平面向量的应用 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练（含解析）

平面向量的应用 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练
一、多项选择题
1．在梯形ABCD中，，，，，，则( )
A. B.
C. D.
2．已知双曲线的左右焦点分别为，，左顶点为，点P是C的右支上一点，则( )
A.的最小值为8
B.若直线与C交于另一点Q，则的最小值为6
C.为定值
D.若I为的内心，则为定值
3．已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列命题正确的有( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则为等腰三角形
D.若，则为等腰三角形
4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则( )
A.的外接圆半径为 B.
C. D.为锐角三角形
5．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,内角B的平分线交AC于点D且,则下列结论正确的是( )
A.
B.b的最小值是2
C.的最小值是
D.的面积最小值是
6．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,以下说法中正确的是( )
A.若,则
B.若,,,则符合条件的三角形有一个
C.若,,,则为钝角三角形
D.若,则直角三角形
7．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则( )
A. B.
C.的面积为 D.的周长为
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有( )
A.
B.若，则为直角三角形
C.若为锐角三角形，的最小值为1
D.若为锐角三角形，则的取值范围为
9．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这只船的速度是每小时( )
A.5海里 B.海里 C.10海里 D.海里
10．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，， ，则b＝( )
A.2 B.3 C.4 D.
11．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是线段AD上的一点，点M，N分别为线段PB，PC上的动点，且，（，），点O，G分别为线段BC，MN的中点，则下列说法正确的是( )
A.
B.的最小值为
C.若，则的最小值为
D.若，，则的最大值为
12．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数，且，则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，点M满足，则下列说法正确的是( )
A.面积的最大值为12
B.的最大值为72
C.若，则的最小值为10
D.当点M不在x轴上时，MO始终平分
13．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则b的值可能是( )
A.1 B. C. D.2
14．据统计,从1932年至1990年,历次所测乐山大佛高度均不一样.某校计划开展数学建模活动,打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具:测角仪 米尺 量角器.下面是四个小组设计的测量方案,其中可能测量出大佛高度的方案有( )
A.把两只佛脚底部看作M,N两点,分别测量佛顶的仰角,和的距离
B.在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为,再面对大佛前行S米,测得佛顶的仰角为
C.高为h的同学站在佛脚平台上,在该同学头顶和脚底分别测量佛顶的仰角,
D.在佛脚平台上寻找两点A,B分别测量佛顶的仰角,,再测量A,B两点间距离和两点相对于大佛底部的张角
15．在中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，则下列对的个数的判断正确的是( )
A.当，，时，有两解
B.当，，时，有一解
C.当，，时，无解
D.当，，时，有两解
16．判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
17．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则( )
A. B. C. D.
19．在中，，，，则下列说法正确的是( )
A. B.的面积为2
C.的外接圆直径是 D.的内切圆半径是
20．在锐角三角形ABC中,角A,B, 所对的边分别为,若,则( )
A. B. C. D.
参考答案
1．答案：ABD
解析：中，，，
则，，由正弦定理知，
即，故A正确；
，
，，
，故B正确；
，故C错误；
，
故，，故D正确.
2．答案：AC
解析：由得，，，
所以，，
所以
，当P为双曲线右支与x轴交点时，取等号，
即的最小值为8，故A正确；
若直线l经过，当直线l的斜率为0时，直线l的方程为，
与双曲线C的两个交点为，，此时，故B错误；
因为，，
所以，，
两式相加得，，
所以，故C正确；
因为I为的内心，则I不恒在双曲线C上，
不为定值，故D错误.
3．答案：ABD
解析：对于A.因在上单调递减，且，故A正确；
对于B.由正弦定理以及三角形中大边对大角，所以若，则，则，故B正确；
对于C.，且A、B为三角形内角，所以或者，所以为等腰三角形或者直角三角形，故C错误；
对于D.，则，即，所以为等腰三角形，故D正确.
故选ABD.
4．答案：BC
解析：对于A，因为，所以．
因为，所以，所以的外接圆半径为，故A不正确；
对于B，因为，，，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，即．
因为，所以，故C正确；
对于D，由选项C，，因为，即，所以角B是钝角，
所以为钝角三角形，故D不正确．
故选：BC.
5．答案：ABD
解析：由题意得:,
由角平分线以及面积公式得,
化简得,所以,故A正确;
,当且仅当时取等号,
,,
所以,当且仅当时取等号,故D正确;
由余弦定理
所以,即b的最小值是,当且仅当时取等号,故B正确;
对于选项C:由得:,,
当且仅当,即时取等号,故C错误;
故选:ABD.
6．答案：AD
解析：对于A,若,则,所以由正弦定理,可得,故A正确;
对于B,若,,,
根据正弦定理可得,,又,
所以B有两解,可以是锐角,也可以是钝角,所以符合条件的三角形有两个,故B错误
对于C,若,,,由得为的最大角,
因为,由余弦定理,
所以角为锐角,即为锐角三角形,故C错误;
对于D,由得,即,
又,所以
因为,,所以,
所以,所,故D正确.
