2024年北京中关村中学高一（上）期中数学（教师版）（含答案）

2024北京中关村中学高一（上）期中
数 学
本试卷满分 150 分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
1. 已知集合 P ={x | x + 2 0},Q ={x | x 1 0}，则 P Q =（ ）
A. {x∣ 2 x 1} B. {x∣ 2 x 1}
C. {x∣x 2} D. R
2.命题“ x (0,+ )，2x x2 ”的否定是（ ）
A. x (0,+ ),2x x2 B. x (0,+ ),2x x2
C. x (0,+ ),2x x2 2 D. x (0,+ )，2x x
3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
1
A. f (x) = x B. f (x) = C. f (x) = x x D.
x f (x) = x
4
2a b
4. 已知 ab为正数，则 + （ ）
b a
A. 有最小值，为 2 B. 有最小值，为 2 2
C. 有最小值，为 4 D. 不一定有最小值
5.下列各组函数是同一个函数的是（ ）
x +1 1
① 2 y = 与 y = ② f (x) = x 与 g(x) = x
x2 1 x 1
1 1
③ f (x) = x 与 f (t) = ( t )2 ④ y = 与 y =
x2 x
2
A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①④
y = kx+1
6.关于方程 的解集 T 说法正确的是（ ）．
y = 2kx+3
A. T 一定为单元素集 B. T 一定为空集
C. T 为空集当且仅当 k=0 D. T 可能有无穷多个元素
1
7. . 1是 x(1 x) 0的（ ）条件. xA 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要
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1
8. 已.知函数 f (x) = 的部分图象如下图所示，则 a + b + c = ax2 +bx + c（ ） A 3 B. -3 C. 15 D. 9 x，x 0
9. 函数 f (x) = 对任意 a [0,3]， f (a x
2 ) 2 f (x)恒
x，x 0
成立，则 x的取值范围是（）
A. [-3,1] B. ( , 3] [1,+ )
C. [0,2] D. ( ,0] [2,+ )
10. 已知集合M ={x |1 x 18}，集合 A,B,C 满足：
① 每个集合恰有 6 个元素
② A B C = M
集合 P 中元素最大值与最小值之和称为 P 的特征数，记作 X (P) . 则 X (A) + X (B) + X (C)的最大值与最
小值之和( )．
A.116 B.132 C.126 D. 114
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
x +1
11. 函数 f (x) = 的定义域是________.
x
12. 关于 x的方程 x2 7x +12 = 0两根的平方和为________.
13. 设函数 f (x) 的定义域为 (1,3) ，则函数 y = f (2x) 的定义域为____________．
14. 除函数 y = x，x (1,2) 以外，再写出一个定义域和值域均为 (1,2) 的函数：________
x2 2x，x a
15. 函数 f (x) = 在 R 上单调递增，则 a的取值范围是__________
ax 3，x a
16. 已知定义在 R 上的偶函数 f (x) 在 [0,+ ) 上单调，且 f (1) = 2，f ( 2) = 3，给出下列四个结论：
① f (x) 在 [0,+ ) 上单调递减；
②存在 x ( 1,1) 使 f (x) 2
③不等式 2 f (x) 3的解集为 ( 2, 1) (1,2)
2
④关于 x 的方程[ f (x 1)] 5 f (x 1) + 6 = 0的解集所有元素之和为 4
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题：本题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 写出下列不等式的解集（15 分）
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（1） x 6 3
2 x
（2） 1
2x +1
（3） (ax 1)(x + 3) 0
18. ( 12 分 ) 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
① A B = B
② A B = B
③ ( R A) B =
已知集合 A = {x | x2 2x 3 0}， B ={x | a 1 x 2a + 3}，全集为 R.
(1)若 a = 1时，求 ( R A) B;
(2) 若_______________________________，求实数 a 的取值范围.
4
19. （15 分）设函数 f (x) = x + + 3
x
（I）求函数 f (x)的图象与直线 y = 2x 交点的坐标
（II）当 x (0,+ ) ，求函数 f (x)的最小值
（III）判断 f (x)在 (2,+ )上的单调性，并用定义证明.
