2025年中考数学二轮专题复习- 专题五 二次函数与几何综合高效拆分特训（含答案）

2025年中考数学二轮专题复习
专题五 二次函数与几何综合高效拆分特训
INCLUDEPICTURE"标1.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\标1.tif" \* MERGEFORMATINET 特训26　二次函数中的线段问题INCLUDEPICTURE"标2.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\标2.tif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE"条单.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\条单.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\条单.tif" \* MERGEFORMATINET 模型解读
INCLUDEPICTURE"SK18-43.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\SK18-43.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\SK18-43.tif" \* MERGEFORMATINET 如图①，AB∥x轴，AB＝|xA－xB|.如图②，AB∥y轴，AB＝|yA－yB|.如图③，根据勾股定理，AB＝.
INCLUDEPICTURE"条单.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\条单.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\条单.tif" \* MERGEFORMATINET 典题训练
如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD的顶点A的坐标为(0，－1)，顶点B的坐标为(4，－1)，顶点C在第一象限内，抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的顶点P为正方形对角线AC上一动点．
(1)当抛物线经过A，B两点时，求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与直线AC相交于另一点Q(Q非抛物线顶点，且Q在第一象限内)，
求证：PQ的长是定值；
(3)根据(2)的结论，取BC的中点N，请直接写出NP＋BQ的最小值为________．
INCLUDEPICTURE"SK18-44.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\SK18-44.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\SK18-44.tif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE"标1.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\标1.tif" \* MERGEFORMATINET 特训27　二次函数中的面积求值INCLUDEPICTURE"标2.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\标2.tif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE"条单.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\条单.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\条单.tif" \* MERGEFORMATINET 模型解读
INCLUDEPICTURE"SK18-45.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\SK18-45.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\SK18-45.tif" \* MERGEFORMATINET 割补法1(如图)：S△PAB＝S梯形AMNB－S△PAM－S△PBN. INCLUDEPICTURE"SK18-46.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\SK18-46.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\SK18-46.tif" \* MERGEFORMATINET 割补法2(如图)：S△PBC＝S△POC＋S△POB－S△OBC.
INCLUDEPICTURE"SK18-47.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\SK18-47.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\SK18-47.tif" \* MERGEFORMATINET 铅垂法(如图)：P为待定点，A，B为定点S△PAB＝|xB－xA|·|yP－yQ|.过待定点P作y轴的平行线，交两定点所在的直线AB于点Q，计算量相对较小.
INCLUDEPICTURE"SK18-48.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\SK18-48.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\SK18-48.tif" \* MERGEFORMATINET 平行转化法(如图)：作平行，利用同底等高的方式进行转化．方法：过点P作PD∥AC，得到S△PAC＝S△ADC.
INCLUDEPICTURE"条单.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\条单.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\条单.tif" \* MERGEFORMATINET 典题训练
1．如图，二次函数y＝－(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B与点C关于该抛物线的对称轴对称，连接BC.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(3，0)及点C.在直线AC下方的抛物线上存在点Q，使S△ACQ＝S△ACB(点Q不与点B重合)，则点Q的坐标为________．
INCLUDEPICTURE"SK18-49.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\SK18-49.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\SK18-49.tif" \* MERGEFORMATINET
2．如图，抛物线y＝x2－x－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.连接AC，CD，BD，则四边形ACDB的面积为________．
INCLUDEPICTURE"SK18-50.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\SK18-50.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\SK18-50.tif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE"标1.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\标1.tif" \* MERGEFORMATINET 特训28　二次函数中的面积最值INCLUDEPICTURE"标2.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\标2.tif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE"条单.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\条单.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\条单.tif" \* MERGEFORMATINET 方法整合
面积比转化为底的比；面积比转化为高的比.
INCLUDEPICTURE"条单.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\条单.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\条单.tif" \* MERGEFORMATINET 典题训练
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2－2x＋c经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C.D为直线AB上方抛物线上一动点，连接DA，DB，DC，BC，设△DAB的面积为S1，△DBC的面积为S2，求S1＋S2的最大值，并求出此时点D的坐标．
INCLUDEPICTURE"SK18-51.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\SK18-51.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\SK18-51.tif" \* MERGEFORMATINET
【变式题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋x＋4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP.设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，当最大时，点P的坐标为________．
INCLUDEPICTURE"SK18-52.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\SK18-52.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\SK18-52.tif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE"标1.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\标1.tif" \* MERGEFORMATINET 特训29　二次函数中角的关系INCLUDEPICTURE"标2.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\标2.tif" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE"条单.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\条单.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\条单.tif" \* MERGEFORMATINET 模型解读
1.平面直角坐标系中45°角的问题，可利用角的一边上特殊点为直角顶点，构造等腰直角三角形，通过旋转的特征求出第三个顶点坐标，从而得到斜边的直线解析式．2．平面直角坐标系中30°或60°角的问题，还是构造直角三角形，通过K字型相似求出第三个顶点坐标，从而得到斜边的直线解析式．3．等角问题，可通过平行线、全等或相似求出相应点的坐标，从而得到直线解析式， 再求直线与抛物线的交点坐标．4．与角平分线有关的倍角问题，可利用角平分线的性质，结合勾股定理或相似求出相应点的坐标，从而得到直线解析式，再求直线与抛物线的交点坐标．与角平分线无关的倍角问题，通常利用平行线转化为等角问题.
