路
【思路分析】
设乙班有学生名,则甲班有学生名，根据等量关系“乙班学生的人均捐款数-甲班学生的人均捐款数”列方程求解即可.
例 【规范解答】
设乙班有学生 名,则甲班有学生 名.
由题意,得.
整理,得,
解得,.
经检验,,都是原方程的根,
但 不符合题意,舍去.
,.
答:甲班有学生42名,乙班有学生40名.
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 可化为一元二次方程的分式方程
1．D 2．A 3．C 4．C
5．解:原方程化为
.
去分母,得
.
整理,得.
解得,.
检验:把代入,得
,
是原方程的根;
把代入,得
,
是原方程的增根.
原方程的根是.
知识点2 可化为一元二次方程的分式方程的应用
6．A
7．解:设该工程队原来每小时的工作量是,则改进施工技术和方案后每小时的工作量是.
由题意,得,
解得,.
经检验,，都是原方程的根,但不符合题意,.
.
答:改进施工技术和方案后每小时的工作量是.
B组·能力提升 强化突破
8．解:设单独完成这项工作乙组需天,则单独完成这项工作甲组需天.
由题意,得,
整理,得,
解得,.
经检验,,都是原方程的根.
当时,.
当时,.
时间为负不符合题意, 取.
这时,.
答:单独完成这项工作甲组需20天,乙组需24天.
9．解:设贮存的煤原计划用天.
由题意,得,
整理,得,
解得,.
经检验,,都是原方程的根.
时间为负不符合题意, 取.
.
答:贮存的煤原计划用50天,每天烧.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．解:设小艇在静水中的速度为,则顺流时的速度为,逆流时的速度为.
由题意,得.
整理,得,
解得,.
经检验,,都是原方程的根.
速度为负不符合题意, 取.
,
.
答:小艇在静水中的速度为,顺流下行的时间为,逆流回航的时间为