03 专题3 勾股定理（含答案） 2024-2025初中数学沪科版八年级下册单元专题练

专题3 勾股定理
题型归类 举一反三
题型一 勾股定理的计算
例1 在中,有两边的长分别为1和2,则第三边的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
变式跟进
1．[2023合肥模拟]如图,在平面直角坐标系中,,,以点为圆心,的长为半径画弧,交轴正半轴于点,则点的横坐标为（ ）
A． B．2 C． D．
题型二 勾股定理的证明
例2 我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式,这种方法称为“无字证明”,它比严谨的数学证明更为优雅与有条理.下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形.
（1） 已知直角三角形的直角边长分别为,,斜边长为,图①,图②的面积相等,此图可以用来证明你学过的什么定理？请写出定理的内容;
（2） 请你根据此图证明（1）中的定理.
变式跟进
2．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放,使点,,在同一条直线上.利用此图的面积表示式证明勾股定理.
题型三 勾股定理的逆定理
例3 如图,网格中每个小正方形的边长均为1.
（1） 求四边形的周长;
（2） 求证: .
变式跟进
3．小新将铁丝剪成九段,分成三组:,,;,,;,,.分别以每组铁丝围成三角形,能构成直角三角形的是（ ）
A．② B．①② C．①③ D．②③
4．如图,在正方形中,为的中点,为上的一点,且,试猜测的形状,并证明你的结论.（提示:正方形的四条边都相等,四个角都是直角）
题型四 勾股定理的实际应用
例4 台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力.如图,有一台风中心沿东西方向由行驶向,已知点为一海港,且点与直线上的两点,的距离分别为,,又,以台风中心为圆心,周围以内为受影响区域.
（1） 求的度数;
（2） 海港受台风影响吗？为什么？
（3） 若台风的速度为,当台风运动到点处时,海港刚好开始受到影响,当台风运动到点处时,海港刚好即将不受影响,即,则台风影响该海港持续的时间有多长？
变式跟进
5．如图,一棵大树在离地面,两处折成三段,中间一段恰好与地面平行,大树顶部落在离大树底部处,则大树折断前的高度是__________.
6．某工厂的大门如图所示,其中四边形是矩形,上部是以为直径的半圆.已知,.现有一辆装满货物的卡车,高,宽,这辆卡车能否通过厂门？请说明理由.
题型五 图形的折叠与勾股定理
例5 如图,为矩形的对角线,将边沿折叠,使点落在上的点处,将边沿折叠,使点落在上的点处.
（1） 求证:四边形是平行四边形;
（2） 若,,求四边形的面积及与之间的距离.
变式跟进
7．如图,在中,,, ,将折叠,使点与的中点重合,折痕为,则线段的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
8．如图,将矩形纸片折叠,使点与点重合,折痕分别与,交于点,.
（1） 求证:;
（2） 若,,求的面积.
题型六 空间线路的两点间的最短距离
例6 如图,一个圆柱高,底面周长为,一只蚂蚁从点沿侧面爬到点处吃食,要爬行的最短路程是 ____________.
变式跟进
9．[2023重庆模拟]如图,圆柱形容器中,高为,底面周长为,在容器内壁离容器底部的点处有一只蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿与蚊子相对的点处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为__________.（容器厚度忽略不计）
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．在中,已知两直角边长为,,则斜边的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．如图,公路,互相垂直,公路的中点与点被湖隔开.若测得,,则,两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图,一艘巡逻船由港沿北偏西 方向航行至岛,然后再沿北偏东 方向航行至港,则,两港 相距（ ）
A． B． C． D．
4．如图,在边长为1的正方形方格中,,,,均为格点,构成图中三条线段,,.现在取出这三条线段,,首尾相连拼三角形,则下列判断正确的是（ ）
A．能拼成一个直角三角形 B．能拼成一个锐角三角形
C．能拼成一个钝角三角形 D．不能拼成三角形
5．如果三角形的三边长分别为,,2,那么这个三角形的最大角的度数为____________.
6．下课期间,小聪拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心掉到两墙之间（如图）, ,,从三角板的刻度可知,小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度为____________.（假设每块砖的厚度相等）
7．如图,三个村庄,,之间的距离分别是,,,要从修一条公路直达.
（1） 试判断的形状;
（2） 求这条公路的最短长度.
8．[2024六安模拟]现有如图①所示的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是,,.用其中4张纸片拼成如图②所示的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图③所示的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）．
（1） 【观察】从整体看，图②和图③的大正方形的边长都为，所以图②和图③的大正方形的面积都可以表示为，记为结论Ⅰ.由于整个图形的面积等于各部分面积的和，所以图②中的大正方形的面积又可以用含字母，的代数式表示为：________________________，记为结论Ⅱ；同理，图③中的大正方形的面积又可以用含字母，，的代数式表示为：__________________，记为结论Ⅲ．
（2） 【思考】由结论Ⅰ和结论Ⅱ，可以得到等式：____________________________________；由结论Ⅱ和结论Ⅲ，可以得到等式 ____________________________.
（3） 【应用】若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图④），三个半圆的面积分别记作，，，且，求的值．
B组·能力提升 强化突破
9．在底面直径为,高为的圆柱体侧面上,用一条无弹性的丝带从至按如图所示缠绕1.5圈,则丝带的最短长度为____________________（结果保留 和根号）.
