椭圆. 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练（含解析）

椭圆. 多选题—— 2025届高中数学一轮复习题型滚动练
一、多项选择题
1．已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为( )
A. B. C. D.
2．下列四个命题中，假命题的是( )
A.要唯一确定抛物线，只需给出抛物线的准线和焦点
B.要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆的上一点
C.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点
D.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率
3．关于x，y的方程表示的曲线可以是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
4．加斯帕尔 蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）.已知长方形R的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的离心率为 B.椭圆C的蒙日圆方程为
C.椭圆C的蒙日圆方程为 D.长方形R的面积最大值为18
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，P为椭圆上一点，则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的离心率为
B.满足条件点有两个
C.以，为焦点，以，为顶点的双曲线的渐近线方程为
D.的内切圆面积的最大值为
6．已知点A，B是椭圆上关于原点对称且不与C的顶点重合的两点，C的左 右焦点分别为，，点O为原点，则( )
A.C的离心率为
B.的值可以为3
C.
D.若的面积为，则
7．已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，它们的离心率分别为，，P是它们在第一象限的交点，的内切圆圆心为Q，，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A.若，则
B.若，则的最小值为
C.过作直线的垂线，垂足为H，点H的轨迹是双曲线
D.两个曲线在P点处的切线互相垂直
8．已知，分别为椭圆和双曲线的公共左，右焦点，P（在第一象限）为它们的一个交点，且，直线与双曲线交于另一点Q，若，则下列说法正确的是( )
A.的周长为 B.双曲线E的离心率为
C.椭圆C的离心率为 D.
9．已知曲线，则下列说法正确的是( )
A.若，，且，则曲线C是椭圆
B.若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆
C.若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
D.曲线C可以是抛物线
10．设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，若，且的周长为8，则( )
A. B.C的离心率为
C.可以为 D.可以为直角
11．已知椭圆的上顶点、左顶点为P,Q,M,N为椭圆C上异于点P,Q的两个不同点,则下列结论正确的是( )
A.若直线,的斜率之和为-1,则直线恒过定点
B.若直线,的斜率之积为-1,则直线恒过定点
C.若直线,的斜率之和为-1,则直线恒过定点
D.若直线,的斜率之积为-1.则直线但过定点
12．已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，.A，B，两点都在C上，A，O，B三点共线，P（不与A，B重合）为上顶点，则( )
A.的最小值为4 B.为定值
C.存在点A，使得 D.
13．已知某曲线方程为，其中，a与b可以相等，则下列说法正确的是( )
A.该曲线为圆的概率为 B.该曲线为椭圆的概率为
C.该曲线为双曲线的概率为 D.该曲线为抛物线的概率为
14．已知椭圆上存在点P，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为( )
A. B. C. D.
15．一般地,我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”,则下列命题正确的有( )
A.椭圆是“黄金椭圆”
B.若椭圆是黄金椭圆,则
C.设“黄金椭圆”C的左右焦点分别为,,存在椭圆C上一点P,使得
D.设过原点的直线与焦点在x轴上的“黄金椭圆”分别交于A、B两点,“黄金椭圆”上动点P(异于A,B),设直线PA,PB的斜率分别为,,则
16．已知椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为,P,Q为C上的动点,的最大值为6,则下列结论中正确的是( )
A.椭圆C的短轴长为
B.当P,Q分别在x轴的上方和下方时四边形的周长的取值范围是
C.存在四个不同的点P,使得
D.若为锐角三角形,则点P横坐标的取值范围是
17．设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A.椭圆C的离心率
B.
C.面积的最大值为12
D.的最小值为
18．已知，是曲线上不同的两点，O为坐标原点，则( )
A.的最小值为3
B.
C.若直线与曲线C有公共点，则
D.对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P，都存在点Q，使得曲线C在P，Q两点处的切线垂直
19．已知椭圆的左 右顶点分别为A,B,左焦点为F,M为C上异于A,B的一点,过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N,交x轴于点T,则( )
A.存在点M,使
B.
C.的最小值为
D.周长的最大值为8
20．椭圆的两个焦点分别为，，则下列说法正确的是( )
A.过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8
B.若C上存在点P，使得，则m的取值范围为
C.若直线与C恒有公共点，则m的取值范围为
D.若，P为C上一点，，则的最小值为
参考答案
1．答案：AC
解析：由椭圆的定义可得，.
因为椭圆G的离心率为，则，所以.
若椭圆G的焦点在x轴上，则椭圆G的方程为；
若椭圆G的焦点在y轴上，则椭圆G的方程为.故选AC.
