2023-2024上海市育才中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海市育才中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是定直线外的一定点，则过点且与定直线相切的圆的圆心轨迹是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线
2.“”是“直线与直线平行”的条件．
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
3.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，，且直线，的斜率分别为，，则，，中有个值为定值．
A. B. C. D.
4.已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么( )
A. 曲线上的点的坐标都适合方程
B. 凡坐标不适合的点都不在上
C. 不在上的点的坐标必不适合
D. 不在上的点的坐标有些适合
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知直线过点，，则倾斜角大小为______．
6.已知直线与直线具有相同的法向量，且经过点，则直线的一般式方程为______．
7.直线与直线的夹角大小为______．
8.已知，，则以为直径的圆的标准方程为______．
9.已知棱长为的正四面体中，为中点，则 ______．
10.已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为______．
11.已知双曲线与双曲线具有相同的渐近线，且经过点，则双曲线的方程为______．
12.，，则在方向上的数量投影为______．
13.已知抛物线，直线：，则直线被抛物线截得的弦长为______．
14.在空间直角坐标系中，点坐标可记为：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点坐标可记为如图所示，空间直角坐标与柱面坐标之间的变换公式为：，，则在柱面坐标系中，点与点两点距离的最小值为______．
15.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面视为平面上有一浅水区含边界，其边界是长轴长为，短轴长为的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为、，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域船只的大小忽略不计，在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为、，那么船只已进入该浅水区的判别条件是______．
16.已知是双曲线右支上任意一点，，分别为左、右焦点，设，，则 ______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆：．
求直线被圆截得弦长；
已知为圆上一点，求与圆外切于点，且半径为的圆的方程．
18.本小题分
已知，，点满足．
求点轨迹方程；
记动点轨迹为曲线，直线交曲线于、两点，且以为直径的圆过，求的值．
19.本小题分
已知正四棱柱，底面边长为，高为，为的中点，求：
直线与平面所成角大小；
点到平面的距离．
20.本小题分
已知双曲线中，离心率为，且经过点．
求双曲线方程；
若直线：与双曲线左支有两个交点，求的取值范围；
过点是否能作直线与双曲线交于，两点，且使得是中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知抛物线方程为，为直线上任意一点，过作抛物线的切线，切点分别为、．
求证：，，三点的横坐标成等差数列；
已知当坐标为时，，求此时抛物线方程；
已知点满足为坐标原点，是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上若存在，求出所有适合题意的点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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10.，且
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17.解：圆：，即，
故圆的圆心为，半径为，
直线，即，
圆心到直线的距离，
则弦长为；
，，
则直线的方程为，
设，
则，解得或，
两圆外切，且点为切点，
故不符合，
所以，圆心为，
所以圆的方程为．
18.解：因为，且，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
设点的轨迹方程为，则，，
因此，点的轨迹方程为．
设点，，
联立，可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，，同理可得，
因为以为直径的圆过，则，
即，
整理可得，又因为，解得．
19.解：以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，．
，，，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
设直线与平面所成角大小为，则
，
直线与平面所成角大小为；
，，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
，则点到平面的距离．
20.解：双曲线中，离心率为，且经过点，
可得，，，解得，
即双曲线的方程为；
联立，消去可得，
由直线：与双曲线左支有两个交点，
可得，，，，
解得，即的取值范围是：
设，，假设过点能作直线与双曲线交于，两点，且使得是中点，
可得，，
由，，相减可得，
可得直线的斜率为，
则直线的方程为，即，
与双曲线的方程联立，可得，
由，故不存在这样的直线．
21.证明：由题意设，，，，
由，得，则，所以，，
因此直线的方程为，
直线的方程为，
所以，，
由、得，因此，即，
所以、、三点的横坐标成等差数列．
解：由知，当时，将其代入、并整理得：，，
所以、是方程的两根，
因此，，
又，
所以，
由弦长公式得，
又，所以或，
因此所求抛物线方程为或．
解：设，由题意得，则的中点坐标为，
设直线的方程为，由点在直线上，并注意到点也在直线上，
代入得，
若在抛物线上，则，因此或，即或，
当时，则，此时，点适合题意．
当，对于，此时，，
又，，所以，
即，矛盾．
对于，因为，此时直线平行于轴，
又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，
所以时，不存在符合题意的点．
综上所述，仅存在一点适合题意．
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