广东省广州市执信中学2024-2025 九年级上学期开学考试数学试题

广东省广州市执信中学2024-2025 学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·广州开学考）下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·广州开学考）已知是直线上的两个点，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·广州开学考）如图，菱形的对角线和相交于点O，E为边的中点，连接，若，则长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（2024九上·广州开学考）我校男篮队员的年龄分布如表所示，对于不同的m，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　）
年龄/岁 13 14 15
人数 m 6
A．众数，中位数 B．众数，方差
C．平均数，中位数 D．平均数，方差
5．（2024九上·广州开学考）如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（　　）
A． B．的面积为5
C． D．点到的距离为
6．（2024九上·广州开学考）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形形状和面积分别是（　　）
A．平行四边形， B．平行四边形，
C．菱形， D．菱形，
7．（2024九上·广州开学考）若函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九上·广州开学考）如图，在中，，，于点，于点，取的中点，则的周长是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
9．（2024九上·广州开学考）下列命题中，其中正确命题的个数为（　　）个
①Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边为5；
②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形；
③三角形的三边分别为a，b，c若a2+c2=b2，则∠C=90°
④在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024九上·广州开学考）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，．动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于AD，AB的对称点为，；点F关于BC，CD的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（　　）
A．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形
C．菱形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
11．（2024九上·广州开学考）若式子有意义，则x的取值范围为　 　．
12．（2024九上·广州开学考）某体校篮球班21名学生的身高如表：则该篮球班21名学生身高的中位数是　 　．
身高（） 180 185 187 190 193
人数（名） 4 6 5 4 2
13．（2024九上·广州开学考）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　．
14．（2024九上·广州开学考）如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是　 　．
15．（2024九上·广州开学考）甲、乙两船沿直线航道匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道中途的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为，则与t的函数关系如图．下列说法：①乙船的速度是40千米/时；②甲船航行1小时到达B处；③甲、乙两船航行0.6小时相遇；④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是．其中正确的说法的是　 　．
16．（2024九上·广州开学考）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为． 若正方形的边长为2，则　 　．
17．（2024九上·广州开学考）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024九上·广州开学考）解下列方程：
（1）；
（2）．
19．（2024九上·广州开学考）如图所示，点E在四边形的边上，连接，已知，求证：四边形为平行四边形．
20．（2024九上·广州开学考）《教育部等五部门关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见》要求：保障学生每天校内、校外各1个小时体育活动时间．某学校分别随机调查了男、女学生各100名，统计他们上周平均每天校外体育锻炼的时间，锻炼时间记为分钟，将所得数据分为5个组别（组：；组：；组：；组：；组：），将数据进行分析，得到如下统计：
①100名男生组学生上周平均每天校外体育锻炼时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：
②100名男生上周平均每天校外体育锻炼时间条形统计图如下图；
③100名女生上周平均每天校外体育锻炼时间分布扇形统计图如下图；
④调查的男女同学上周平均每天校外体育锻炼时间的平均数中位数众数如下表．
性别 平均数 中位数 众数
女生 81.3 79.5 82
男生 81.3 83
请你根据以上信息回答下列问题：
（1）根据以上信息填空：______，______，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据分析，你认为男生和女生上周校外锻炼情况那个更好，请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校有男同学800名，女同学1000名，请估计该校上周平均每天校外体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人．
21．（2024九上·广州开学考）永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元．
（1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于45000元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？
22．（2024九上·广州开学考）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点．
（1）求证：DE=EF；
（2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由；
（3）若AB=3，AE=，求BD的长．
23．（2024九上·广州开学考）如图，已知，点 D 在 y 轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C 处．
（1）求直线的表达式；
（2）求 C、D 的坐标；
（3）在直线上是否存在一点 P，使得 若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由．
24．（2024九上·广州开学考）已知，如图，一次函数与x轴、y轴分别交于点A和点B，A点坐标为（3，0），∠OAB=45°．
（1）求一次函数的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上一点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPC，连接CA并延长交ｙ轴于点Q．
①若点P的坐标为（4，0），求点C的坐标，并求出直线AC的函数表达式；
②当P点在x轴正半轴运动时，Q点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请求出它的变化范围．
25．（2024九上·广州开学考）如图①，正方形中，点O是对角线的中点，点P是线段上（不与A，O重合）的一个动点，过点P作且交边于点E．
（1）尺规作图：在图①中，过点P作的垂线，垂足为M（不要求写作法，保留作图痕迹）并求证：．
（2）如图②，若正方形的边长为6，过E作于点F，在P点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由．
（3）如图③，直接写出线段，，之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可.
