四川省南充高级中学2024-2025高一上学期期中考试数学试题（含答案）

南充高中2024—2025学年度上学期期中考试
高2024级数学试卷
（时间：120分钟 总分：150分 ）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列选项中，能够构成集合的是（ ）
A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题
C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数的大致图象如图所示，则可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．不确定
7．“高斯函数”为，其中表示不超过的最大整数，例如，，
已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义为，，都有，且，
都有，若，则的取值范围是（ ）
B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若集合，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列选项中正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．在上单调递增
D．当时，，则的最小值为，最大值为
11．函数，则下列选项中正确的有（ ）
A．函数的图象关于原点对称
B．若，则函数是定义域上的增函数
C．若，则函数的值域为
D．若，则，不等式（是一个无限小的正实数）恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
函数的值域为 .
把集合用列举法表示为 .
已知正实数满足，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（本小题满分13分）
（1）求函数的定义域；
（2）已知，求函数的解析式.
（本小题满分15分）
已知集合，.
若，求;
若，求实数的取值集合.
（本小题满分15分）
如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.
求函数的解析式；
（2）记函数，求的最大值及相应的的值.
（本小题满分17分）
已知函数.
若函数的定义域为，求实数的取值范围；
若函数的值域为，求实数的取值范围.
（本小题满分17分）
已知函数的定义域为，都有，
当时，.
求的值并证明；
判断并证明函数的单调性；
（3）若，且，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
高2024级数学试卷 第7页 共4页 高2024级数学试卷 第8页 共4页高2024级数学试题答案
单选题
CDAB CCBA
多选题
ABD 10. ABD 11. ACD
填空题
13. 14.
解答题
解：（1）由已知得，解得且 .....................................................5分
函数的定义域为 ....................................................6分
由已知，令，则，
....................................................13分
注：没写的范围扣1分
解：（1） .........................................3分
若，则 ..........................................................................................................4分
..................................................................................................................5分
...................................................................................7分
（2）若，则 ...................................................................................................8分
当时，有，即 ...........................................................................................10分
当时，，解得 .....................................................................................13分
实数的取值集合是 ............................................................................................................15分
解：（1）设直线与轴交于点，与线段或交于点
由已知有，，
当时， ...........................................................2分
当时，
........................................................................4分
当时， ..................................................................................................6分
..............................................................................7分
（2）由（1）得 ...............................................................8分
当时， ............................................................................................................11分
当时，，当且仅当，即时取等号
此时 ..........................................................................................13分
当时， ..............................................................................................................14分
当时，有最大值为 .....................................................................................15分
解：（1）函数的定义域为，则不等式的解集为
当时，
若，的解集为
若，的解集不是 ..............................................................................................3分
当时，则，解得 ...........................................6分
实数的取值范围是 ................................................................................7分
（2）函数的定义域为，令，记的取值范围为集合
则 ............................................................................................................................9分
当时，
若，，不合题意
若，，满足题意 .....................................................................................................12分
当时，则，解得 ......................................................16分
实数的取值范围是 ...................................................................................................17分
解：（1）有
令得，所以 .....................................................................3分
令得，即，所以 .........................5分
（2）函数在上单调递增，证明如下： ........................................................................6分
任取，且，则， .......................................................7分
函数在上单调递增 ............................................................................................10分
不等式即恒成立
则， .................................................................................12分
由（2）知函数在上单调第增，所以
由得，
恒成立
即恒成立 ...................................................................................14分
令，则函数的图象是一条线段，
，解得 ...................................................16分
实数的取值范围是 .....................................................................17分