广东省江门市台山市第一中学2024-2025高一上学期11月期中考试数学试题 (原卷版+解析版)

台山一中2024—2025学年度第一学期中段考试
高一数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设命题：，，则的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.一个面积为的等腰梯形，上底长为，下底长为上底长的倍，则把它的高单位：表示成的函数为( )
A. B.
C. D.
4.“且”是“6”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
5、已知二次函数满足，且则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6.关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.设，，，则．
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选
项中，至少有两项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不
选得0分）.
9.下列不等式的解集是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
10.下列各式正确的是（ ）
A．设，则 B．已知，则
C．若，，则 D．
11.若均为正实数，且满足，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为4 D. 的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.
12.函数的定义域是 ．
13.若幂函数，且在上单调递增，则实数 ．
14.定义：对于函数，若定义域内存在实数满足：，则称为“局部奇函数”若是定义在区间上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知集合，．
（1）当时，求及； （2）若，求的取值范围．
16.（本小题满分15分）
函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求的值； （2）判断并证明在的单调性．
17.（本小题满分15分）
以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台．
（1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式
（2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大并求最大年利润．
18.（本小题满分17分）
已知是定义在上的奇函数，当时，
（1）求及
（2）求函数在上的解析式；
（3）若，恒成立，求实数的取值范围．
19.（本小题满分17分）
已知，函数
（1）当，请直接写出函数的单调递增区间（不需要证明）；
（2）记在区间上的最小值为，求的表达式；
（3）对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围．台山一中2024—2025学年度第一学期中段考试
高一数学评分标准
1.【答案】 解：，，
则．
2.【答案】 解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，
命题：，，它的否定为：，．
3.【答案】 解：由，得，．
4.【答案】 解：若且4，则，一定成立，即且6．
当，7满足，但不满足且4成立
5.【答案】A 解：设，则
依题意有，化简得：
解得 由得 则
6.【答案】C 解：由一元二次不等式恒成立得
解得
7.【答案】 解：由指数函数的单调性可知，即，，即
8.【答案】 解：因为在R上递减，所以 解得
9.【答案】 解：把二次不等式都化为的形式，再判断
是否成立即可选出答案
10.【答案】BC 对于A，，故A对；对于B，，故B对；对于C，，，，故C对；对于D， 故D错．
11.【答案】 解：对于，由，得，当且仅当时等号成立，A正确对于，则，当且仅当，时取等号，又当，时，故等号能取到．则的最小值是，故B错误
对于，，均为正数，且满足，，
当且仅当，即时取等号，则的最小值是，故C正确
对于，观察知，故，当且仅当，即时取等号，故D正确．
12.【答案】 解：函数，要使其有意义，即，得，
解得：1．函数的定义域是．
13.【答案】 解：由幂函数的解析式可得，即，解得或，
当时，在上单调递减，不符合题意；
当时，在上单调递增，符合题意．综上可知，．
14.【答案】 解：根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：
若函数是定义在区间上的“局部奇函数”，
则方程在区间上有解，即，
变形可得，即在区间上有解即可．
设，，易知为偶函数且在上单调递增，
所以可得，所以在区间上有解时，．
15.解：，，…… 1分
又， …… 4分
． …… 5分 …… 6分
由题意可得， …… 8分
又， …… 10分 解得，…… 12分
所以实数的取值范围为． …… 13分
16.解：根据题意，是定义在上的奇函数，且，
则， …… 2分
则有 …… 4分 解可得2，； …… 5分 经检验 符合题意．…… 6分
（2）函数在上单调递减 …… 7分
由的结论， 任取， …… 8分
…… 11分
又由，则， …… 13分 则，…… 14分
所以函数在上单调递减． …… 15分
17.解：当时， …… 2分
当时，， …… 4分
所以 …… 6分
当时，， …… 8分
所以当时，， …… 9分
当时，，…… 12分
当且仅当时取等号，即时取等号，…… 13分
因为，所以，…… 14分
故当年产量为百台时，企业所获利润最大，最大利润为万元． …… 15分
18.（1）解：由题意知，解得，…… 2分，所以当时，， …… 3分
所以 …… 4分
（2）当，则，所以．…… 6分
又为奇函数，所以， …… 7分
故当时，． …… 8分
综上：． …… 9分
（3）解：由，得，…… 10分
因为是奇函数，所以．…… 11分
当时，所以函数在上单调递增，…… 12分
由题意得对恒成立 …… 13分
对恒成立 …… 15分
时，，当且仅当时等号成立 …… 16分
…… 17分
19.解：当时，
所以函数的单调递增区间为；…… 3分
由题意可知 …… 4分
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以； …… 6分
当时，函数在上单调递减，则，…… 8分
综上所述，； …… 9分
当，时，令，则，
若，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
且，， …… 11分
此时，此时；…… 14分
若时，当时，函数在上单调递减，
此时，此时， …… 16分
综上所述，． …… 17分