2．【答案】B
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解∶，
随的增大而减小，
∵点在直线上，且-2＜1，
故答案为∶B．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b是常数且k≠0)中，当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，可以解答本题．
3．【答案】B
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形，
∴，
又∵E为AB边的中点，
∴，
故选：B．
【分析】先根据菱形的性质得到，然后根据直角三角形斜边的性质得到即可得出答案．
4．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表可知，总人数为：5+6=11，
故该组数据的众数为15岁；
按大小排列后，第6个数据为：15，
则中位数为15岁，
即对于不同的m，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：A．
【分析】先求出总人数，再根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数得出众数为15岁，根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）得出中位数为15岁，即可求解.
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：A、 ∵，
∴，本选项结论正确，不符合题意；
B、，本选项结论正确，不符合题意；
C、，，，
，
，本选项结论正确，不符合题意；
D、点A到的距离，本选项结论错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用方格纸的特点及勾股定理求出BC长可判定A；利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积，计算出△ABC的面积可判定B；利用勾股定理及其逆定理判定C；利用三角形面积公式求出△ABC边BC的高，即可利用点到直线的距离判定D．
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴，
如图，作于M，于N，连接，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
则，
∴重合部分四边形的面积为：
，
故答案为：D．
【分析】先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得出，作于，于，根据平行四边形的对角线将平行四边形分为面积相等的两部分得出，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形是菱形，再由直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求得，然后根据重合部分四边形的面积为，代入计算即可求解.
7．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴，
解得：，
故选：C．
【分析】根据函数图象经过第一、三、四象限得出2a+1＞0，a-1＜0，解不等式组求出a的取值范围即可.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，
∴BE是的中线，
，是的中点，
，，
是的中线，D是的中点，
是的中位线，
，
的周长．
故选：B．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出BE是△ABC的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，，根据连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线得出DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半得出，结合三角形的周长公式计算即可求解.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边为5或 ，故错误；②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形，正确；③三角形的三边分别为a，b，c若a2+c2=b2，则∠C=90°，正确；④在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形，则∠C=90°，故正确；
故选C
【分析】利用勾股定理的逆定理、直角三角形的定义等知识分别判断后即可解决问题．
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；轴对称的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接AE，AO，如图：
∵∠ABD=70°，四边形ABCD是矩形， O为对角线BD的中点，
∴AO=BO，
∴∠AOB=40°，
∵当点E从点O出发， 向终点B（包括端点）运动，
则∠AEB的度数由40°增加到90°（即AE⊥BD），再增加（即∠AEB是钝角）直至点B与点E重合，
当∠AEB=40°时，即E，O，F共点，连接AC，如图：
则DO=BO=AO=CO，
∵点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，
∴DE1=DF2=AE1=AE2=BE2=BF1=CF1=CF2，
即E1E2=E1F2=E2F1=F1F2，
∴四边形E1E2F1F2是菱形；
当40°＜∠AEB＜90°时，如图：
∵点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．
∴OF=OE，
故BE=DF，DE=BF，
∵点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，
∴DE1=DE=BE=BF1，DF=DF2=BE2=BE，
故E1F2=E2F1，F1F2=E1E2，
∴四边形E1E2F1F2是平行四边形；
当∠AEB=90°时，即AE⊥BD，如图：
则∠AE2B=90°，
故四边形E1E2F1F2是矩形；
当90°＜∠AEB＜180°时，如图：
则∠AE2B＞90°，
此时四边形E1E2F1F2是平行四边形；
当∠AEB=180°时，即点F与点D重合，点E与点B重合时，如图：
∵点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，
∴AE1=AB，CD=CF1，
∴E1B=F1D，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴四边形E1E2F1F2是平行四边形；
∴在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形，
故答案为：D.
