专题 有理数及其运算 题型归纳训练（原卷+解析卷）

专题 有理数及其运算 题型归纳训练
有理数的分类
1．（23-24七年级上·广西贺州·期末）下列关于有理数的说法正确的是（　　）
A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类
B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合
C．0既不属于整数也不属于分数
D．整数和分数统称为有理数
2．（23-24七年级上·上海·期末）在，，0，，，，，7中，非负数有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
3．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）在“，，，，”这五个数中，负有理数是 ．
4．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末） 既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线．
5．（23-24七年级上·福建福州·期末）把下列各数填在相应的大括号里：，，，，，，，，．
正数：{ }；
负数：{ }；
非负整数：{ }；
整数：{ }；
分数：{ }；
负分数：{ }．
数轴及比较大小
6．（23-24七年级上·北京海淀·期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，数轴上有，，，四棵小树，那么离原点距离最近的小树是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023-24七年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①，②，③，④，正确的是（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①④
10．（23-24七年级上·广东佛山·期末）数轴上点表示的数为，与点距离为个单位长度的点表示的数为 ．
11．（23-24七年级上·云南昆明·期末）（1）画数轴并在数轴上表示下列各数：0，3，，，1，；
（2）按从小到大的顺序用“”号把（1）中的这些数连接起来；
（3）直接填空：数轴上表示3和表示1的两点之间的距离是　　，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则点，两点之间的距离是　　．
相反数、绝对值
12．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）的绝对值是（ ）
A．2024 B． C． D．
13．（2023-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是（ ）
A．负数 B．负数或零 C．正数或零 D．正数
14．（2023-24七年级上·广东广州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．有最大的有理数 B．有最小的有理数
C．有绝对值最大的有理数 D．有绝对值最小的有理数
15．（2023-24七年级上·河南平顶山·期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示．把a、、b、按照从小到大的顺序排列并用“<”号连接起来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023-24七年级上·陕西西安·阶段练习）下列有理数大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）比较大小： ．（填“”，“”或“”）
18．（23-24七年级上江苏无锡·期末）已知下列有理数：，0，，，，，．
(1)画出数轴，并在数轴上标出这些数对应的点．
(2)用“”把这些数连接起来．
有理数的加减法
19．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，灰色为负），图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（　　）
A． B．
C． D．
20．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）将写成省略加号的和的形式是（ ）
A． B．
C． D．
21．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）在，，，， ， ， ，这些数中，正有理数有个，非负整数有个，分数有个，则的值为（ ）
A． B． C． D．
22．（23-24七年级上·河北邢台·期末）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（ ）
甲：
乙：
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
23．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
24．（2023-24七年级上·云南西双版纳·阶段练习）小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定把向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则爬过的各段路程（单位：）依次为：，，，，，，．
(1)通过计算说明小虫最后是否回到起点；
(2)如果小虫爬行的速度为每秒，小虫共爬行了多长时间？
有理数的乘除法、乘方
25．（2023-24七年级上·内蒙古·期末）如果满足，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C．当时， D．当时，
26．（2023-24七年级上·云南保山·期末）有理数，，，按从小到大的顺序排列是（ ）
A． B．
C． D．
27．（23-24七年级上·四川泸州·期末）有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则的值是（　　）
A． B．1 C．0 D．
28．（2023-24七年级上·山东济南·期末）如图是一个数值转换机，若输入的数为，则输出的数是 ．
