幂函数 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练（含解析）

幂函数 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练
一、多项选择题
1．已知定义在R上的函数满足：，则( )
A.是奇函数
B.若，则
C.若，则为增函数
D.若，，则为增函数
2．已知定义在R上的函数的图象是连续不断的,且满足以下条件：①,;②,当时,;③.则下列选项成立的是( )
A.
B.若,则
C.若,则
D.,,使得
3．已知函数在区间上的最小值为9,则a可能的取值为( )
A.2 B.1 C. D.
4．下列命题是真命题的是( )
A.若函数,则
B.“,”的否定是“,”
C.函数为奇函数
D.函数且的图象过定点
5．已知，幂函数的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是( )
A. B.
C.若，则 D.若，则
6．已知是定义在R上的奇函数，当时，，下列说法正确的是( )
A.时， B.函数在R上为增函数
C.不等式的解集为 D.不等式恒成立
7．已知函数，则( )
A.的定义域为 B.为非奇非偶函数
C.的最大值为8 D.的最小值为2
8．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：圆O的圆心在原点，若函数的图象将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”.下列说法正确的有( )
A.对于圆O，其“太极函数”只有1个
B.函数是圆O的一个“太极函数”
C.函数是圆O的“太极函数”
D.函数是圆O的一个“太极函数”
9．已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上任意两点，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
10．已知函数,则( )
A.是奇函数 B.的最小正周期为
C.的最小值为 D.在上单调递增
11．若函数的导函数是偶函数,则下列说法正确的是( )
A.的图象关于中心对称
B.有3个不同的零点
C.最小值为
D.对任意,,都有
12．下列函数中是偶函数,且在上为增函数的有( ).
A. B. C. D.
13．下列结论正确的是( )
A.若，则A，B，C三点共线
B.若，则线段的中点坐标为
C.模等于1个单位长度的向量称为单位向量
D.是幂函数
14．已知可导函数及其导函数的定义域均为R，若是奇函数，，且对任意x，，恒有，则一定有( )
A. B. C. D.
15．已知函数,的定义域均为R,为偶函数,,且当时,,则( )
A.为偶函数 B.的图象关于点对称
C. D.8是函数的一个周期
16．已知函数恰有三个零点,设其由小到大分别为,,,则( )
A.实数a的取值范围是 B.
C.函数可能有四个零点 D.
17．下列函数中,是偶函数,且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
18．已知函数的图象经过点,则( )
A.函数为增函数 B.函数为偶函数
C.当时, D.函数是非奇非偶函数
19．已知是定义域为的非常数函数,若对定义域内的任意实数x,y均有,则下列结论正确的是( )
A. B.的值域为
C. D.是奇函数
20．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.对于任意的,总为奇函数
B.对于任意的,总为周期函数
C.当时,图像关于点中心对称
D.当时,的值域为
参考答案
1．答案：ABD
解析：对A：定义域为R，关于原点对称；
对原式，令，可得，解得；
对原式，令，可得，即，
故是奇函数，A正确；
对B：对原式，令，可得，
又，则；
由A可知，为奇函数，故，故B正确；
对C：由A知，，又，对，
当时，；当时，；
故在时，不是单调增函数，故C错误；
对D：在R上任取，令，
则
，
由题可知，，又，故，
即，，故在R上单调递增，
也即在R上单调递增，故D正确；
故选：ABD.
2．答案：ACD
解析：由,得：函数是R上的偶函数,
由,,,得：在上单调递增,
对于A,,A正确;
对于B,,又函数的图象是连续不断的,
则有,解得,B不正确;
对于C,由及得,,解得或,
由得：,解得,
化为：或,解得或,即,C正确;
对于D,因R上的偶函数的图象连续不断,且在上单调递增,
因此,,,取实数m,使得,则,,D正确.
故选：ACD
3．答案：AD
解析：因为函数的对称轴为,开口向上,
又因为函数在区间上的最小值为9,
当,即时,函数的最小值为与题干不符,所以此时不成立;
当时,函数在区间上单调递增,
所以,解得：或,
因,所以;
当,也即时,函数在区间上单调递减,
所以,解得：或,
因为,所以;
综上：实数a可能的取值2或-10,
故选：AD.
4．答案：ABD
解析：令,则,A正确;
由全称量词命题的否定是特称量词命题知,
“,”的否定是“,”,B正确;
的定义域为R,且,故函数是偶函数,C错误;
令,则,D正确.
故选：ABD.
5．答案：BD
解析：因为幂函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，则，即，则在上单调递减，所以，故B正确，A错误；因为，在上单调递减，且函数为偶函数，所以，故D正确，C错误.
6．答案：BC
解析：
A × 设，则，则.又是奇函数，所以，即时，.
B √ 图象的对称轴方程为，所以当时，单调递增，且.因为奇函数图象关于原点对称，，所以在R上为增函数.
C √ 当时，令，得，即，所以不等式转化为.又在R上为增函数，所以，解得，所以不等式的解集为.
D × 当时，，，不恒大于0.
7．答案：ABD
解析：由题设可得函数的定义域为，则选项AB正确；
，而，即，，，的最大值为，最小值为2，则选项C错误，D正确.