【分析】连接AE，AO，根据矩形的对角线相等且互相平分得出AO=BO，根据等边对等角和三角形内角和是180°求出∠AOB=40°，结合题意可得∠AEB的度数由40°增加到90°（即AE⊥BD），再增大（即∠AEB是钝角）直至点B与点E重合，根据∠AEB=40°，40°＜∠AEB＜90°，∠AEB=90°，90°＜∠AEB＜180°，∠AEB=180°，分为五种情况，分别证明四边形E1E2F1F2是菱形、平行四边形、矩形、平行四边形、平行四边形，即可求解.
11．【答案】x≥0且x≠2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得x≥0，x-2≠0
即x≠2
故x的取值范围是x≥0，且x≠2
故答案是：x≥0且x≠2．
【分析】根据二次根式中被开方式大于等于0得出x≥0，根据分式中分母不为0得出x-2≠0，即可求解.
12．【答案】
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：按从小到大的顺序排列，第11个数是，
故中位数是．
故答案为：．
【分析】根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）即可求解.
13．【答案】1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：依题意，有：且，
解得，
故答案为：1．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出判别式，结合二次项系数不为零即可求解.
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：函数的图象过点，
，
解得，
由图象得：不等式的解集是：，
故答案为：．
【分析】根据题意可知所求解集即为：直线不在下方部分所有的点的横坐标所构成的集合，然后利用确定点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线不在直线的上方，于是可得到不等式的解集．
15．【答案】①②④
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解： 乙船从B到C共用时3小时，走过路程为120千米，
因此乙船的速度是40千米/时，①正确；
乙船经过0.6小时走过0.6×40=24千米，甲船0.6小时走过60-24=36千米，所以甲船的速度是36÷0.6=60千米/时，
开始甲船距B点60千米，因此经过1小时到达B点，②正确；
航行0.6小时后，甲乙距B点都为24千米，但是乙船在B点前，甲船在B点后，二者相距48千米，因此③错误；
开始后，甲乙两船之间的距离越来越小，甲船经过1小时到达B点，此时乙离B地40千米，
航行2.5小时后，甲离B地：60×1.5=90千米，乙离B地：40×2.5=100千米，此时两船相距10千米，当2.5＜t≤3时，甲乙的距离小于10，因此④正确；
综上所述，正确的说法有①②④，
故答案为：①②④．
【分析】先从乙走的全程及时间得出乙的速度，结合t=0.6时，乙走的路程，进而得出甲走的路程，求出甲的速度；根据题中对d与时间t的关系可判断甲乙两船航行0.6小时是否相遇；由前面求得的甲乙速度可判断甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段.
16．【答案】12
【知识点】“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解： 设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，
由题意可知：，，，∴，
，
∵正方形EFGH的边长为2，
∴，
∴
故答案为：12．
【分析】设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，得出，，，结合正方形EFGH的边长为2，进行计算即可.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）结合平方差公式和二次根式的性质进行计算即可.
（1）解：
（2）
18．【答案】（1）解：
，；
（2）解：
，；
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据配方法解一元二次方程即可求解.
（1）解：
，；
（2）
，；
19．【答案】证明：在和中，
，
∴；
∴，
∴，
∵，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应角相等得出，根据内错角相等，两直线平行得出，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明.
20．【答案】（1）解：由题意可得：B组所占百分比为，∴，
∴，
，
B组的人数为：.