29．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）在，，，，这五个数中任取三个数相乘，其中最小的积是 ．
30．（23-24七年级上 甘肃庆阳·期末）有下列算式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中运算结果为正数的是 ，为负数的是 ，为0的是 ．（填序号）
31．（23-24七年级上·广东珠海·期末）阅读下面解题过程并解答问题：
计算：．
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）．
(1)上面解题过程有两处错误：
第一处是第 步，错误原因是 ；
第二处是第 步，错误原因是 ．
(2)请写出正确的计算过程．
有理数的混合运算
32．（23-24七年级上·江苏常州·期末）已知地球的表面积约为5.1亿平方千米，其中海洋面积约是陆地面积的倍，则地球的陆地面积约为 平方千米（精确到0.1亿平方千米，用科学记数法表示）．
33．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）规定一种新运算“”，当，时， “” ；当，时，“” ．
34．（2023-24七年级上·山东枣庄·期末）计算：
(1)；
(2)．
35．（23-24七年级上·浙江台州·期末）小明与小红两位同学计算的过程如下：
小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） =16（第四步）
(1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤；
(2)写出正确的解答过程．
36．（2023-24七年级上·河北邢台·开学考试）下面是佳佳同学的一道题的解题过程：
，①
，②
，③
，④
(1)佳佳同学开始出现错误的步骤是_____；
(2)请给出正确的解题过程．
37．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）观察下列等式：；；；；；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出两个等式： ， ；
(2)根据以上式子的规律，请写出第个式子；（为正整数）
(3)利用这个规律计算的值．
有理数运算的实际应用
38．（23-24七年级上·河南郑州·期末）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”．大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……．文中的鸟巢共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
39．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）已知某通讯公司所收取的电话费（元）随用户通话时间（分钟）的变化情况如下表：（不足1分钟按1分钟算）
通话时间t/分钟 1 2 3 4 …
电话费y/元 …
若小明通话6分钟，则需要付电话费（ ）
A．0.85元 B．0.9元 C．1.2元 D．1.35元
40．（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图所示，点，，把一条300米环形跑道分为相等的3段．若甲、乙两人分别从，两处同时相向出发，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米．相遇后不改变方向，经过800秒时，两人恰好第 次相遇．
41．（2023-24七年级上·江苏无锡·期末）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减（单位：个）
(1)写出该厂星期一生产工艺品的数量是 ；
(2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？
(3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量；
(4)已知该厂实行每日计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额．
42．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）每年6月份是樱桃采摘旺季． 某樱桃农场安排5位员工进行樱桃采摘工作，规定：采摘数据以为标准，超出部分记作正数，下表是5位员工某一天采摘樱桃的实际情况．（“”表示超出，“”表示不足）．
员工 员工1 员工2 员工3 员工4 员工5
采摘总量
(1)员工2采摘樱桃是 ；
(2)该农场预计采摘樱桃，通过计算说明5位员工樱桃采摘实际数量是否能够达到预计数量；
(3)该农场支付给员工的日结工资包含基本工资和个人绩效两部分，若按如下方法计算，农场该天共需支付给员工的工资是多少元？
基本工资 参加采摘的员工每人基本工资200元天
个人绩效 若每天没达到标准数量，少扣2元；若每天超出标准数量，多奖助3元．
科学记数法、近似数
43．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．（精确到） B．（精确到千分位）
C．（精确到百分位） D．（精确到）
44．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）据灯塔专业版显示，某电影票房突破55亿元，观影总人次达亿，荣登年度全球票房冠军．将数据55亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
45．（23-24七年级上 广东汕头·期末）按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（ ）
A．（精确到十分位） B．（精确到）
C．亿亿（精确到个位） D．（精确到）
46．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将数据1300000用科学记数法可表示为 ．
1．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）若，则的取值不可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．
