2024-2025吉林省长春外国语学校高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春外国语学校高二（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.平面向量与的夹角为，，，则等于( )
A. B. C. D.
3.一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，则该组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
4.如图所示是水平放置三角形的直观图，点是的边中点，，分别与轴、轴平行，则三条线段，，中( )
A. 最长的是，最短的是
B. 最长的是，最短的是
C. 最长的是，最短的是
D. 最长的是，最短的是
5.在中，，，满足条件的( )
A. 不能确定 B. 无解 C. 有一解 D. 有两解
6.自改革开放以来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活某研究所统计了自年至年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图观察统计图，下列说法中不正确的是( )
A. 年年空气净化器的销售量逐年在增加
B. 年销售量的同比增长率最低
C. 与年相比，年空气净化器的销售量几乎没有增长
D. 有连续三年的销售增长率超过
7.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的如图在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处沫到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的沙堆的底面是水平的已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥漏到另一个圆锥中需用时分钟，则经过分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
8.已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论：
对于任意给定的点，存在点，使得；
对于任意给定的点，存在点，使得；
对于任意给定的点，存在点，使得；
对于任意给定的点，存在点，使得．
其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，满足，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 向量，的夹角为
10.下列说法正确的是( )
A. 抛掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是的概率为
B. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，，则题被解出的概率是
C. 某小组由名学生组成，其中名男生，名女生，现从中任选两名学生参加演讲比赛，至少有一名男生与至少有一名女生是互斥事件
D. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
11.的内角，，的对边分别为，，，下列结论正确的是( )
A. 若，则的面积为
B. 若，则角
C. 若，则为等腰或直角三角形
D. 不存在，，，使成立
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.已知，，，，的中位数与方差分别为，，则，，，，的中位数与方差的和为______．
13.若圆台的上下底面半径分别为，，母线长为，则该圆台的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知复数，，其中是实数．
若，求实数的值；
若是纯虚数，求的值．
15.本小题分
已知向量，．
若，求实数的值；
若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
16.本小题分
年月日，第届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场鸟巢举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．
根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的“奥运会”宣传使者．
若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．
17.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，在底面中，，，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ若平面与平面的夹角等于，求异面直线与所成角的余弦值．
参考答案
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14.解：复数，，，
，即，解得．
，
是纯虚数，
，解得或．
15.解：因为，，
所以，
因为，
所以，解得；
因为与的夹角是钝角，，，
则，解得，
又当，即时，此时与的夹角为，
故，
综上可得，．
16.解：设这人的平均年龄为，则
岁；
由频率分布直方图可知各组的频率之比为：：：：，
第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙，
对应的样本空间为，，，甲，，乙，，，，甲，，乙，，，甲，乙，，甲，乙，甲，，乙，，共个样本点．
分设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，
则，甲，，乙，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，乙，甲，，乙，，共有个样本点，
所以；
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为；
则，
，
因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为，
据此可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为．
17.解：，即为，
可得，
，
，
若，可得，不成立，
，
由，可得；
若为锐角三角形，且，
由余弦定理可得，
由三角形为锐角三角形，可得且，且，
解得，
可得面积
18.Ⅰ证明：过作交于点，
又，，，，
，，
，
即，
又底面，
，
又，
平面；
Ⅱ解：设，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
由已知可得平面的法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，
即，
令，
则，
又平面与平面的夹角等于，
则，
则，
解得，
则，
则，，
则，
即异面直线与所成角的余弦值为．
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