10．[2024阜阳模拟]根据背景素材，探索解决问题．
测量风筝离地面的垂直高度
背景素材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟.后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝.到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”.
操作步骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为； ②测得牵线放风筝的手到地面的距离为. 备注：点，，，在同一平面内.
问题解决
任务1．根据手中余线的长度，计算出的长度为，求风筝离地面的垂直高度．
任务2．若保持放风筝的位置不变，想要风筝沿射线方向再上升，请问应该从余线中再放出线多少米？
11．[2024桂林模拟]在初中数学中，四边形是一个重要的研究对象，其中涵盖了丰富的知识.研究如图①所示的四边形，，相交于点，且，我们将对该图形进行不同补充和改变，请你利用所学的知识来探讨以下问题：
（1） 如图②，若，，，求的长；
（2） 如图③，若，求四边形的面积；
（3） 如图④，若，，，直接写出的长．
专题3 勾股定理
题型归类 举一反三
题型一 勾股定理的计算
例1 D
【点悟】 勾股定理的作用是已知直角三角形的任意两边,求第三边的长,我们要会灵活运用勾股定理的不同形式求解.在 中, ,,,所对的边分别为,,,则勾股定理有如下不同的形式:
（1）,,;
（2）,,.
变式跟进
1．C
题型二 勾股定理的证明
例2 （1） 解:可以证明勾股定理:
直角三角形的两条直角边长分别为,,斜边长为,那么.
（2） 图①的面积为,
图②的面积为.
图①,图②的面积相等,
,
.
例2 【点悟】 勾股定理的证明方法一般是用面积法来证明恒等式,即通过不同的方式表示同一个图形的面积.
变式跟进
2．证明:由已知可得,,
.
,
,
,
是直角三角形,
,
,
,
.
题型三 勾股定理的逆定理
例3 （1） 解:根据勾股定理,得
,,,,
四边形的周长为.
（2） 证明:连接（图略）.
根据勾股定理，得,
,,
,
是直角三角形,且 .
例3 【点悟】 在正方形网格中,两个格点之间的距离可以用勾股定理求出.勾股定理的逆定理是证明一个角等于 的一种思路.
变式跟进
3．D
4．解:是直角三角形.证明如下:
设正方形的边长为,
则.
为的中点,
.
,,
,.
在中, ,,,
.
同理，可得,.
,
,
,
是直角三角形.
题型四 勾股定理的实际应用
例4 （1） 解:,,,
,
是直角三角形, .
（2） 海港受台风影响.理由如下:
如答图,过点作于点.
例4答图
是直角三角形,
,
.
以台风中心为圆心,周围以内为受影响区域,
海港受台风影响.
（3） 当,时,台风正好影响港口.
根据勾股定理，得,
,,
.
台风的速度为,
.
台风影响该海港持续的时间为.
例4 【点悟】 解这类题的关键在于运用几何知识正确找到适合条件的所求点的位置,会构造直角三角形求解.勾股定理把三角形中有一个直角的“形”的特征,转化为三边“数”的关系,因此它是数形结合的一个典范.
变式跟进
5．
6．解:能通过.理由如下:
如答图,取的中点,显然,车的宽度小于门的宽度.
变式跟进6答图
设.
过点作,与半圆交于点,连接.
,,
，
这辆点离地面的高度为.
,
这辆卡车能通过厂门.
题型五 图形的折叠与勾股定理
例5 （1） 证明: 四边形是矩形,
,,
,.
由折叠的性质,可得
,.
又,
,,
四边形是平行四边形.
（2） 解:在中,,,
根据勾股定理,得.
,
.
设,则.
在中,由勾股定理,得
,
即,解得.
故.
在中,由勾股定理,得
.
设与之间的距离为,
则,即,
解得.
与之间的距离为.
例5 【点悟】 解决有关折叠的问题时,通常利用勾股定理这个等量关系建立方程.折叠前后两图形全等,即对应线段相等,对应角相等,对应点的连线段被折痕垂直平分.
变式跟进
7．C
8．（1） 证明: 四边形是矩形,
,.
, ,
.
在和中,
.
（2） 解:由折叠的性质,得.
设,则.
在中,,
,
解得.
又,
,
.
题型六 空间线路的两点间的最短距离
例6
【点悟】 几何体的表面上两点间的最短线路问题的解决方法是将几何体表面展开,即将立体问题转化为平面问题,然后利用“两点之间,线段最短”去确定最短路线,最后利用勾股定理计算.
变式跟进
9．
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．D 2．C 3．B 4．A
5．
6．
7．（1） 解:,
,
,
即是直角三角形.
（2） 当时,最短,
,
.
这条公路的最短长度是.
8．（1） ；
（2） ；
（3） 解：，，.
，
，
，解得．
的值为25.
B组·能力提升 强化突破
9．
10．任务1 （1）解：过点作于点，如答图.
第10题答图
在中， ，，.
由勾股定理，得，
则.
答：风筝离地面的垂直高度为.
任务2 （2）风筝沿方向再上升后，风筝与点的距离为，
则此时风筝线的长为，
答：应该从余线中再放出线．
11．（1） 解：，
为等腰三角形．
，
为的垂直平分线，
．
，
.
（2） ，
．
（3） ，
，，，，
，
，
.
，，，
，
解得．
的长为．