补全条形图如下：
（2）解：男生上周锻炼情况更好，
理由：男生上周锻炼情况更好，理由：男生上周平均每天体育锻炼时间的中位数、众数均大于女生.
（3）解：（人），
故该校上周平均每天体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有924人.
【知识点】条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先根据B组女生在扇形统计图中的圆心角，求出其所占百分比，根据百分比之和为1求出A组女生所占百分比，即可补全条形统计图，根据中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数可得b的值；
（2）在平均数相同的情况下，比较中位数和众数即可得出结论；
（3）求出男生上周平均每天校外体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生人数和女生上周平均每天校外体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生人数的和即可.
（1）解：由题意可得：B组所占百分比为，
∴，
∴，
，
B组的人数为：
补全条形图如下：
（2）男生上周锻炼情况更好，理由：男生上周平均每天体育锻炼时间的中位数、众数均大于女生；
（3）（人）
答：该校上周平均每天体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有924人．
21．【答案】（1）解：设购买A种树每棵需x元，购买B种树每棵需y元，
由题意可知：，
解方程组得，
答：购买A种树每棵需400元，购买B种树每棵需500元．
（2）解：设购进A种树a棵，
由题意可知：，
解不等式得：，
又因为购进A种树不能少于48棵，即：，
∴有三种购买方案，分别是：
方案1：购买A种树48棵，购买B种树52棵；
方案2：购买A种树49棵，购买B种树51棵；
方案1：购买A种树50棵，购买B种树50棵．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买A种树每棵需x元，购买B种树每棵需y元，根据单价×数量=总价及“ 购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元 ”列出方程组，求解即可；
（2）设购进A种树a棵，则购进B种树（100-a）棵，根据单价×数量=总价及“ 购买这两种树的资金不低于45000元 与“与” 购进A种树不能少于48棵，”列出不等式组，求解得出a的取值范围，进而求出解集范围内的整数解即可.
（1）解：设购买A种树每棵需x元，购买B种树每棵需y元，
由题意可知：，
解方程组得，
答：购买A种树每棵需400元，购买B种树每棵需500元．
（2）解：设购进A种树a棵，由题意可知：
，解不等式得：，
又因为购进A种树不能少于48棵，即：，
∴有三种购买方案，分别是：
方案1：购买A种树48棵，购买B种树52棵；
方案2：购买A种树49棵，购买B种树51棵；
方案1：购买A种树50棵，购买B种树50棵．
22．【答案】（1）证明：如图1中，
，
，，
，
，
，，
．
（2）解：结论：．
理由：如图2中，在上取一点，使得，连接．
．，．
，
，，
，
，
，
，
，
．
（3）如图3中，过点作交于点．
，，
，
设，则，，
，．
，
在中，，
解得或（舍弃）
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
23．【答案】（1）解：设一次函数表达式：，
将点的坐标代入得：
，
解得：，
故直线的表达式为：
（2）解：，
，
由题意得： ，，
，
故点，
设点D的坐标为：，
，
解得：，
故点
（3）解：存在，
理由如下：
设直线的表达式为，
由点、的坐标代入得：
，
解得：，
直线的表达式为：，
，，
，
，
，
点P在直线上，
设，
，
解得：或5，
即点P的坐标为：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式即可求解；
（2）先根据勾股定理求出AB=5，结合折叠得出，设点D的坐标为，根据，即可得到m的值；
（3）根据待定系数法求出直线AD的鸡西市，设，根据，即可求解．
（1）解：设一次函数表达式：，
将点的坐标代入得：
，
解得：，
故直线的表达式为：；
（2）解：，
，
由题意得： ，，
，
故点，
设点D的坐标为：，
，
解得：，
故点；
（3）解：存在，
理由如下：
设直线的表达式为，
由点、的坐标代入得：
，
解得：，
直线的表达式为：，
，，
，
，
，
点P在直线上，
设，
，
解得：或5，
即点P的坐标为：或．
24．【答案】解：（1）∵∠AOB=90°，∠OAB=45°，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴OA=OB，
∵A(3，0)，
∴B(0，3)，
∴，解得，
∴；
（2）①过点C作x轴的垂线，垂足为D，
∵∠BPO+∠CPD=∠PCD+∠CPD=90°，
∴∠BPO=∠PCD，
在△BOP和 △PDC 中，
，
∴ △BOP≌ △PDC（AAS）．
∴PD=BO=3，CD=PO，
∵P(4，0)，
∴CD="PO=4，" 则OD=3+4=7，
∴ 点C(7，4)，
设直线AC的函数关系式为，
则，解得，
∴直线AC的函数关系式为；
②点Q的位置不发生变化．
理由：由①知 △BOP≌ △PDC，
当P点在x轴正半轴运动时，仍有△BOP≌ △PDC，
∴PD=BO，CD=PO，
∴PO+PD=CD+OB，
即OA+AD=OB+CD，
又∵OA=OB，
∴AD=CD，