2．（2021·福建·模拟预测）如图，有理数在数轴上的对应点分别是，若，则的值（　　）

A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定
3．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）小明为了求的值，进行了以下探究：他令，在等式两边同乘2得，，因此，所以．即．请仿照以上推理计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）小丽在四张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，（ ）一定不是小丽在纸片上写的数．
A．1 B．2 C．4 D．5
5．（23-24七年级上·山东德州·期末）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下：．战国时代，中国人已经有了正负数的概念，并用红算筹代表正数，黑算筹代表负数．则（整体为黑色）与（整体为红色）的和是 ．
6．（23-24七年级上·江西南昌·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ．
7．（23-24七年级上·浙江·期末）已知数轴上A点表示的数是，B点表示的数是6，将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．
8．（23-24七年级上·福建福州·期末）已知数轴上，，，四点所表示的数分别为，，，，，其中有两个数的和为0，且满足．若，，．则这四个数中互为相反数的是 ．
9．（23-24七年级上·四川阿坝·期末）如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒长为______．
(2)由（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，小丽问马老师年龄时，马老师说：“我像你这么大时，你只有1岁；等你到我这年龄的时候，我已经52岁了．”请求出小丽和马老师现在多少岁了？
10．（2023-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
(1)求　　；
(2)找出所有符合条件的整数，使得；
(3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．
11．（23-24七年级上·广东珠海·期末）某市出租车采取“时距并计”的方式收费，具体收费标准如下表：
起步价（3千米以内） 超过3千米部分每千米费用（不足1千米以1千米计） 等候费（不足1分钟以1分钟计）
（单价：元） 10 等候的前4分钟不收费．之后每2分钟1元
某日上午，出租车司机小李运营线路全是在某条东西走向的路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：．
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点________（东/西）________千米；
(2)若出租车耗油量为8升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？
(3)小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间为18分钟．求第三位乘客需支付车费多少元？
专题 有理数及其运算 题型归纳训练
有理数的分类
1．（23-24七年级上·广西贺州·期末）下列关于有理数的说法正确的是（　　）
A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类
B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合
C．0既不属于整数也不属于分数
D．整数和分数统称为有理数
【答案】D
【详解】解：A、有理数可分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意；
B、正整数集合，0与负整数集合合在一起构成整数集合，故本选项错误，不符合题意；
C、0是整数，但不是分数，故本选项错误，不符合题意；
D、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意；
故选：D．
2．（23-24七年级上·上海·期末）在，，0，，，，，7中，非负数有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】B
【详解】解：在，，0，，，，，7中，
非负数有，0，，，7共5个，
故选：B．
3．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）在“，，，，”这五个数中，负有理数是 ．
【答案】，，
【详解】解：负有理数是，，．
故答案为：，，．
4．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末） 既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线．
【答案】0
【详解】解：0既不是正数，也不是负数．
故答案为：0．
5．（23-24七年级上·福建福州·期末）把下列各数填在相应的大括号里：，，，，，，，，．
正数：{ }；
负数：{ }；
非负整数：{ }；
整数：{ }；
分数：{ }；
负分数：{ }．
【答案】，，，；，，，；，，；，，，，，；，，；．
【详解】正数：{，，，}；
负数：{，，，}；
非负整数：{，，}；
整数：{，，，，，}；
分数：{，，}；
负分数：{}；
故答案为：，，，；，，，；，，；，，，，，；，，；．
数轴及比较大小
6．（23-24七年级上·北京海淀·期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：．由数轴可知，，原结论错误，故该选项不符合题意；
．由数轴可知，，，则，原结论正确，故该选项符合题意；
．由数轴可知，，，则，原结论错误，故该选项不符合题意；
．由数轴可知，，，则，原结论错误，故该选项不符合题意；
故选：B．
