6.3.1平面向量基本定理——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练（含解析）

6.3.1平面向量基本定理——高一数学人教A版（2019）必修二课时优化训练
一、选择题
1．若，则，那么下列对，的判断正确的是( )
A.与一定共线 B.与一定不共线
C.与一定垂直 D.与中至少一个为
2．在中，P是边的中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则为( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形
3．若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是( )
A.不可以表示平面内的所有向量
B.对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对
C.若，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使
D.若存在实数，使，则
4．若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是( ).
A.和 B.和
C.和 D.和
5．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则等于( )
A. B. C. D.
6．如果，是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
7．已知向量，不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
8．已知非零向量，不共线，且，若，则x，y满足的关系是( )
A. B. C. D.
9．若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A.， B.，
C.， D.，
10．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
二、填空题
11．如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,DC边上,且,,若,,,则______.
12．在边长为4的等边中,已知,点P在线段上,且,则___________.
13．已知平行四边形中,,若,则__________.
14．已知D,E分别为的边,上的点,线段和相交于点P,若,且,,其中,,则的最小值为______________.
三、解答题
15．如图，在中，点D在线段上，且.
（1）用向量，表示；
（2）若，求的值.
参考答案
1．答案：B
解析：由平面向量基本定理知，当与不共线时，，
故选：B.
2．答案：C
解析：P是边的中点，
.
，
，
即.
与不共线，
且，
，
是等边三角形.
故选：C.
3．答案：D
解析：由平面向量基本定理可知，A错误，D正确；
对于B：由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，
那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B错误；
对于C：当两个向量均为零向量时，即时，这样的λ有无数个，
或当为非零向量，而为零向量（），此时λ不存在，故C错误；
故选：D.
4．答案：B
解析：因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线向量，
对于A中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；
对于B中，设，可得，解得，
所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底；
对于C中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；
对于D中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底.
共线：B.
5．答案：B
解析：因为在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，
所以，，
所以
.
故选：B.
6．答案：D
解析：由，为不共线向量，可知与，与，与必不共线，
都可作为平面向量的基底，
而，故与共线，不能作为该平面所有向量的基底.
故选：D.
7．答案：D
解析：只要两向量不共线便可作为基底，
故对于A选项，，共线，不满足；
对于B选项，，共线，不满足；
对于C选项，共线，不满足；
对于D选项，与不共线，故满足.
故选：D.
8．答案：A
解析：由得，即，又，故，消去λ后得.
故选A.
9．答案：B
解析：不共线的向量能作为基底，
因为，所以向量，共线，故排除A；
假设，解得，无解，
所以向量，不共线，故B正确；
因为，所以，共线，故排除C；
因为，所以，共线，故排除D，
故选：B.
10．答案：D
解析：，是平面内的一组基底，，不共线，而，
则根据向量共线定理可得，与共线，根据基底的定义可知，选项D不符合题意.
其他三组中的向量均为不共线向量，故可作为基底向量.
故选：D.
11．答案：-24
解析：因为,,
所以,,,
因为,,,
所以.
故答案为：-24.
12．答案：
解析：因为,所以,又,
即,因为点P在线段上,
所以P,C,D三点共线,由平面向量三点共线定理得,,即,
所以,又是边长为4的等边三角形,
所以
,故.
故答案为：.
13．答案：
解析：由图,可得,又,,
则,又注意到,,
代入,可得,
化简即得：,由平面向量基本定理,可得.
故答案为：.
14．答案：
解析：如图：
因为,所以,又,所以,
,所以,
,
又P,B,E三点共线,所以,
所以,,当且仅当时,
即,时,等号成立,
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）.
（2）.
因为，所以，
则，即，所以.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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