抛物线. 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练（含解析）

抛物线. 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练
一、多项选择题
1．已知F为抛物线的焦点,,是C上两点,O为坐标原点,M为x轴正半轴上一点,过B作C的准线的垂线,垂足为,AB的中点为E,则( )
A.若,则四边形的周长为
B.若,则的面积为
C.若,则E到y轴的最短距离为3
D.若直线AB过点,则为定值
2．设拋物线的焦点为F，过点的直线与抛物线E相交于点A，B，与x轴相交于点C，，，则( )
A.E的准线方程为 B.p的值为2
C. D.的面积与的面积之比为9
3．过抛物线C：的焦点F作直线l交C于A,B两点，则( )
A.C的准线方程为
B.以为直径的圆与C的准线相切
C.若，则线段中点的横坐标为
D.若，则直线l有且只有一条
4．已知抛物线的焦点到准线的距离为4,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,点A,B在准线上的射影分别为点,,则下列结论正确的是( )
A.
B.若M为线段AB的中点且,则点到y轴的距离为4
C.若,则直线AB的斜率为
D.
5．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线交x轴于点D，过F的直线交C于A，AF的中点M在y轴上的射影为点N，|MN|＝|NF|，则( )
A. B.是锐角
C.是锐角三角形 D.四边形DFMN是菱形
6．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如(1，2，4，5，7，8与9互质)，则()
A.若n为质数，则 B.数列单调递增
C.数列的最大值为1 D.数列为等比数列
7．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P是满足的阿氏圆上的任一点，若点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为H，F为抛物线E的焦点，则下列选项正确的有( )
A.的最小值为2
B.的面积最大值为
C.当最大时，的面积为
D.的最小值为
8．已知抛物线的焦点为F,点M,N在抛物线C上,则( )
A.若M,N,F三点共线,且,则直线的倾斜角的余弦值为
B.若M,N,F三点共线,且直线的倾斜角为,则的面积为
C.若点在抛物线C上,且M,N异于点A,,则点M,N到直线的距离之积为定值
D.若点在抛物线C上,且M,N异于点A,,其中,则
9．已知直线经过抛物线的焦点F，与E交于不同的两点A，B，与E的准线l交于点C，则( )
A.
B.若，则
C.若，则的取值范围是
D.若，，，成等差数列，则
10．已知直线l过抛物线的焦点，且与该抛物线交于M，N两点.若线段的长是20，中点到y轴的距离是8，O为坐标原点，则( )
A.抛物线C的焦点是 B.抛物线C的离心率为
C.直线l的斜率为 D.的面积为
11．已知抛物线的焦点为F,准线为l,点A,B在C上（A在第一象限）,点Q在l上,以为直径的圆过焦点F,,则( )
A.若,则 B.若,则
C.的面积最小值为 D.的面积大于
12．已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是( )
A.
B.若，则直线恒过定点
C.若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为
D.若，则直线的斜率为
13．下列命题为真命题的是( )
A.的最小值是2
B.的最小值是
C.的最小值是
D.的最小值是
14．在平面直角坐标系xOy中,点F是抛物线的焦点,F到的准线l的距离为2,点A是上的动点,过点A且与相切的直线m与y轴交于点B,C是准线l上的一点,且,则下列说法正确的是( )
A.
B.当点A的横坐标为2时,直线m的斜率为1
C.设,则的最小值为
D.,,成等差数列
15．已知直线（a,b不同时为0）,圆,则( )
A.当时,直线l与圆C相切
B.当时,直线l与圆C不可能相交
C.当时,与圆C外切且与直线l相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
D.当时,直线l与坐标轴相交于A,B两点,则圆C上存在点P满足
16．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，动点P在C上，若定点满足，则( )
A.C的准线方程为 B.周长的最小值为5
C.直线的倾斜角为 D.四边形不可能是平行四边形
17．已知O为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过C的焦点F的直线交C于A，B两点，则下列选项正确的是( )
A.过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条
B.当时
C.为钝角三角形
D.的最小值为
18．已知抛物线的焦点为F,且,B,C三点都在抛物线上,则下列说法正确的是( )
A.点F的坐标为
B.若直线过点F,O为坐标原点,则
C.若,则线段的中点到y轴距离的最小值为
D.若直线,是圆的两条切线,则直线的方程为
19．已知抛物线的焦点为F,准线l与x轴交于点M,过M的直线l与抛物线C相交于,两点,点D是点A关于x轴的对称点,则下列说法正确的是( )
A. B.的最小值为10
C.B,F,D三点共线 D.
20．设抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线E相交于点A，B，与x轴相交于点C，，，则( )
A.p的值为2
B. E的准线方程为
C.
