直线与圆的方程专题突破（典型例题与跟踪训练）-2025年高考数学一轮复习（含解析）

直线与圆的方程专题突破（典型例题与跟踪训练）-2025年高考数学一轮复习
一、单选题
1．圆和圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内含
2．过点引圆的切线，则切线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
3．已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　）
A．＋2，－2 B．＋2，
C．，－2 D．，
8．已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．圆和圆关于直线对称
B．圆和圆的公共弦长为
C．的取值范围为
D．若为直线上的动点，则的最小值为
二、多选题
9．已知是圆上任一点，，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心的坐标为 B．点在圆内
C．的最大值为 D．过的最短弦长是
10．已知直线，圆是以原点为圆心，半径为2的圆，则下列结论正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上有且仅有两个点到直线的距离都等于1
C．若圆与曲线恰有三条公切线，则
D．当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点
11．在平面直角坐标系中，已知点，，，，，的外接圆分别为圆、圆，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的方程为 B．点恒在圆外
C．若圆与圆的半径相等，则 D．若，则圆的圆心的横坐标为0
三、填空题
12．如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 .
13．已知圆上任意一点的取值与无关，则实数的取值范围是 .
14．已知圆，过点的直线交圆于两点，且点为的中点，则满足上述条件的一条直线的方程为 .
四、解答题
15．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于，当时，求直线的方程.
16．已知圆过三点.
(1)求圆的标准方程；
(2)斜率为1的直线与圆交于两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程.
17．已知关于的方程：．
(1)当为何值时，方程表示圆；
(2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值．
18．已知经过点的圆的圆心在直线上，点是圆上一个动点．
(1)求的取值范围；
(2)若圆与圆相交于两点，且过点处的两圆的切线垂直，求．
19．已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为.
(1)求的值；
(2)求的面积；
(3)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B C A C D ACD ACD
题号 11
答案 BC
1．C
【分析】计算两圆的圆心之间的距离和半径比较，即得答案.
【详解】圆的圆心为，半径为3，
圆的圆心为，半径为2，
两圆的圆心距为，所以两圆外切.
故选：C
2．D
【分析】分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论；当斜率不存在时，直线与x轴垂直，只需判断圆心到直线的距离是否等于半径即可；当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率即可.
【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，
此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
即，
∵直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，
∴所求切线方程为.
综上，切线方程为或.
故选：D.
3．B
【分析】根据题意，得到直线过定点，以及曲线，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解.
【详解】由直线过定点，
又由曲线，可得，
作出曲线与直线的图象，如图所示，
因为直线，可得，
又由，解得，
若直线与曲线有公共点，则，
即实数的取值范围为.
故选：B.
4．B
【分析】根据题意，由条件可得过点P且弦长最短的弦应是垂直于直线CP的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果.
【详解】设经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的斜率为，直线的斜率为，
由题意得，，
过点P且弦长最短的弦应是垂直于直线CP的弦，则，得，
所以过点且被圆截得弦长最短的直线的方程为，即.
故选：B.
5．C
【分析】先设圆心的坐标为，根据点在线上及两点间距离得出，再求出半径，得出圆的标准方程.
【详解】设圆心的坐标为.
因为圆心在直线上，所以①，
因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②，
由①②可得.所以圆心的坐标是），圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
故选:C.
6．A
【分析】设出直线的方程，利用点到直线距离公式及圆的弦长公式列式求解即得.
【详解】圆的圆心，半径，
易知直线斜率存在，设的方程为，则圆心到的距离，
则，解得，
所以的斜率为.
故选：A
7．C
【分析】由题意可得曲线表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，表示半圆上的动点与点的距离，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】由，可知，，
且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：

又因为表示半圆上的动点与点的距离，
又因为，
所以的最小值为，
当动点与图中点重合时，取最大值，
故选：C．
8．D
【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用等等这些距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当，，，四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D.
【详解】对于A，和圆，
圆心和半径分别是，
则两圆心中点为，
若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，
但两圆心中点不在直线上，故A错误；
对于B，到直线的距离，
故公共弦长为，B错误；
对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小，
当四点共线时，的值最大为，
故的取值范围为，C错误；
对于D，如图，设关于直线对称点为，