7．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，数轴上有，，，四棵小树，那么离原点距离最近的小树是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，，，，
离原点距离最近的小树是，
故选：．
8．（2023-24七年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、没有原点，不是数轴，故选项A不符合题意；
B、单位长度不一致，不是数轴，故选项B不符合题意；
C、和位置反了，不是数轴，故选项C不符合题意；
D、具有数轴三要素，是数轴，故选项D符合题意；
故选D．
9．（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①，②，③，④，正确的是（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①④
【答案】C
【详解】解：在数轴上的位置如图所示：
，
故①正确；，②错误；由①②可得，③正确；
，
，④错误；
综上所述，正确的有①③，
故选：C．
10．（23-24七年级上·广东佛山·期末）数轴上点表示的数为，与点距离为个单位长度的点表示的数为 ．
【答案】或
【详解】解：设该点表示的数为，
根据题意得：，
或，
解得：或，
故答案为：或．
11．（23-24七年级上·云南昆明·期末）（1）画数轴并在数轴上表示下列各数：0，3，，，1，；
（2）按从小到大的顺序用“”号把（1）中的这些数连接起来；
（3）直接填空：数轴上表示3和表示1的两点之间的距离是　　，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则点，两点之间的距离是　　．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）2，3
【详解】解：（1）如图：
（2）由（1）可得：；
（3）数轴上表示3和表示1的两点之间的距离，数轴上点表示的数为1.5，点表示的数为，则点，两点之间的距离，
故答案为：2；3．
相反数、绝对值
12．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）的绝对值是（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：的绝对值是，
故选：A．
13．（2023-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是（ ）
A．负数 B．负数或零 C．正数或零 D．正数
【答案】C
【详解】解：∵正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，即等于它本身，
∴一个数的绝对值是它本身的数是正数和0；
故选：C．
14．（2023-24七年级上·广东广州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．有最大的有理数 B．有最小的有理数
C．有绝对值最大的有理数 D．有绝对值最小的有理数
【答案】D
【详解】解：A、没有最大的有理数，故A错误；
B、没有最小的负有理数，故B错误；
C、没绝对值最大的有理数，故C错误；
D、绝对值最小的有理数是0，故D正确；
故选：D．
15．（2023-24七年级上·河南平顶山·期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示．把a、、b、按照从小到大的顺序排列并用“<”号连接起来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：观察数轴得：，且，
，
故选：A．
16．（2023-24七年级上·陕西西安·阶段练习）下列有理数大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：、∵，，，
∴，故该选项正确，符合题意；
、∵，
∴，故该选项错误，不合题意；
、∵，，
∴，故该选项错误，不合题意；
、∵，，，
∴，故该选项错误，不合题意；
故选：．
17．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）比较大小： ．（填“”，“”或“”）
【答案】
【详解】解：
，
，
故答案为：．
18．（23-24七年级上江苏无锡·期末）已知下列有理数：，0，，，，，．
(1)画出数轴，并在数轴上标出这些数对应的点．
(2)用“”把这些数连接起来．
【答案】(1)画图见解析
(2)
【详解】（1）解：∵，，，
在数轴表示各数如下：
；
（2）解：根据（1）的数轴图，得：．
有理数的加减法
19．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，灰色为负），图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：根据题意，图2表示的计算过程是：；
故选：D．
20．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）将写成省略加号的和的形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：，
故选：B．
21．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）在，，，， ， ， ，这些数中，正有理数有个，非负整数有个，分数有个，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，，是正有理数，共个，
，是非负整数，共个，
，，，是分数，共个，
∴，，，
∴，
故选：．
22．（23-24七年级上·河北邢台·期末）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（ ）
甲：
乙：
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
【答案】D
【详解】解：根据题意，
甲：，故甲错误；
乙：；故乙正确；
故选：D．
23．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：
故选：D．