20.（13 分） 一公司垄断了 S 市某商品的生产与销售市场。已经调研发现，在一个销售周期内该商品的销
量 q(x) 由定价 x（单位：百元）决定（正常定价范围为 300 至 700 元），函数关系近似为 q(x) =10 x
（单位：万件）。公司根据调研结果先决定售价再进行等同于预期销量的生产。将销量×售价称为“销售
额”（记作 B）；已知每件商品的生产成本为 200 元，每个生产周期需要投入的固定成本约为 1200 万元，以
上两项构成总成本（记作 C）。定义“净收益”（记作 N）为：净收益=销售额-总成本。
（1）请用函数表示净收益是如何决定的
（2）在正常定价范围内，公司如何制定销售策略能使净收益最大？并求出最大净收益
（3）公司现有机会额外投入 420 万元租用高科技生产设备，使本销售周期内的商品生产成本减半。公司
是否应选择租用高科技设备？为什么？
x + y
21（15 分） 定义在 ( 1,1)上的函数 f (x)满足：①对任意 x, y ( 1,1)，都有 f (x)+ f (y) = f ；
1+ xy
②当 x ( 1,0) 时，都有 f (x) 0 .
（1）求证 f (x) 是奇函数；
（2）求证 f (x) 在 ( 1,1)上单调递减；
1 1 1
（3）若 f = 1且 f (x) t
2 2at +1对所有 x , ，a 1,1 恒成立，求实数 t 的范围.
2 2 2
22. 对于正数 a,b,c,d，求证（10 分）
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a +b + c + d a +b+ c
（1） 4 abcd （2） 3 abc
4 3
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参考答案
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C C B C C D B B D
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
11. 【答案】 1，0) (0，+ )
12. 【答案】25
1 3
13. 【答案】 ，
2 2
14. 【答案】 y = 3 x，x (1,2)
15．【答案】[1,1.5]
16．【答案】③④
三、解答题：本题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 【参考答案】
（1） 3 x 6 3
x (6 3,6+ 3)
（2） (2 x)(2x +1) (2x +1)2
0 (2x +1)(2x +1+ x 2)
(2x +1)(3x 1) 0
1 1
x ( , )
2 3
（3）
(I) a=0 时，为一次不等式 (x + 3) 0， x + 3 0， x [ 3,+ )
1 1
(II) a>0 时，二次函数 y = (ax 1)(x + 3)开口向上，两根为 和-3，其中 3 .
a a
1
因此解集为[ 3, ] .
a
(III) a<0 时，二次函数 y = (ax 1)(x + 3)开口向下
1 1 1
(i) 3时，即 a 时，解集为 ( , 3] [ ,+ )；
a 3 a
1 1 1
(ii) 3时，即 a 0时，解集为 ( , ] [ 3,+ )；
a 3 a
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1 1
(iii) = 3，即 a = 时，解集为 R
a 3
18.【参考答案】
解： A = {x | x 3，或 x 1} ，
(1)当 a = 1时， B = {x | 2 x 1} ，
R A ={x | 1 x 3}， ( R A) B ={x | 1 x 1}.
(2) ①③均等价于 B A，（不可选②）
当 B = 时， a 1 2a + 3，即 a 4，满足 B A，
a 1 2a + 3 a 1 2a + 3
当 B 时，若 B A，有 或 ，
a 1 3 2a + 3 1
解得 a 4 或 4 a 2 ，
综上所述，实数 a 的取值范围为 a | a 2或a 4 .
19．【参考答案】
4 4
（1） f (x) = x + + 3与 y = 2x 相交处有2x = x + +3
x x
4
x 3 = 0
x
x2 3x 4 = 0
解得 x=4 或-1，因此交点为 (4,8) 和 ( 1, 2)
4
（2） f (x) = x + +3 4+3 = 7 ，在 x=2 时取到. 因此最小值为 7.
x
（3）答：单调递增；
证：对任意 x2 , x1 (2,+ )，若 x2 x1，则
f (x2 ) f (x1)
4 4
= x2 + + 3 x1 3
x2 x1
4 4
= x2 x1 +
x2 x1
4(x1 x )= x2 x +
2
1
x1x2
4
= (x2 x1)(1 )
x1x2
4
因为 x2 , x1 (2,+ )，所以 x 1 01x2 4，所以 ； x1x2
又因为 x2 x1 0，所以 f (x2 ) f (x1) 0 .因此 f (x)在 (2,+ )上单调递增.