2．答案：CD
解析：A：选项中给出抛物线上的焦点和准线，由抛物线定义可确定抛物线的焦点到准线的距离，所以能唯一确定抛物线，故A正确；
B：选项中以坐标原点为中心，给出椭圆的一个焦点，则另一个焦点能确定，再给出椭圆上一点，则可确定椭圆上点到两个焦点的距离和，由椭圆定义可知，能唯一确定椭圆，所以B选项正确；
C：选项中以坐标原点为中心，若给出的双曲线上的两点关于双曲线的对称轴对称，则无法确定双曲线，所以C选项不正确；
D：选项给出双曲线的一条渐近线方程和离心率，但无法确定焦点的位置，所以无法唯一确定双曲线，所以D选项不正确.
故选：CD.
3．答案：ABD
解析：根据椭圆的定义，若，即，
方程表示焦点在x轴上的椭圆，所以A正确；
若，即，则方程表示焦点在x轴上的双曲线，
所以B选项正确；
因为方程中既有又有，则方程不能表示抛物线，
所以C错误；
当，即时方程为表示圆，
所以D正确.
故选:ABD.
4．答案：ACD
解析：由题知椭圆方程为:，
所以，
故选项A正确;
因为长方形R的四边均与椭圆相切，
所以点，即在蒙日圆上，
故半径为，
可得椭圆C的蒙日圆方程为;
故选项B错误，选项C正确;
设长方形R的边长为m，n，
则有，
所以长方形R的面积等于，
当且仅当时取等，
故选项D正确.
故选:ACD.
5．答案：ACD
解析：对于A，由方程，则,，解得，
离心率，故A正确；
对于B，由A可知，，设，
直线的斜率，直线的斜率，
由，则，可得，
因为P在椭圆上，则，解得，
由，则，所以P有四个，故B错误；
对于C，由A可知：，，，，
则双曲线的，，解得，
该双曲线的渐近线方程为，则，故C正确；
对于D，设内切圆的半径为r，易知，
其中为的面积，为为周长，则，
易知当P为椭圆的上顶点，则，所以的最大值为，
r的最大值为，内切圆面积的最大值为，
故D正确.
故选：ACD.
6．答案：ACD
解析：椭圆中，，，，离心率为，A正确；，B错误；由对称性可得，所以，C正确；不妨设A在第一象限，，则，，则，则，，，故D正确.故选ACD.
7．答案：ABD
解析：A选项，因为，
所以，，
又，
故，
则，
由椭圆定义可得，
由双曲线定义可得，
解得，，
由勾股定理得，即，
化简得，
即，
又，，所以，A正确；
B选项，若，由余弦定理得，
即，
由（1）得，
代入上式得，即，
即，
因为又，，所以，
由基本不等式得，即，
解得，当且仅当时，等号成立，
则的最小值为，B正确；
C选项，过作直线的垂线，垂足为H，延长交于点M，
因为平分，由三线合一得，H为的中点，
则，
连接，由中位线性质得，
故点H的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆，C错误；
D选项，下面证明椭圆在处的切线方程为，理由如下：
当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，化简得：
，
所以，
把代入，得：，
于是，
则椭圆的切线斜率为，切线方程为，
整理得到，
其中，故，即，
当时，此时或，
当时，切线方程为，满足，
当时，切线方程为，满足，
综上：椭圆在处的切线方程为；
下面证明：上一点的切线方程为，
理由如下：设过点的切线方程为，与联立得，
，
由
化简得，
因为，代入上式得，
整理得，
同除以得，，
即，
因为，，
所以，
联立，两式相乘得，，
从而，
故，
即，
令，则，即，
解得，即，
故椭圆：在点处的切线斜率为，
双曲线在点处切线斜率为，
又，故，
化简得，
又，所以，故，
则斜率乘积为，
故两曲线在点P处的切线互相垂直，D正确.
故选：ABD.
8．答案：BCD
解析：设，则，，，
中由余弦定理，得
，化简得，
，D正确；
又，所以，又，
的周长为，A错误；
中，，由余弦定理得，所以，
因此双曲线的离心率为，B正确；
椭圆的离心率为，C正确，
故选：BCD.
9．答案：ABC
解析：若，则，曲线表示焦点在y轴上的椭圆.
若，则，曲线表示焦点在x轴上的椭圆，故A，B正确.
对C，若，则，曲线表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确.
对D，抛物线的标准方程为，，，，故D错误.故选ABC.
10．答案：AC
解析：由，如下图周长为，故，
所以，椭圆离心率为，A对，B错；
当轴，即AB为通径时，且，
所以，故可以为，C对；
由椭圆性质知：当A为椭圆上下顶点时最大，此时，
且，故，即不可能为直角，D错.
故选：AC
11．答案：ABC
解析：易知,,设,.
依题意,设直线的方程为,,,,.
联立得,,.
,
.代入整理,
得.,,.
直线恒过定点;
,代入整理,得,
解得或（舍去）.直线恒过定点;
.