24．（2023-24七年级上·云南西双版纳·阶段练习）小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定把向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则爬过的各段路程（单位：）依次为：，，，，，，．
(1)通过计算说明小虫最后是否回到起点；
(2)如果小虫爬行的速度为每秒，小虫共爬行了多长时间？
【答案】(1)小虫最后回到起点
(2)小虫共爬行了108秒
【详解】（1）解：，
则小虫最后回到起点；
（2）
，
，
答：小虫共爬行了108秒．
有理数的乘除法、乘方
25．（2023-24七年级上·内蒙古·期末）如果满足，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C．当时， D．当时，
【答案】C
【详解】解：∵，
∴a、b为异号，
∵，
∴正数绝对值较大，
故选：C．
26．（2023-24七年级上·云南保山·期末）有理数，，，按从小到大的顺序排列是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：，，，
∵，，
∴，
∴有理数，，，按从小到大的顺序排列为，
故选：B．
27．（23-24七年级上·四川泸州·期末）有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则的值是（　　）
A． B．1 C．0 D．
【答案】D
【详解】∵有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，
∴，
当时，原式，
当时，原式，
综上，的值是，
故选：D．
28．（2023-24七年级上·山东济南·期末）如图是一个数值转换机，若输入的数为，则输出的数是 ．
【答案】7
【详解】解：当时，，
当时，，
则输出的数是7．
故答案为：7．
29．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）在，，，，这五个数中任取三个数相乘，其中最小的积是 ．
【答案】
【详解】解：最小的积，
故答案为：．
30．（23-24七年级上 甘肃庆阳·期末）有下列算式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中运算结果为正数的是 ，为负数的是 ，为0的是 ．（填序号）
【答案】 ①②④⑤ ⑥ ③
【详解】解：① 的结果为正数；②的结果为正数；③；④；⑤为正数；⑥为负数，
∴结果为正数的是①②④⑤；为负数的是⑥；为0的是③；
故答案为：①②④⑤；⑥；③
31．（23-24七年级上·广东珠海·期末）阅读下面解题过程并解答问题：
计算：．
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）．
(1)上面解题过程有两处错误：
第一处是第 步，错误原因是 ；
第二处是第 步，错误原因是 ．
(2)请写出正确的计算过程．
【答案】(1)第二步，没有按同级运算从左至右运算；第三步，符号弄错
(2)
【详解】（1）解：由题意知，第一处错误是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算．
第二处错误是第三步，错误原因是符号弄错．
（2）解：原式
．
有理数的混合运算
32．（23-24七年级上·江苏常州·期末）已知地球的表面积约为5.1亿平方千米，其中海洋面积约是陆地面积的倍，则地球的陆地面积约为 平方千米（精确到0.1亿平方千米，用科学记数法表示）．
【答案】
【详解】解：地球的表面积约为5.1亿平方千米，其中海洋面积约是陆地面积的倍，则地球的陆地面积约为亿平方千米，
∴亿平方千米（平方千米）；
故答案为：
33．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）规定一种新运算“”，当，时， “” ；当，时，“” ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴当，时，
，
当，时，
，
故答案为：，
34．（2023-24七年级上·山东枣庄·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
35．（23-24七年级上·浙江台州·期末）小明与小红两位同学计算的过程如下：
小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） =16（第四步）
(1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤；
(2)写出正确的解答过程．
【答案】(1)小红第二步计算出现错误
(2)
【详解】（1）解：小红第二步计算出现错误，运算顺序出现了错误；
（2）解：原式
．
36．（2023-24七年级上·河北邢台·开学考试）下面是佳佳同学的一道题的解题过程：
，①
，②
，③
，④
(1)佳佳同学开始出现错误的步骤是_____；
(2)请给出正确的解题过程．
【答案】(1)①
(2)解答过程见解析．
【详解】（1）解：佳佳同学开始出现错误的步骤是①，
故答案为：①；
（2）解：
．
37．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）观察下列等式：；；；；；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出两个等式： ， ；
(2)根据以上式子的规律，请写出第个式子；（为正整数）
(3)利用这个规律计算的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）解：根据所给等式的规律可知：
，
，
故答案为：，；
（2）解：根据所给等式的规律可知，第个等式为：
；
（3）解：
．
有理数运算的实际应用
38．（23-24七年级上·河南郑州·期末）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”．大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……．文中的鸟巢共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【详解】解：（个）；
答：文中的鸟巢共有个．
故选：C．