故选:AD
7．答案：ABD
解析：由，有，得，选项A正确.
因为，由正弦定理有，，得，选项B正确.
的面积为，选项C错误.
因为，由余弦定理，
解得，故的周长为，选项D正确.
故选：ABD
8．答案：ABD
解析：对于A，中，由正弦定理得，
由，得，即，
由，，则，故，所以或，
即或（舍去），即，A正确；
对于B，若，结合和正弦定理知，，
又，，所以可得，，B正确；
对于C，在锐角中，，，，即，.
故，C错误；
对于D，在锐角中，由，，
，
令，则，
易知函数单调递增，所以可得，D正确；
故选：ABD.
9．答案：C
解析：如图，依题意有，，
所以，
从而，在直角三角形中，得，
于是这艘船的速度是(海里/小时).故选C.
10．答案：AC
解析：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，
由余弦定理，得，，即，或.
故选：AC.
11．答案：ABD
解析：对于A，因为，，所以
，故A正确；
对于B，以B为坐标原点，BC，BA所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
所以，，，，设，，所以，
所以，所以的最小值为，此时，故B正确；
因为，（，），
所以，，
所以，当时，，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故C错误；
因为，若，，则，所以，
所以，即，当且仅当即时，等号成立，
所以，即的最大值是，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：ABD
解析：对于A，设点，由，得，化为，所以点M的轨迹是以点为圆心、4为半径的圆，所以面积的最大值为，故A正确；
对于B，设线段AB的中点为N，则，，当点M的坐标为时取等号，故的最大值为72，故B正确；
对于C，显然点在圆外，点在圆内，，当B，M，Q三点共线且点M在线段BQ之间时，，故C错误；
对于D，由，，有，当点M不在x轴上时，由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分线，故D正确.故选ABD.
13．答案：AD
解析：在中，，，，由余弦定理得：
，即，解得或，
所以b的值可能是1或2.
故选：AD.
14．答案：BCD
解析：对于A:如果M,N两点与佛像底部不在一条直线上时,就不能测量出旗杆的高度,故A不正确．
对于B:
在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为,再面对大佛前行米,测得佛顶的仰角为,佛像高度为CD,
在中,,
在中,,
所以,即,佛像高度,故B正确;
对于C:如下图,
在中由正弦定理求AD,则佛像的高,故C正确;
对于D:如下图,
在佛脚平台上寻找两点A,B分别测量佛顶的仰角,,再测量A,B两点间距离和两点相对于大佛底部的张角,
在直角三角形ADC,BDC中用CD来表示AC,BC,在中由余弦定理就可以计算出佛像高度CD,故D正确;
故选:BCD.
15．答案：AC
解析：对于A，由正弦定理得，即，所以，
又因为,，所以或，有两解，故A正确；
对于B，由正弦定理得，无解，故B错误；
对于C，由正弦定理得，无解，故C正确；
对于D，由正弦定理得，
又，所以B为锐角，此三角形只有一解，故D错误.
故选：AC.
16．答案：AD
解析：对于A，由正弦定理得：，
，，即，，则三角形有唯一解，A正确；
对于B，由正弦定理得：，
，，即，或，则三角形有两解，B错误；
对于C，由正弦定理得：，B无解，C错误；
对于D，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，D正确.
故选：AD.
17．答案：BC
解析：A项,因为,,
所以由正弦定理得,
则,所以有唯一解,故A错误;
B项,法一,因为,,
则,由,
即,如图,有两解.
法二,因为,,
由正弦定理得,
则C有两解,或.
当时,,,,A有解,满足题意;
当时,,,,A有解,满足题意;
所以有两解,故B正确;
C项,法一,因为,,
则,由,
即,如图,有两解.
法二,因为,,
由正弦定理得,即,
因为,
则B有两解,或.
当时,,,,,C有解,满足题意;
当时,,,,,C有解,满足题意;
所以有两解,故C正确;
D项,因为,,
所以由正弦定理得,
由于,故,,
即B有唯一解,且,C有解,所以只有一解,故D错误;
故选：BC.
18．答案：AB
解析：根据，得，
即，解得或
19．答案：ABD
解析：因为，所以，所以，，故A，B正确；
由余弦定理，得，所以，所以外接圆的直径，故C错误；
设的内切圆半径为r，则，即，所以，故D正确.故选ABD.
20．答案：ABD
解析：因为,
由正弦定理可得,
所以,
又为锐角三角形,所以,,
所以,正弦函数在上单调递增,
所以,所以,A正确；
因为为锐角三角形,所以,,,
所以,,,
所以,B正确；
因为,所以,
所以,
所以,因为,
所以,C错误；
因为,由余弦定理可得
,
所以,
所以,D正确,
故选：ABD.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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