代入整理,得,或,
恒过定点（舍去）或;.代入整理,
得,解得或,恒过定点或（舍去）.直线恒过定点.
故选：ABC.
12．答案：BCD
解析：对于A，由椭圆的方程可知，，，
所以焦点，，设，则，，
因为在椭圆上，所以，
，
即，A错误；
对于B，由椭圆的对称性可知，，可得B正确；
对于C，因为，所以以为直径的圆与椭圆有交点，则存在点A，
使得，故C正确；
对于D，设，则，，
则，
故D正确.
故选:BCD.
13．答案：BC
解析：所有可能得曲线方程对应的曲线形状列表如下：
ba －1 1 2
－1 双曲线 双曲线
1 双曲线 圆 椭圆
2 双曲线 椭圆 圆
所以该曲线为圆的概率为，A错误，
该曲线为椭圆的概率为，B正确，
该曲线为双曲线的概率为，C正确，
该曲线为抛物线的概率为，D错误，
故选：BC.
14．答案：BCD
解析：因为，又，所以，，
又，即，
所以，则，又，所以，故符合题意的有BCD.
故选：BCD
15．答案：AD
解析：选项A,,离心率为,A正确;
选项B,若焦点在x轴,由得,,若焦点在y轴,由得,,B错;
选项C,,所以,
因此当P为椭圆短轴顶点时,最小,且,则P在以为直径的外,所以不存在P使得,C错;
选项D,椭圆方程为,,设,直线方程为（P不在直线上）,
由,解得,或,
即,,
,
又,即,代入得
,D正确．
故选：AD．
16．答案：AD
解析：由题给条件可得,解之得,则,
则椭圆C的方程为.设椭圆C的上顶点为,
选项A：椭圆C的短轴长为.判断正确;
选项B：当P,Q分别在x轴的上方和下方时,
四边形的周长为.判断错误;
选项C：中,,,
则,则.又当P为短轴端点时取得最大值,
则存在2个不同的点P,使得.判断错误;
选项D：由,可得,
由椭圆C的半焦距为2,则由为锐角三角形,
可得点P横坐标的取值范围是.判断正确.
故选：AD
17．答案：AC
解析：对于A，由椭圆方程得，，所以，
所以离心率为，故A对；
对于B，由椭圆定义可知，故B错；
对于C，由椭圆图形的结构特征及性质可知当P位于椭圆上顶点或下顶点时，
面积取得最大，最大值为，故C对；
对于D，由椭圆性质可知，所以的最小值为2，故D错.
故选：AC.
18．答案：BCD
解析：当时，原方程即，
化简为，轨迹为椭圆，
将代入，解得，则此时，
即此部分为椭圆的一半，
当时，原方程即，
化简得，
将代入，解得或，
则此时，即此部分为圆的一部分，作出曲线的图形如下：
选项A：当时，，当时取最小值3，
当时，，当时取最小值1，
则的最小值为1，故A错误；
选项B：因为表示点与点和点的
距离之和，当时，点和点为椭圆的焦点，
由椭圆定义可知=4，
当时，点为圆的圆心，点在圆上，
所以=
当点P在或时最大，且为2，
所以，
即，故B正确；
选项C：直线过定点，当直线经过或时，
直线斜率，
联立，化简得，
因直线与曲线C有公共点，即，
解得或，
所以直线与曲线有公共点时，故C正确；
选项D：当点P在椭圆上时，对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P，
则曲线C在点P处的切线斜率可以取任何非零正实数，
曲线C在y轴右侧椭圆部分切线斜率也可以取到任何非零负实数，使得两切线斜率为负倒数，
同理，当点P在圆上时，对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P，
则曲线C在点P处的切线斜率可以取任何非零负实数，
曲线C在y轴右侧圆部分切线斜率也可以取到任何非零正实数，使得两切线斜率为负倒数，
所以对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P，都存在点Q，使得曲线C在P，Q两点处的切线垂直，故D正确；
故选：BCD.
19．答案：BCD
解析：对于A,设椭圆的上顶点为E,则直角三角形中,
,则,故A错误；
对于B,设,则,,且,即,又,,
则,
又,故,则B正确；
对于C,,,,
则当时,取最小值为,故C正确；
对于D,设椭圆的右焦点为,
的周长为：,
当且仅当M,N,F三点共线时,等号成立,故D正确,
故选：BCD.
20．答案：BD
解析：对于A，由椭圆定义可得的周长为，但焦点不一定在x轴上，故A错误；
对于B，若，则，当P位于短轴顶点时，最大，此时，即.当时，由，解得；当时，由，解得，故B正确；
对于C，直线过定点，所以，即，又，所以m的取值范围为，故C错误；
对于D，设，所以，当时，，故D正确.故选BD.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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