2023-2024重庆一中高二（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年重庆一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是( )
A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差
2.已知为双曲线上一动点，则到点和到直线的距离之比为( )
A. B. C. D.
3.对于数列，若点都在函数的图象上，其中且，则“”是“为递增数列”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.甲、乙两所学校各有名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有( )
A. B. C. D.
5.已知在区间上有极小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.互不相等的正实数，，，，，，，是，，，的任意顺序排列，设随机变量，满足：则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为( )
A. B. C. D.
8.某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量克分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果将级与级果称为优等果已知蓝莓果重量可近似服从正态分布对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为精确到若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为附：，，
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在的展开式中，各项系数的和为，则( )
A. B. 展开式中的常数项为
C. 展开式中的系数为 D. 展开式中无理项的系数之和为
10.为了研究关于的线性相关关系，收集了组样本数据见下表：
假设经验回归方程为，则( )
A.
B. 当时，的预测值为
C. 样本数据的分位数为
D. 去掉样本点后，与的样本相关系数不变
11.已知函数，则( )
A. 的零点为
B. 的单调递增区间为
C. 当时，若恒成立，则
D. 当时，过点作的图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某班要从名男同学和名女同学中随机选出人去参加某项比赛，设抽取的人中女同学的人数为，则 ______．
13.对于定义在非空集上的函数，若对任意的，，当，有，则称函数为“准单调递增函数”，若函数的定义域，值域，则在满足这样条件的所有函数中，为“准单调递增函数”的概率是______．
14.已知椭圆的上顶点为，、在椭圆上，为等腰直角三角形，为直角，若这样的有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
数列满足，，，
证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
求正整数，使得．
16.本小题分
已知点，在抛物线上．
若，记线段的中点为，求点到轴的最短距离；
若点，在直线上，且满足四边形为正方形，求此正方形的面积．
17.本小题分
为方便起见，记一年有天，并假设每个人的生日在天中的任意一天都是等可能的“生日悖论”指：在不少于个人的群体中，至少有两人生日相同的概率大于记事件为“前人中没有人生日相同”，其中，，，．
证明：；
直接写出的值，并证明：如果一个班上有不少于人，则这个班上至少有两人生日相同的概率大于．
附：．
18.本小题分
定义：如果在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，那么称为，两点间的曼哈顿距离．
已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离分别为，，求和的最小值；
已知点是直线上的动点，点与点的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；
已知点，点是自然对数的底，当时，的最大值为，求的最小值．
19.本小题分
情报是仅含和两种的位数据，例如情报传输时要经过个信号站，每经过一个信号站，每位数字传错为的概率为，每位数字传错为的概率为，其中，，在各次传输过程中，情报中各数字相互独立，且传输中无其他错误发生情报经过个信号站传输后的情报为，设与完全相同的概率为，与中有个对应位置数字取值相等．
若，，求的分布列；
若，证明的数学期望与无关；
若，且，证明：．
参考答案
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15.解：证明：由已知条件可知，由于，所以，
所以，
所以，
故数列是以为公差的等差数列，且首项为，
故，即；
因为，所以，
所以，
由，解得．
16.解：设，抛物线的准线，
点到轴的最短距离为：，
两边之和大于第三边且，，三点共线时取等号，
，
此时到轴的最短距离；
设所在直线的方程为，，
消去得，，
，
又直线与间距离为，，或，
从而边长为或，面积，．
17.解：证明：若前个人中没有人生日相同，则前个人中一定没有人生日相同，，
因此，
因此
，
因此；
根据题意：记事件为“前人中没有人生日相同”，其中，，，，有，
如果一个班上有不少于人，设该班人数为，则此时，这个班上的人两两生日不同的概率满足，
下面证明：，
要证明该不等式，只需要证明，
即．
令，
则当时，有．
所以在上递减，
从而对任意的，有，即所以，
而，，
故，
所以，
这就证明了．
所以，
从而这个班上至少有两人生日相同的概率
18.解：，
则，即的最小值为；
，
则，即的最小值为；
当时，，
点为直线上一动点，
则当时，，
即；
当时，，
即；
所以，又当时，，
当时，，
所以的最大值为；
令，则，，
，，
令，，则在区间内成立，
则在区间内单调递增，则，
令，，则在区间内成立，
则在区间内单调递减，则，
所以，
所以，
当且时，取最小值，
的最小值．
19.解：不妨设情报中包含的和的数量分别为，，
此时，，，
对于单个数字，设它在经过次传输之后，得到和的概率分别为，，
此时，，，
由全概率公式得，，
所以，
，
当时，，，
当时，
因为，
，
所以，
，
因为，也满足，
所以，，
对于单个数字，设它在经过次传输之后，得到和的概率分别为，，
同理得，，
因为情报中包含的和的数量分别为，，
所以，
又，
因为，，，
所以，
则，，
，，
则的分布列为：


证明：若，
此时，
故的数学期望与无关；
证明：若，因为，
所以，，
则，
若，，
如果的每一位都是，
即，，
此时，
故等式不一定成立．
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