故选：ABD.
8．答案：BD
解析：对于A选项，圆O的“太极函数”不止1个，故A错误；
对于B选项，函数当时，，当时，，
故为奇函数，画出函数的简图如图所示，可知函数为圆O的一个“太极函数”，故B正确；
对于C选项，函数的定义域为R，，也是奇函数，画出函数的简图如图所示，当且仅当函数图象与圆O只有两个交点时，为圆O的一个“太极函数”，故C错误；
对于D选项，函数的定义域为R，，故为奇函数，，，在上均单调递增，所以在R上单调递增，画出函数的简图如图所示，可知函数是圆O的一个“太极函数”，故D正确.
故选BD.
9．答案：BC
解析：设幂函数，则有，解得，所以.
作出函数的大致图象如图所示，由其图象知图象上的点与原点连线所在直线的倾斜程度随x的增大而减小，即，即，所以B，C正确.
10．答案：AC
解析：对于A,函数定义域为R,有,
所以是奇函数,A正确;
对于B,有,.
所以,这表明不是的周期,B错误;
对于C,我们有,
而之前已计算得到,故的最小值为,C正确;
对于D,由于,,
故,所以在上并不是单调递增的,D错误.
故选：AC.
11．答案：ABD
解析：因为,则,
又是偶函数,所以,即,
所以对任意的x恒成立,所以,解得,则,定义域为,
且,即为奇函数,
所以的图象关于中心对称,故A正确;
令,即,解得,,,
所以有3个不同的零点,故B正确;
因为,所以当或时,当时,
即的单调递增区间为,,单调递减区间为,
所以不存在最值,故C错误;
设任意,,则,,则,
又,
所以
,当且仅当时取等号,
所以对任意,,都有,故D正确;
故选:ABD
12．答案：BD
解析：对于A:定义域为,关于原点对称,是奇函数,不满足题意;
对于B:定义域为R,关于原点对称,,,是偶函数,由二次函数的性质可知,函数在上为增函数,满足题意;
对于C:定义域为R,关于原点对称,,,是奇函数,不满足题意;
对于D:定义域为,关于原点对称,,,是偶函数,当时,,由对数函数的性质可知,在上为增函数,满足题意.
故选:BD.
13．答案：ABC
解析：对于A，若，，，则，，
因为，所以，
又，有公共点A，所以A，B，C三点共线，A正确；
对于B，由中点坐标公式可得线段的中点坐标为，B正确；
对于C，根据单位向量的定义可知，C正确；
对于D，形如的函数称为幂函数，所以不是幂函数，D错误.
故选：ABC
14．答案：ABD
解析：因为是R上的奇函数，
所以，
则，即是R上的偶函数.
令，由得：，①
令x取，得，
结合是R上的奇函数，是R上的偶函数，得，②
结合，由①-②可得：，即.
所以，
又因为是R上的奇函数，
所以，
则，
所以函数，是周期为3的函数.
对于选项A：因为，，
所以令，得，
所以，故选项A正确；
对于选项B：因为是R上的奇函数，周期为3，
所以，故选项B正确；
对于选项C：因为，
所以，故选项C错误；
对于选项D：因为是R上的偶函数，周期为3，
所以.
令，，由得：，解得：，
所以，故选项D正确.
故选：ABD.
15．答案：ABD
解析：依题意,,,即有,
两式相加整理得,因此的图象关于点对称,B正确;
由为偶函数,得,于是,
有,因此函数的周期为4,8是函数的一个周期,D正确;
由,得,而,因此,为偶函数,A正确;
由当时,,得,而,,,
即有,,C错误.
故选：ABD.
16．答案：CD
解析：对于B,,
设,则它的定义域为,它关于原点对称,
且,所以是奇函数,
由题意有三个根,,,则,故B错误;
对于C,由,
所以,所以,
即已经有3个实根,,,当时,令,则,只需保证,,可使得方程有4个实根,故C正确;
由B可知,,而,
又,
所以
,故D正确;
对于A,,
设,则,
所以,从而,故A错误.
故选：CD.
17．答案：AD
解析：对于A,设,,,
,则函数在单调递减,单调递增,
所以是偶函数,且在区间上单调递增,故A正确;
对于B,为二次函数,开口向下,对称轴为y轴,
所以函数是偶函数,且在,单调递减,故B错误;
对于C,为反比例函数,关于原点对称,是奇函数,
在单调递增,故C错误;
对于D,二次函数,开口向上,对称轴为y轴,
所以函数是偶函数,且在,单调递增,故D正确;
故选:AD.
18．答案：ACD
解析：函数的图象经过点,则,故函数为.
由幂函数性质可知,函数为增函数,非奇非偶函数,.
故选:ACD
19．答案：AC
解析：对于A, 令,则,可得,
且不恒为0,所以,故A正确；
对于B,例如,可知是定义域为的非常数函数,
且,
可知符合题意,但,故B错误；
对于C,令,则,可得,
即,故C正确；
对于D,例如,可知是定义域为的非常数函数,
且,
注意到,,,同号,
可得,
可知符合题意,
但,即为偶函数,故D错误；
故选：AC.
20．答案：ABD
解析：
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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