D.的面积与的面积之比为9
参考答案
1．答案：BD
解析：对于A,由题意知|,且轴,由抛物线的定义知,故,所以,所以,所以四边形的周长为,故A错误;对于B,,则,所以,所以,故B正确;对于C,过A,E分别作C的准线的垂线,垂足分别为,,则,当且仅当直线AB过点F时等号成立,所以点E到y轴的最小距离为,故C错误;对于D,设直线AB的方程为,联立方程,得,消去x并整理,得,则,且,,故,即为定值,故D正确.故选BD.
2．答案：BD
解析：设直线的方程为，，，
联立，可得，
所以，，
因为，所以，故，
因为，由抛物线定义可得，，，
则，解得或，
因为，所以，则E的准线方程为，故B正确，A错误；
又E的方程为，，，
把代入可得，，
不妨设，，则，故C错误；
设F到直线的距离为d，
的面积，的面积，
则的面积与的面积之比，故D正确.
故选：BD.
3．答案：BCD
解析：对于选项A:由抛物线C：，可得，解得，故准线方程为，故选项A错误；
对于选项B:设的中点为M,且A，B，M在准线上的投影为，，，
由抛物线的定义可知：，,
易知四边形为直角梯形，所以,
故以为直径的圆与C的准线相切，故选项B正确；
对于选项C:设，，
因为，
所以，所以线段中点的横坐标为，故选项C正确；
对于选项D:结合抛物线的焦点弦中通径最短，可得，要使，
则线段为抛物线的通径，则这样的直线有且只有一条,故选项D正确.
故选：BCD.
4．答案：ABD
解析：因为抛物线的焦点F到准线的距离为4,所以,
则抛物线,所以焦点,准线为,
对于A,由抛物线的定义可知,,,
所以,,又因为轴,
所以,,
所以,,
所以,
所以,所以,
所以,故A正确;
对于B,依题意过点F的直线的斜率不为0,设过点F的直线为,
由,消去x得,
显然,所以,,
则,,
则,解得,
又M为线段AB的中点,则,
所以点M到y轴的距离为,故B正确;
对于C,过点A作交点H,
由于,不妨设,则,,
由抛物线的定义可知,,,
则在直角中,,此时AB的倾斜角为,
根据抛物线的对称性可知,AB的倾斜角为或,
则直线AB的斜率为或,故C错误;
对于D,所以,
所以,
所以,
当且仅当,即时取得等号,故D正确.
故选:ABD.
5．答案：ABD
解析：由抛物线，可知，，设点，，则，
所以，而，所以，
所以，所以三角形MNF为正三角形，
所以，又轴，
所以，则
，
所以，，，所以直线的方程为：，
联立方程，可得，
所以，则，
所以，所以，故A正确；
，且，
，所以四边形DFMN是菱形，故D正确；
由于以AB为直径的圆与准线相切，点D在圆外，所以
是锐角，故B正确；
，，，
所以，，
所以，所以为钝角，所以是钝角三角形，故C错误.
故选：ABD.
6．答案：ACD
解析：
7．答案：ACD
解析：A选项，抛物线的准线方程为，，
由抛物线定义可得，
则，
由三角形三边关系可得，
当且仅当A，H，Q三点共线时，等号成立，
故的最小值为，A正确；
B选项，由题意得，点的轨迹方程为，
化简得，即以为圆心，3为半径的圆，
直线，即，
圆心到直线的距离为，
则P到直线的距离最大值为，
又，
故的面积最大值为，B错误；
C选项，为定值，由勾股定理得，
且，
要想取得最大值，则需最大，
如图所示，当FP与MP垂直且P在图中位置时，取得最大值，
其中，，故，，，
故当最大时，
，
则的面积为，C正确；
D选项，由题意得，，
，
连接AF，线段AF与圆M和抛物线的交点分别为P，Q，
即A，P，Q，F四点共线时，取得最小值，
最小值为，
故最小值为，D正确.
故选：ACD
8．答案：BCD
解析：对A,设抛物线,设直线,
设,,联立,
则,,,
由于,可得,代入上式得：,,
解得：,且直线的斜率为,
设直线MN的倾斜角为,则,且,
则,解得,故A错误;
对B,设抛物线,且直线的倾斜角为,
设直线：,
设,,联立,
则,,
,故B正确;
对C,由于点在抛物线C上,此时抛物线,
设,,
设直线,
联立
则,解得（舍去,此时重合）或,
则点到直线的距离为,
同理可得,因为,则到直线的距离为,
故所求距离之积为,故C正确;
对D,由于点在抛物线C上,此时抛物线,
设直线,
与抛物线方程联立可得,
则,则,用替换可得,
则,
则,,
故直线,即,
则点F到直线MN的距离,
而
即,
,
得,
令,
故,
,
当且仅当时等号成立,故D正确;
故选：BCD.
9．答案：ACD
解析：直线过点，所以，A正确；
由于，,即
由，
，，所以，所以，
，B错误；
若,设则
令，
，所以C正确；
，，成等差数列，得，，
过点A做垂直准线l与点，过点B做垂直准线l与点
则，
，，，，，
所以点F为中点，，D正确.