39．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）已知某通讯公司所收取的电话费（元）随用户通话时间（分钟）的变化情况如下表：（不足1分钟按1分钟算）
通话时间t/分钟 1 2 3 4 …
电话费y/元 …
若小明通话6分钟，则需要付电话费（ ）
A．0.85元 B．0.9元 C．1.2元 D．1.35元
【答案】B
【详解】解：根据题意得：，
∴小明通话6分钟，则需要付电话费元，
故选：B
40．（23-24七年级上·浙江温州·期末）如图所示，点，，把一条300米环形跑道分为相等的3段．若甲、乙两人分别从，两处同时相向出发，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米．相遇后不改变方向，经过800秒时，两人恰好第 次相遇．
【答案】14
【详解】解：由题意得：两人第一次相遇的时间为秒，
之后每次相遇所需时间为秒，
所以第一次相遇后又相遇了次，
所以经过800秒时，两人恰好第14次相遇，
故答案为：14．
41．（2023-24七年级上·江苏无锡·期末）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减（单位：个）
(1)写出该厂星期一生产工艺品的数量是 ；
(2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？
(3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量；
(4)已知该厂实行每日计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额．
【答案】(1)305
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产26个；
(3)该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量为2110个；
(4)该工艺厂在这一周应付出的工资总额为元．
【详解】（1）解：（个），
答：周一的产量为305个；
故答案为：305；
（2）解：（个），
答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产26个；
（3）解：（个），
答：该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量为2110个；
（4）解：，
（元）
则该工艺厂在这一周应付出的工资总额为：，
答：该工艺厂在这一周应付出的工资总额为元．
42．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）每年6月份是樱桃采摘旺季． 某樱桃农场安排5位员工进行樱桃采摘工作，规定：采摘数据以为标准，超出部分记作正数，下表是5位员工某一天采摘樱桃的实际情况．（“”表示超出，“”表示不足）．
员工 员工1 员工2 员工3 员工4 员工5
采摘总量
(1)员工2采摘樱桃是 ；
(2)该农场预计采摘樱桃，通过计算说明5位员工樱桃采摘实际数量是否能够达到预计数量；
(3)该农场支付给员工的日结工资包含基本工资和个人绩效两部分，若按如下方法计算，农场该天共需支付给员工的工资是多少元？
基本工资 参加采摘的员工每人基本工资200元天
个人绩效 若每天没达到标准数量，少扣2元；若每天超出标准数量，多奖助3元．
【答案】(1)88
(2)5位员工草莓采摘实际数量能达到预计数量
(3)农场该天共需支付的费用是1098元
【详解】（1）解：员工2采摘草莓数量是：，
故答案为：88；
（2）解：
，
，
位员工草莓采摘实际数量能达到预计数量；
（3）解：
（元，
答：农场该天共需支付的费用是1098元．
科学记数法、近似数
43．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．（精确到） B．（精确到千分位）
C．（精确到百分位） D．（精确到）
【答案】B
【详解】解：A．（精确到），原式正确，不符合题意；
B．（精确到千分位），原式错误，符合题意；
C．（精确到百分位），原式正确，不符合题意；
D．（精确到），原式正确，不符合题意；
故选：B．
44．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）据灯塔专业版显示，某电影票房突破55亿元，观影总人次达亿，荣登年度全球票房冠军．将数据55亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：55亿，
故选：C．
45．（23-24七年级上 广东汕头·期末）按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（ ）
A．（精确到十分位） B．（精确到）
C．亿亿（精确到个位） D．（精确到）
【答案】B
【详解】解：A． （精确到百分位），原选项不正确，不符合题意；
B． （精确到），原选项正确，符合题意；
C． 亿亿（精确到亿位），原选项不正确，不符合题意；
D． （精确到），原选项不正确，不符合题意；
故选：B．
46．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将数据1300000用科学记数法可表示为 ．
【答案】
【详解】解： ．
故答案为： ．
1．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）若，则的取值不可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】解：由题意，得
，，
当、同号时，，，；
，，；
当、异号时，，，；
，，；
综上，的取值不可能是1，
故选：B．
2．（2021·福建·模拟预测）如图，有理数在数轴上的对应点分别是，若，则的值（　　）

A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，互为相反数，
∴原点是的中点，
∴，，，
∴，
∴，
故选：B．
3．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）小明为了求的值，进行了以下探究：他令，在等式两边同乘2得，，因此，所以．即．请仿照以上推理计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：令，