INCLUDEPICTURE"条单.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\条单.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\条单.tif" \* MERGEFORMATINET 典题训练
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C.M是抛物线在第一象限上的点，∠MAB＝∠ACO，则点M的横坐标为________．
INCLUDEPICTURE"SK18-53.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\SK18-53.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\SK18-53.tif" \* MERGEFORMATINET
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2－3x＋4的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，作直线AC.D为直线AC上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，过点D作DF⊥x轴于点F，交直线AC于点E.当∠ACD＝2∠BAC时，求点D的坐标．
INCLUDEPICTURE"SK18-54.tif" INCLUDEPICTURE "D:\课件\中考福建数学\SK18-54.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\SK18-54.tif" \* MERGEFORMATINET
专题五 二次函数与几何综合高效拆分特训 答案
特训26　二次函数中的线段问题
(1)解：把A(0，－1)，B(4，－1)的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x－1.
(2)证明：∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，
∴C(4，3)．
设直线AC的解析式为y＝mx＋n，
把A(0，－1)，C(4，3)的坐标代入，得
解得
∴直线AC的解析式为y＝x－1.
∵y＝－x2＋bx＋c＝－(x－b)2＋c＋b2，
∴顶点P的坐标为，
把P代入y＝x－1，得c＋b2＝b－1，即b2－2b＝－2c－2，
设P(x1，x1－1)，Q(x2，x2－1)，则x1，x2为方程－x2＋bx＋c＝x－1的两根，
整理为x2－2(b－1)x－2－2c＝0，
∴x1＋x2＝2(b－1)，x1x2＝－2－2c，
∴PQ2＝2(x1－x2)2＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2[4(b－1)2－4(－2－2c)]＝8(b2－2b＋1＋2＋2c)＝8，
∴PQ＝2，即PQ的长是定值．
(3)2
特训27　二次函数中的面积求值
1．(－1，－8)　
2.
特训28　二次函数中的面积最值
解：∵直线y＝x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当x＝0时，y＝3，
∴B(0，3)，
当y＝0时，x＋3＝0，解得x＝－3，
∴A(－3，0)．
将点A，B的坐标代入y＝ax2－2x＋c，得
解得
INCLUDEPICTURE"SKD-21.tif" INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\SKD-21.tif" \* MERGEFORMATINET
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
当y＝0时，－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，
∴C(1，0)．
如图，过点D作DE∥y轴交AB于点E，
设点D(m，－m2－2m＋3)，则点E(m，m＋3)，
S1＋S2＝S△DAB＋(S△DAB＋S△ABC－S△ADC)
＝2S△ADB＋S△ABC－S△ADC
＝DE×OA＋×AC×OB－×AC×yD
＝(－m2－2m＋3－m－3)×3＋×4×3－×4×(－m2－2m＋3)
＝－m2－5m
＝－＋≤，当m＝－时取等号，
则S1＋S2的最大值为，此时m＝－，点D.
【变式题】(2，4)
特训29　二次函数中角的关系
1.
2．解：令y＝0，得－x2－3x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝－4.
∴A(－4，0)，B(1，0)．
令x＝0，得y＝4，
∴C(0，4)．
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，将点A，C的坐标代入，得解得
∴直线AC的解析式为y＝x＋4.
如图，过点C作CG⊥DF于点G，易得四边形OCGF是矩形，
INCLUDEPICTURE"SKD-22.tif" INCLUDEPICTURE "C:\Users\庞建宇\Desktop\中考数学福建\SKD-22.tif" \* MERGEFORMATINET
∴GF＝OC＝4，CG∥AB，
∴∠ACG＝∠BAC.
∵∠ACD＝2∠BAC，
∴∠ACG＝∠DCG，
∴90°－∠ACG＝90°－∠DCG，
即∠CED＝∠CDE，
∴CD＝CE.
又∵CG⊥DF，
∴DG＝EG.
∵D为直线AC上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，DF⊥x轴于点F，
∴－4∴EF＝m＋4，
∴DG＝EG＝GF－EF＝－m，
∴DF＝DG＋GF＝－m＋4，
∴D(m，－m＋4)，
将点D(m，－m＋4)的坐标代入y＝－x2－3x＋4，
得－m＋4＝－m2－3m＋4，
解得m1＝－2，m2＝0(不符合题意，舍去)，
∴点D的坐标为(－2，6)．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()