∴∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠QAO=45°，
∴OQ=OA=3，
即点Q的坐标为（0，-3）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
25．【答案】（1）证明：如图， 点M即为所作， 设交于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）解：在点运动的过程中，的长度不发生变化，
理由：如图， 连接，
∵点是正方形对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
∴为定值是；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；四边形-动点问题
广东省广州市执信中学2024-2025 学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·广州开学考）下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可.
2．（2024九上·广州开学考）已知是直线上的两个点，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解∶，
随的增大而减小，
∵点在直线上，且-2＜1，
故答案为∶B．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b是常数且k≠0)中，当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，可以解答本题．
3．（2024九上·广州开学考）如图，菱形的对角线和相交于点O，E为边的中点，连接，若，则长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形，
∴，
又∵E为AB边的中点，
∴，
故选：B．
【分析】先根据菱形的性质得到，然后根据直角三角形斜边的性质得到即可得出答案．
4．（2024九上·广州开学考）我校男篮队员的年龄分布如表所示，对于不同的m，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　）
年龄/岁 13 14 15
人数 m 6
A．众数，中位数 B．众数，方差
C．平均数，中位数 D．平均数，方差
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表可知，总人数为：5+6=11，
故该组数据的众数为15岁；
按大小排列后，第6个数据为：15，
则中位数为15岁，
即对于不同的m，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：A．
【分析】先求出总人数，再根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数得出众数为15岁，根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）得出中位数为15岁，即可求解.
5．（2024九上·广州开学考）如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（　　）
A． B．的面积为5
C． D．点到的距离为
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：A、 ∵，
∴，本选项结论正确，不符合题意；
B、，本选项结论正确，不符合题意；
C、，，，
，
，本选项结论正确，不符合题意；
D、点A到的距离，本选项结论错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用方格纸的特点及勾股定理求出BC长可判定A；利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积，计算出△ABC的面积可判定B；利用勾股定理及其逆定理判定C；利用三角形面积公式求出△ABC边BC的高，即可利用点到直线的距离判定D．
6．（2024九上·广州开学考）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形形状和面积分别是（　　）
A．平行四边形， B．平行四边形，
C．菱形， D．菱形，
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴，
如图，作于M，于N，连接，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
则，
∴重合部分四边形的面积为：
，
故答案为：D．
【分析】先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得出，作于，于，根据平行四边形的对角线将平行四边形分为面积相等的两部分得出，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形是菱形，再由直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求得，然后根据重合部分四边形的面积为，代入计算即可求解.
7．（2024九上·广州开学考）若函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴，
解得：，
故选：C．
【分析】根据函数图象经过第一、三、四象限得出2a+1＞0，a-1＜0，解不等式组求出a的取值范围即可.