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20.【参考答案】
（1） N (x) = x(10 x) 2(10 x) 12 =12x x
2 32，x (3,7)
2
10 x + x 2
（2） N (x) = x(10 x) 2(10 x) 12 = (x 2)(10 x) 12 12 = 4
2
在 x=6 时取到，经检验，在正常定价范围内。因此，定价 600 元时净收益最大，为 400 万元。
（3）若租用高科技设备，则净收益变为
2
9 x + x 2
N ' (x) = x(10 x) (10 x) 16.2 = (x 2)(9 x) 16.2 16.2 = 4.05
2
在 x=5.5 时取到，经检验，在正常定价范围内。因此最大净收益为 405 万元，高于不租用高科技设备的最
大净收益。因此租用高科技设备是值得的。
21【参考答案】
（1）令 x=y=0，则有 f (0) + f (0) = f (0)，所以 f (0) = 0；
对任意 x ( 1,1) ， f (x) + f ( x) = f (0)= 0 .所以 f (x) 是奇函数.
（2）对任意 x1, x2 ( 1,1)，若 x2 x1则
x x
f (x2 ) f (x1) = f (x2 )+ f ( x1) = f
2 1

1 x2x1
x2 x1
由于 x1, x2 ( 1,1)，所以1 x1x2 0，又因为 x x 0，所以 02 1 . 1 x2x1
x x
因此 f (x2 ) f (x ) = f
1 2
1 0 ，所以函数 f (x) 在 ( 1,1)上单调递减.
1 x2x1
1 1
（3）由于 f (x) 在 ( 1,1) 上单调递减且为奇函数，所以 f (x) 在 , 上单调递减，最大值为
2 2


1
f =1 .
2
2 1 1
由于 f (x) t 2at +1对所有 x , ，a 1,1 恒成立，所以 t
2 2at +1 1对所有 a 1,1 恒
2 2
成立，即 t 2 2at 0对所有 a 1,1 恒成立.
其必要条件是对 a=1 和 a=-1 成立，即 t 2 2t 0 且 t 2 + 2t 0 ，解得 t ( , 2] {0} [2,+ ) .
2 a +1 1 a
下面证只要 a=1 和-1 成立，则对任意 a ( 1,1) 也成立： t 2at = (t
2 + 2t)+ (t 2 2t) 0 .
2 2
因此 t ( , 2] {0} [2,+ ) 是所求不等式恒成立的充要条件.
22．【参考答案】
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a + b c + d
+
（1）证： a + b + c + d
= 2 2
ab + cd
ab cd = 4 abcd
4 2 2
（2）法 1：注意到因式分解
x3 + y3 + z3 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 xy yz zx)
(x y)2 + (y z)2 + (z x)2
= (x + y + z) 0
2
当且仅当 x=y=z时取到，
x3 + y3 + z3
所以 xyz
3
a +b+ c
令 a = x
3，b = y3，c = z3则有 3 abc
3
法 2：由第一问可知，
x + y + z
x + y + z +
x + y + z x + y + z
= 3 4 xyz
3 4 3
x + y + z
不等式两边同除 4 可得
3
3 x + y + zx + y + z +
x + y + z 4 3
= 4 xyz
3 4
两边同时取 4/3 次方即可得
x + y + z
3 xyz
3
a +b + c
法 3：不妨设 a b c，取 p =
3
（I）若 p = b，则 c b = b a （将其设为 x），
因此有 3
a +b+ c
abc = 3 b(b x)(b+ x) = 3 b(b2 x2 ) 3 b3 = b =
3
若 p b ，不妨设 p b ，则有 c p p a ，否则因 a + b + c 3p = (c p) + (a p) + (b p)
中前两项之和≤0，第三项严格等于 0，其计算结果不可能等于 0，与a + b + c = 3p 矛盾。
下面证明 3 abc 3 pc(2 p c) ，只需证 ab p(2 p c) .
显然 p + (2 p c) = 3p c = (a + b + c) c = a + b .
a + b b a b a b a
不妨设 q = ，则ab = (q + )(q ) = q2 ( )2 ，
2 2 2 2
p(2 p c) = (q + ( p q))(q ( p q)) = q2 ( p q)2
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b+ a b+ a b a b a
由于 p b a ，所以 p q = p b = ( )2 ( p q)2，即 .
2 2 2 2
因此有 ab p(2 p c)，所以 3 abc 3 pc(2 p c) .
p + c + (2 p c) a +b+ c
而 = p ，所以由（I）可得 3 abc 3 pc(2p c) p = .证毕
3 3
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