2024-2025湖南师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖南师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
4.若角满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知平面上三个单位向量，，满足，则( )
A. B. C. D.
6.如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数已知函数是“函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知，两点的坐标分别为，，两条直线：和：的交点为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知点在椭圆：上，点在第一象限，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，设，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若圆上至多存在一点，使得该点到直线的距离为，则实数可能为( )
A. B. C. D.
10.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则下列选项正确的是( )
A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. D. 的一个周期为
11.在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，，，则下列说法一定正确的有( )
A. 当点为三角形的重心时，
B. 当时，的最小值为
C. 当点在平面内时，的最大值为
D. 当时，点到的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机事件，满足，，，则 ______．
13.已知正三棱台的高为，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______．
14.已知是不等式的最小整数解，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如图的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为假设数据在组内均匀分布．
当漏诊率时，求临界值和误诊率；
已知一次调查抽取的未患病者样本容量为，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图图，临界值，从样本中该医学指标在上的未患病者中随机抽取人，则人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？
16.本小题分
已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，点满足，其中为坐标原点．
求点的轨迹方程；
若的面积为，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，点，分别是棱，的中点．
求证：平面；
若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知是椭圆：上一点，以点及椭圆的左、右焦点、为顶点的三角形面积为．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ过作斜率存在且互相垂直的直线、，是与两交点的中点，是与两交点的中点，求面积的最大值．
19.本小题分
基本不等式是最基本的重要不等式之一，二元基本不等式为由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，，，，它们的算术平均数注：不小于它们的几何平均数注：，即
，当且仅当时，等号成立．
已知，求的最小值；
已知个正数，，，且．
求证：；
当，求的最小值，其中．
参考答案
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15.解：依题可知，图第一个小矩形的面积为，所以，
所以，解得，
．
由题可知，个未患病者中，该项医学指标在中的有人，
其中被误诊者有人，
记随机抽取的人恰有一人为被误诊者为事件分别用，，，，，表示这人，，代表被误诊的人，
样本空间，
事件，故，，
，故人中恰有一人为被误诊者的概率是．
16.解：由圆：可知圆心，其半径为，
设，因为，
所以为的中点，由垂径定理可得，
所以，
所以，
化简得，
即点的轨迹方程为；
由知，的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
因为，的面积等于，
所以，解得：，
从而根据垂径定理可得，．
17.证明：取的中点为，连结，，
又点是的中点，则，且，
又点是的中点，底面是矩形，
则，且，
，且，
四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面．
解：过点作，交于点，作，交于点，连结，
因为，则，
又，，
平面，
又平面，平面平面，
，，，，
平面平面，
，，
取的中点为，连结，则，，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量，
则
取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：Ⅰ由题意可得，解得：，，
所以椭圆的标准方程为：；
Ⅱ由Ⅰ可得右焦点，
由题意设直线的方程为：，设直线与椭圆的交点，，则中点的纵坐标为，
联立直线与椭圆的方程，整理可得：，，
所以
同理可得直线与椭圆的交点的纵坐标，
所以
，
设，令，则，令，，
，，恒成立，所以在单调递增，
所以．
所以面积的最大值为：．
19.解：由均值不等式得，
当且仅当，即，时，等号成立，
此时有，，满足题意；
所以的最小值是；
证明：由于，，，，，故对，，，，
由均值不等式有，
，
将二者相乘，得，
再将该不等式对，，相乘，
即得．
因为对任意，，，，恒成立，
当且仅当时所有等号成立．
所以，将该式对，，累加，
则有，
由均值不等式可得，
由柯西不等式得，
所以可得，
故原式的最小值为，当且仅当时取等号．
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