则解得即关于直线对称点为，
连接交直线于点，此时最小，
，
即的最小值为，D正确.
故选：D.
9．ACD
【分析】由圆的标准方程可判断A，由点和圆的位置关系可判断B，由圆外一点到圆的距离的最值可判断C，由圆的几何性质可判断D.
【详解】将圆的方程化为标准方程，
圆心，如图所示：
对于A：圆心C的坐标为，故A正确；
对于B：因为，所以点在圆C外，故B错误；
对于C：因为，
所以，即，故C正确；
对于D：因为，所以点在圆内，
当弦垂直于时弦长最短，又，
最短弦长为，故D正确.
故选：ACD.
10．ACD
【分析】对A：整理得，根据直线恒过定点求解；对B：求出圆心到直线的距离判断，由此判断有四个点满足条件；对C：根据两圆外切求得；对D：设，写出以为直径的圆，两圆相减得公共弦的方程可证得恒过定点.
【详解】对于，整理得，
所以解得所以直线恒过定点，故A正确；
对于B，当时，直线为，
则圆心到直线的距离，而圆的半径为2，
所以圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1，故B错误；
对于C，曲线整理得，
当时，曲线是圆心为，半径为的圆，
圆的圆心，半径为2，所以两圆的圆心距为，此时两圆外切，恰有3条公切线，所以，故C正确；
对于D，当时，直线的方程为，设，则以为直径的圆的方程为，
即
圆两圆的公共弦的方程为，
整理得解得
直线经过点.故D正确.
故选：ACD
11．BC
【分析】求出直线的方程判断A；判断点的轨迹与圆关系判断B；求出圆半径及圆心坐标进而求出判断C；确定圆心位置判断D.
【详解】对于A，直线的方程为，即，A错误；
对于B，等腰的外接圆的圆心在轴上，则直线与圆相切于点，
而点在直线上，且又，因此点恒在圆外，B正确；
对于C，设圆的圆心为，则，解得，圆的半径为，
线段中垂线方程为，线段中垂线方程为，
于是得圆的圆心为，而圆的半径为，则，
整理得，而，因此，C正确；
对于D，由，得，则圆的圆心在线段的垂直平分线上，D错误.
故选：BC
12．5或
【分析】先将圆的一般方程化成圆的标准方程，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据弦长关系即可求出.
【详解】由题意知可化为，
可知圆心坐标为，半径，
根据点到直线的距离公式和弦长关系可得
解之可得或.
故答案为：5或
13．
【分析】首先构造点到直线的距离的几何意义，转化为直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】设，
故可以看作点到直线
与直线距离之和的5倍，
的取值与无关，
这个距离之和与点在圆上的位置无关，
如图所示：可知直线平移时，
点与直线的距离之和均为的距离，
即此时圆在两直线内部，
当直线与圆相切时
化简得，
解得或（舍去），
所以.
故答案为：
14．（或）
【分析】画出图分析可知，点在圆外，设点到直线的距离为，由点为的中点，得，由几何法求出，然后分斜率存在与不存在求解直线的方程即可.
【详解】
由题意得，圆心，半径，则，
故点在圆外，设点到直线的距离为，由点为的中点，
得，即，即 ，解得，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时，不符合题意，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
则，解得或，所以直线的方程为或.
故答案为：(或，答案不唯一).
15．或
【分析】求出圆方程，根据求出到直线的距离，设出直线方程，根据求出方程，斜率不存在时单独检验.
【详解】易知到直线的距离为圆半径，
所以，则圆方程为，
设圆心到直线的距离为，故，即，所以，
当动直线斜率不存在时，设直线的方程为，
经检验圆心到直线的距离为1，且根据勾股定理可知，显然合题意，
当动直线斜率存在时，过点，设方程为：，
由到距离为1知得，代入解之可得，
所以或为所求方程.
16．(1)
(2)或
【分析】（1）利用待定系数法，即可将三点坐标代入圆的一般方程中，列方程组求解，
（2）根据等腰直角三角形的性质，可得，结合点到直线的距离即可求解.
【详解】（1）设所求的圆的方程是，其中，
把已知三点坐标代入得方程组解得
所以圆的一般方程为.
故圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为：，
因为为等腰直角三角形，又由（1）知圆的圆心为，半径为5.
所以圆心到直线的距离
解得或，所以直线的方程为：或.
17．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用圆的一般式的条件求解即可；
（2）利用弦长公式计算参数即可.
【详解】（1）由圆的一般方程性质可知：
解得，
所以当时，方程表示圆.
（2）由，得，
所以该圆圆心为，半径
所以圆心到直线的距离
根据弦长公式可知：
解得.
18．(1)
(2)
【分析】（1）依据题意求出圆的方程，利用几何意义转化目标式，求出取值范围即可.
（2）作出图形，利用勾股定理结合等面积公式求解即可.
【详解】（1）设圆的方程为，
根据题意可得，解得，
则圆的方程为，
易知圆心，半径为2．
表示点与圆上的点的连线的斜率，
当过点的直线斜率不存在时，此时该直线方程为，恰好与圆相切；
当过点的直线斜率存在时，斜率记为，
由点斜式可知直线的方程为，
由，解得，
故的取值范围是．
（2）圆的圆心为，半径为，
如图，圆与圆相交于两点，且过点处的两圆的切线垂直，
且连接，，，，，，
在中，，
所以，
由于两圆相交其连心线垂直于公共弦，结合等面积公式得．
19．(1)
(2)
(3)过定点，
【分析】（1）先确定直线的方程，联立直线方程求得点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得；
（2）根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；
（3）设方程，含参表示方程，求出坐标，从而求出以为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.
【详解】（1）
由题知：直线方程为，则由，得到，即，
点为线段的中点，，即，
.
（2）
由，则圆心；
到直线距离为，
，
又到直线的距离为，边上的高为..
（3）

由圆与轴交于两点，得，
不妨设直线的方程为，其中，
在直线的方程中，令，可得，
因为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
则线段的中点为，圆的半径平方为，
所以，以线段为直径的圆的方程为，
即，
由，解得，
因此，当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是（3）设直线的方程为，则直线的方程为，由表示的中点为，圆的半径平方为，得以线段为直径的圆的方程，可得以线段为直径的圆过圆内的一定点.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()