8．（2024九上·广州开学考）如图，在中，，，于点，于点，取的中点，则的周长是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，
∴BE是的中线，
，是的中点，
，，
是的中线，D是的中点，
是的中位线，
，
的周长．
故选：B．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出BE是△ABC的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，，根据连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线得出DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半得出，结合三角形的周长公式计算即可求解.
9．（2024九上·广州开学考）下列命题中，其中正确命题的个数为（　　）个
①Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边为5；
②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形；
③三角形的三边分别为a，b，c若a2+c2=b2，则∠C=90°
④在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边为5或 ，故错误；②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形，正确；③三角形的三边分别为a，b，c若a2+c2=b2，则∠C=90°，正确；④在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形，则∠C=90°，故正确；
故选C
【分析】利用勾股定理的逆定理、直角三角形的定义等知识分别判断后即可解决问题．
10．（2024九上·广州开学考）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，．动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于AD，AB的对称点为，；点F关于BC，CD的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（　　）
A．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形
C．菱形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；轴对称的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接AE，AO，如图：
∵∠ABD=70°，四边形ABCD是矩形， O为对角线BD的中点，
∴AO=BO，
∴∠AOB=40°，
∵当点E从点O出发， 向终点B（包括端点）运动，
则∠AEB的度数由40°增加到90°（即AE⊥BD），再增加（即∠AEB是钝角）直至点B与点E重合，
当∠AEB=40°时，即E，O，F共点，连接AC，如图：
则DO=BO=AO=CO，
∵点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，
∴DE1=DF2=AE1=AE2=BE2=BF1=CF1=CF2，
即E1E2=E1F2=E2F1=F1F2，
∴四边形E1E2F1F2是菱形；
当40°＜∠AEB＜90°时，如图：
∵点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．
∴OF=OE，
故BE=DF，DE=BF，
∵点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，
∴DE1=DE=BE=BF1，DF=DF2=BE2=BE，
故E1F2=E2F1，F1F2=E1E2，
∴四边形E1E2F1F2是平行四边形；
当∠AEB=90°时，即AE⊥BD，如图：
则∠AE2B=90°，
故四边形E1E2F1F2是矩形；
当90°＜∠AEB＜180°时，如图：
则∠AE2B＞90°，
此时四边形E1E2F1F2是平行四边形；
当∠AEB=180°时，即点F与点D重合，点E与点B重合时，如图：
∵点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，
∴AE1=AB，CD=CF1，
∴E1B=F1D，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴四边形E1E2F1F2是平行四边形；
∴在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形，
故答案为：D.
【分析】连接AE，AO，根据矩形的对角线相等且互相平分得出AO=BO，根据等边对等角和三角形内角和是180°求出∠AOB=40°，结合题意可得∠AEB的度数由40°增加到90°（即AE⊥BD），再增大（即∠AEB是钝角）直至点B与点E重合，根据∠AEB=40°，40°＜∠AEB＜90°，∠AEB=90°，90°＜∠AEB＜180°，∠AEB=180°，分为五种情况，分别证明四边形E1E2F1F2是菱形、平行四边形、矩形、平行四边形、平行四边形，即可求解.
11．（2024九上·广州开学考）若式子有意义，则x的取值范围为　 　．
【答案】x≥0且x≠2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得x≥0，x-2≠0
即x≠2
故x的取值范围是x≥0，且x≠2
故答案是：x≥0且x≠2．
【分析】根据二次根式中被开方式大于等于0得出x≥0，根据分式中分母不为0得出x-2≠0，即可求解.
12．（2024九上·广州开学考）某体校篮球班21名学生的身高如表：则该篮球班21名学生身高的中位数是　 　．
身高（） 180 185 187 190 193
人数（名） 4 6 5 4 2
【答案】
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：按从小到大的顺序排列，第11个数是，
故中位数是．
故答案为：．
【分析】根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）即可求解.
13．（2024九上·广州开学考）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：依题意，有：且，
解得，
故答案为：1．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出判别式，结合二次项系数不为零即可求解.