则，
因此，
所以．
故选：B．
4．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）小丽在四张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，（ ）一定不是小丽在纸片上写的数．
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【详解】解：设这四个数字分别为：，，，且，
故，；
当时，得，
且
此时所以
当时，得，那么，当时，，此时这4个数分别是2，4，4，5，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此符合题意；
当时，，那么，当时，，此时这4个数分别是3，3，3，6，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此不符合题意；
当时，，那么，当时，，此时这4个数分别是3，3，4，5，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此符合题意；
综上所述，四个数只能是2，4，4，5或3，3，4，5；
故选为：A．
5．（23-24七年级上·山东德州·期末）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下：．战国时代，中国人已经有了正负数的概念，并用红算筹代表正数，黑算筹代表负数．则（整体为黑色）与（整体为红色）的和是 ．
【答案】
【详解】
解：根据算筹计数法，（整体为黑色）表示的数是：，
表示的数是：1501，
（整体为黑色）与（整体为红色）的和为：．
故答案为：．
6．（23-24七年级上·江西南昌·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ．
【答案】0或10或20
【详解】解：，
①当，则，则点C所表示的数为；
②当，则，则点C所表示的数为；
③当，则，则点C所表示的数为；
综上，点在数轴上表示的数为：0或10或20，
故答案为：0或10或20．
7．（23-24七年级上·浙江·期末）已知数轴上A点表示的数是，B点表示的数是6，将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．
【答案】或或
【详解】解：由题意得：
设得到的三条线段的长度分别为：，
则：，
解得：
时，如图所示：
∴
折痕处对应的点所表示的数是：；
时，如图所示：
∴
折痕处对应的点所表示的数是：；
时，如图所示：
∴
折痕处对应的点所表示的数是：；
故答案为：或或
8．（23-24七年级上·福建福州·期末）已知数轴上，，，四点所表示的数分别为，，，，，其中有两个数的和为0，且满足．若，，．则这四个数中互为相反数的是 ．
【答案】，或，
【详解】解：因为这四个数中有两个数和为0，则一定有一个负数和一个正数，因为，
则这四个数为两个正数和两个负数，即，
若和互为相反数，因为，则，，
若和互为相反数，因为，，
所以，则，，，
若和互为相反数，因为，，
所以，则，，，（舍去）．
故答案为：，或，．
9．（23-24七年级上·四川阿坝·期末）如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒长为______．
(2)由（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，小丽问马老师年龄时，马老师说：“我像你这么大时，你只有1岁；等你到我这年龄的时候，我已经52岁了．”请求出小丽和马老师现在多少岁了？
【答案】(1)6
(2)小丽现在18岁，马老师现在35岁
【详解】（1）解：由数轴观察可得：三根木棒长是，
∴木棒长为；
（2）解：如图，设小丽的年龄为表示的数，马老师的年龄为表示的数，
∵马老师像小丽这么大时，小丽只有1岁；等小丽到马老师这年龄的时候，马老师已经52岁了．
∴马老师与小丽的3倍龄差为（岁），
∴马老师与小丽的差为（岁），
∴小丽的年龄为（岁），
∴小丽的年龄为（岁），
∴小丽现在18岁，马老师现在35岁．
10．（2023-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
(1)求　　；
(2)找出所有符合条件的整数，使得；
(3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．
【答案】(1)7
(2)符合条件的整数为，，，，，0，1，2
(3)有，值为3
【详解】（1）解：；
（2）解：可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7，
符合条件的整数为，，，，，0，1，2；
（3）解：有最小值，最小值为3，理由如下：
可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和，
当时，有最小值，最小值为．
11．（23-24七年级上·广东珠海·期末）某市出租车采取“时距并计”的方式收费，具体收费标准如下表：
起步价（3千米以内） 超过3千米部分每千米费用（不足1千米以1千米计） 等候费（不足1分钟以1分钟计）
（单价：元） 10 等候的前4分钟不收费．之后每2分钟1元
某日上午，出租车司机小李运营线路全是在某条东西走向的路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下：．
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点________（东/西）________千米；
(2)若出租车耗油量为8升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？
(3)小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间为18分钟．求第三位乘客需支付车费多少元？
【答案】(1)西，1；
(2)出租车共耗油352升；
(3)第三位乘客需支付车费元．
【详解】（1）解：，
∴将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点西边1千米；
（2）．
∴（升）
答：出租车共耗油352升．
（3）（元）
答：第三位乘客需支付车费元．