广西北海市合浦县2024-2025高一上学期期中检测数学试题（含解析）

2024年秋学期期中考试
高一数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册前三章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为幂函数，则（ ）
A. B. C.4 D.
3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若，，则（ ）
A.24 B.12 C. D.
6.已知集合满足，则不同的的个数为（ ）
A.8 B.6 C.4 D.2
7.已知指数函数与的图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知，且，则的最小值为（ ）
A.12 B.10 C.9 D.8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题是真命题的有（ ）
A.空集是任何集合的子集
B.“有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰三角形”
C.“”是“”的一个充分条件
D.已知，则“”是“”的充要条件
10.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.关于的不等式的解集为
D.若，则的最大值为1
11.已知函数满足对于任意不同的实数，，都有，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.用列举法表示由倒数大于的整数构成的集合为________.
13.已知，则________（填“”或“”）
14.已知函数若，则________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知集合，.
（1）若，求，.
（2）是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
16.（15分）
给出下列两个结论：
①，；
②函数在上单调.
（1）若结论①正确，求的取值范围；
（2）若结论①②都正确，求的取值范围.
17.（15分）
已知.
（1）证明：.
（2）若，求的最小值.
18.（17分）
已知函数满足.
（1）求的解析式；
（2）用定义法证明在上单调递减.
19.（17分）
已知是定义在上的奇函数，函数.
（1）求，的值；
（2）求的值域；
（3）已知，且，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围.
2024年秋学期期中考试
高一数学参考答案
1.C 因为，，所以.
2.C 因为是幂函数，所以，得，则，.
3.B 因为的定义域为，所以在中，，则在中，，
解得，故的定义域为.
4.A 由，得或，故“”是“”的充分不必要条件.
5.A .
6.C 由，可得不同的的个数为.
7.B 由图可知，，，则，，从而.
8.A 由，得，则，当且仅当时，等号成立.
9.ABC 空集是任何集合的子集，A正确.“有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰三角形”，B正确.若，则，，当且仅当时，等号成立，故“”是“”的一个充分条件，C正确.取，，则，，D不正确.
10.ACD 因为关于的不等式的解集为，所以整理得
则.，解得.，即，解得，则.故选ACD.
11.AC 由，得，
则，整理得.
令函数，则由，得，从而在上单调递增，
则，即，即，A正确，B不正确.
因为，所以，则，即，C正确.与的大小关系不确定，D不正确.
12. 由，得，故由倒数大于的整数构成的集合为.
13. ，故.
14. 若，则，解得.
若，则，解得，符合题意；
若，则，解得或（舍去）.
若，则，解得或（舍去）.
若，则，不符合题意；若，则，方程无解.
综上所述，.
15.解：（1）因为，所以，则.
由，得，则.
（2）假设存在实数，使得，由，得，
则方程组无解，从而假设不成立，
故不存在实数，使得.
16.解：（1）由结论①正确，得，
解得，故的取值范围为.
（2）若在上单调递增，则，解得.
若在上单调递减，则，解得.
故当结论②正确时，的取值范围为.
综上所述，当结论①②都正确时，的取值范围为.
17.（1）证明：.
因为，所以，，
则，从而.
（2）解：因为，所以.
因为，所以.
当且仅当，时，等号成立，故的最小值为.
18.（1）解：因为恒成立，
所以的定义域为，
.
令，，则，故的解析式为，.
（2）证明：任取，令，
则
因为，所以，，
从而，即，
故在上单调递减.
19.解：（1）因为是定义在上的奇函数，
所以，
则，即.
令，，得解得，，
经检验知当，时，是定义在上的奇函数，故，.
（2）由（1）可知，因为，所以，
则，即的值域为.
（3），
因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，
所以在上单调递增，
则当时，.
由，得.
若，则，由对于任意，存在，
使得成立，得恒成立；
若，则，由对于任意，存在，
使得成立，得，解得.
综上所述，的取值范围为.