重庆市荣昌中学2024-2025高三上学期10月期中考试数学试题（含答案）

荣昌中学高2025届高三上期半期检测
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】A
2.
【答案】B
3.
【答案】D
4.
【答案】B
5.
【答案】A
6.
【答案】C
7.
【答案】B
8.
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的的6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】BCD
10.
【答案】ACD
11.
【答案】BCD
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】2
13.
【答案】（答案不唯一）
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）利用根与系数关系以及同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
（2）先求得，然后利用二倍角公式求得.
【小问1详解】
因为、是方程的两个实数根，
由韦达定理得，
由，
则，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，，，
所以.
16.
【解析】
【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案；
（2）转化为的图象有2个交点，令，利用导数求出值域，结合图象可得答案.
【小问1详解】
当时，，所以,
，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
【小问2详解】
，
由得，
的图象有2个交点，
令，
，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，
且时，，，
所以时，，所以的大致图象如下，
所以若函数有两个零点，
则，
所以实数的取值范围为.
17.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理可得，从而可求.
（2）利用向量可得，平方后结合基本不等式可得，从而可求面积的最大值.
【小问1详解】
，由三角形正弦定理可得
即，，
，
，
故，
是的内角，
，，而为三角形内角，
.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
所以，故，
由基本不等式可得，故，
当且仅当时等号成立，
故面积的最大值为
18.
【解析】
【分析】（1）先用表示出，结合题意即可求出的最小值；
（2）由题意可知，满足二项分布，故易得能正常工作的设备数的分布列；
（3）分别计算两种方案的损失期望值，即可做出决策.
【小问1详解】
要使系统的可靠度不低于0.992，设能正常工作的设备数为，
则，
解得，故的最小值为0.8．
【小问2详解】
设为正常工作的设备数，由题意可知，，
，
，
，
，
从而的分布列为：
0 1 2 3
0.027 0.189 0.441 0.343
【小问3详解】设方案1 方案2总损失分别为，，
采用方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，
可知计算机网络断掉的概率为：，
故万元．
采用方案2，花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”，
计算机网络断掉的概率为：，
故万元．
因此，从经济损失期望最小的角度，决策部门应选择方案2．
19.
【解析】
【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数的值，这样的值存在即可判断.
（2）反证法，假设存在这样的，又“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可.
（3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性即可得出函数取值范围.
【小问1详解】
当时，，
所以，
当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以，因此是极值可差比函数．
【小问2详解】
的定义域为，即，
假设存在，使得的极值差比系数为，则是方程的两个不等正实根，
，解得，不妨设，则，
由于
所以，从而，
得
令，
所以在上单调递增，有，
因此式无解，即不存在使的极值差比系数为．
小问3详解】
由（2）知极值差比系数为，
即，不妨设，
令，极值差比系数可化为，
，
又，解得，
令，
设
所以在上单调递减，当时，，
从而，
所以在上单调递增，所以，
即．
故的极值差比系数的取值范围为．荣昌中学高2025届高三上期半期检测数学试题
时间：120分钟满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则“是函数为偶函数”（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知且，则（）
A. B. C. D.
3. 已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知，，，则（）
A. B. C. D.
5. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A. B.
C. D.
6. 设函数，已知在上有且仅有个极值点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 已知函数在上有极值，则实数的取值范围为（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数方程有两个不同的根，分别是则（）
A. B. 3 C. 6 D. 9
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的的6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（）
A. 函数与是同一个函数
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 已知命题p：，，则命题p的否定为，
D. 定义在R上的偶函数满足，则函数的周期为2
10. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 是函数的周期
B. 函数区间上单调递增
C. 函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到
D. 函数的对称轴方程为
11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确是（）
A. 在上单调递增
B. 当有且仅有3个零点时，的取值范围是
C. 若直线与曲线有3个不同的交点，且，则
D. 当时，过点可以作曲线的3条切线
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则______.
13. 定义在上的函数满足以下两个性质：①，②，满足①②的一个函数是______．
14. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知、是方程的两个实数根.
（1）求实数的值；
（2）若，求的值.
16. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程.
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.
（1）求∠B的值；
（2）已知D在边AC上，且，，求△ABC面积的最大值.
18. 在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响．
（1）要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值；
（2）当时，求能使系统正常工作设备数的分布列；
（3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：
方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元；
方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”．
请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由．
19. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．
（1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
（2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）若，求的极值差比系数的取值范围．