10．答案：ABD
解析：记抛物线焦点为F，MN中点A，过M，N，A分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为P，Q，T，
则，
又，所以，抛物线方程为，
故选项A，B正确；
显然直线l斜率存在且不为0，设直线l方程为与抛物线方程联立，消去y得：，
设，，则，
而，
所以，解得：，，故选项C不正确；
直线l方程为，可得原点O到直线l距离为，
所以的面积为，故选项D正确；
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：对于A,设点B在准线l上的投影为D,准线l与y轴交于点E,
又,,则,所以,故A正确;
对于B,设点A在准线l上的投影为点M,易证,又,
,即,,,故B正确;
对于C,分两种情况：当点A,B都在第一象限,设,,
由焦半径公式可得,,,
令,
设,且,
,当且仅当时取得最小值.
当点B在第二象限时,设,,
则,,所以,
同理令,且,,
所以,当且仅当时取得最小值,
综上,面积的最小值为,故C错误;
对于D,当点A,B都在第一象限,,,
则,所以,即,,
当点B在第二象限时,同理可得,即,,
综上,的面积大于,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：AD
解析：对于A：根据抛物线的定义知，得，故A选项正确；
对于B：设，，因为直线斜率必存在，
设直线的方程为，代入得，，
所以，，所以，
解得，所以直线恒过定点，故B选项错误；
对于C：的外接圆与抛物线的准线相切，，，
因为外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点，
从而可得外接圆圆心的纵坐标为，又与抛物线准线相切，
所以得外接圆半径为，故C选项错误；
对于D：因为，所以直线过焦点F，且，
设直线的倾斜角为θ，由抛物线性质知的斜率为互为相反数的两个值，
如图，过M，N分别向准线作垂线，，过N向作垂线，
设，则，，，，
，，，
根据对称性可得，故D选项正确.
故选：AD.
13．答案：BC
解析：设,,,,易知点P的轨迹是抛物线的上半部分,抛物线的准线为直线,P到准线的距离,F为抛物线的焦点,
所以,所以的最小值为,A错误,B正确.,所以的最小值是,C正确,D错误.
14．答案：BC
解析：抛物线化为标准方程为,因为F到的准线l的距离为2,所以,所以,故A错误;
由得,的方程为,所以,所以直线m的斜率,故B正确;
,当且仅当点A是线段DF与的交点时,等号成立,故C正确;
不妨设点A在第一象限,则点,所以,所以直线m的斜率,所以直线m的方程为,化简可得,,令,则,所以,因为,所以,所以,,,所以,故D错误.故选BC.
15．答案：ACD
解析：
16．答案：BD
解析：抛物线的焦点为，准线方程为，
又点满足，所以，
即，解得或(舍去)，
所以抛物线，则准线方程为，焦点为，故A错误；
过点P作准线的垂线，垂足为H，由抛物线的定义可知，
所以，
当且仅当M、P、H三点共线时取等号，
所以周长的最小值为5，故B正确；
因为，所以直线的倾斜角为，故C错误；
过点M作的平行线，交抛物线于点P，
即，解得，即，则，
所以四边形不是平行四边形，故D正确.
故选：BD.
17．答案：ACD
解析：因为抛物线上一点到其准线的距离为3，所以，解得，所以抛物线C的标准方程为.
对于A，因为，当时，，故点在抛物线C的外部，显然过点与抛物线C相切的直线有2条，当过点的直线与x轴平行时，与抛物线C也仅有一个公共点，所以过点且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，故A正确；
对于B，由抛物线C的方程可知，焦点，当直线l的斜率不存在时，，又，所以，不符合题意，所以直线l的斜率存在且不为0，设，，，，联立消去x整理得，所以，，，又，所以，解得，则，，则，故B错误；
对于C，由选项B可知，，所以，所以是钝角三角形，故C正确；
对于D，由选项B可知，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故D正确.故选ACD.
18．答案：ABD
解析：因为在抛物线上,所以,解得,所以,故A正确;
显然直线的斜率不为0,设直线的方程为,,,
由得,所以,所以,
所以,故B正确;
因为（大于通径长）,
当且仅当B,C,F三点共线时,等号成立,所以,所以,
即线段的中点到y轴距离的最小值为,故C错误;
直线的斜率为,所以直线的方程为,
即,又直线与圆相切,
所以,整理得,
即.同理可得,
所以直线的方程为,故D正确.
故选：ABD.
19．答案：CD
解析：设直线,联立方程组
,,则,
选项A不正确;
,所以
当且仅当时等号成立,所以的最小值为9,选项B不正确;
,设,联立方程组,,
则,所以,
即直线BD过点F,选项B正确;
对于D选项,,,
,选项D正确.
正确答案是：CD.
20．答案：AD
解析：设直线AB的方程为，，，联立可得，所以，，故.
因为，，所以，，则，解得或.因为，所以，则E的准线方程为.又，，不妨取，，所以，.故选AD.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()