14．（2024九上·广州开学考）如图，一次函数与的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：函数的图象过点，
，
解得，
由图象得：不等式的解集是：，
故答案为：．
【分析】根据题意可知所求解集即为：直线不在下方部分所有的点的横坐标所构成的集合，然后利用确定点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线不在直线的上方，于是可得到不等式的解集．
15．（2024九上·广州开学考）甲、乙两船沿直线航道匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道中途的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为，则与t的函数关系如图．下列说法：①乙船的速度是40千米/时；②甲船航行1小时到达B处；③甲、乙两船航行0.6小时相遇；④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是．其中正确的说法的是　 　．
【答案】①②④
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解： 乙船从B到C共用时3小时，走过路程为120千米，
因此乙船的速度是40千米/时，①正确；
乙船经过0.6小时走过0.6×40=24千米，甲船0.6小时走过60-24=36千米，所以甲船的速度是36÷0.6=60千米/时，
开始甲船距B点60千米，因此经过1小时到达B点，②正确；
航行0.6小时后，甲乙距B点都为24千米，但是乙船在B点前，甲船在B点后，二者相距48千米，因此③错误；
开始后，甲乙两船之间的距离越来越小，甲船经过1小时到达B点，此时乙离B地40千米，
航行2.5小时后，甲离B地：60×1.5=90千米，乙离B地：40×2.5=100千米，此时两船相距10千米，当2.5＜t≤3时，甲乙的距离小于10，因此④正确；
综上所述，正确的说法有①②④，
故答案为：①②④．
【分析】先从乙走的全程及时间得出乙的速度，结合t=0.6时，乙走的路程，进而得出甲走的路程，求出甲的速度；根据题中对d与时间t的关系可判断甲乙两船航行0.6小时是否相遇；由前面求得的甲乙速度可判断甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段.
16．（2024九上·广州开学考）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为． 若正方形的边长为2，则　 　．
【答案】12
【知识点】“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解： 设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，
由题意可知：，，，∴，
，
∵正方形EFGH的边长为2，
∴，
∴
故答案为：12．
【分析】设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，得出，，，结合正方形EFGH的边长为2，进行计算即可.
17．（2024九上·广州开学考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）结合平方差公式和二次根式的性质进行计算即可.
（1）解：
（2）
18．（2024九上·广州开学考）解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
，；
（2）解：
，；
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据配方法解一元二次方程即可求解.
（1）解：
，；
（2）
，；
19．（2024九上·广州开学考）如图所示，点E在四边形的边上，连接，已知，求证：四边形为平行四边形．
【答案】证明：在和中，
，
∴；
∴，
∴，
∵，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应角相等得出，根据内错角相等，两直线平行得出，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明.
20．（2024九上·广州开学考）《教育部等五部门关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见》要求：保障学生每天校内、校外各1个小时体育活动时间．某学校分别随机调查了男、女学生各100名，统计他们上周平均每天校外体育锻炼的时间，锻炼时间记为分钟，将所得数据分为5个组别（组：；组：；组：；组：；组：），将数据进行分析，得到如下统计：
①100名男生组学生上周平均每天校外体育锻炼时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：
②100名男生上周平均每天校外体育锻炼时间条形统计图如下图；
③100名女生上周平均每天校外体育锻炼时间分布扇形统计图如下图；
④调查的男女同学上周平均每天校外体育锻炼时间的平均数中位数众数如下表．
性别 平均数 中位数 众数
女生 81.3 79.5 82
男生 81.3 83
请你根据以上信息回答下列问题：
（1）根据以上信息填空：______，______，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据分析，你认为男生和女生上周校外锻炼情况那个更好，请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校有男同学800名，女同学1000名，请估计该校上周平均每天校外体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人．
【答案】（1）解：由题意可得：B组所占百分比为，∴，
∴，
，
B组的人数为：.
补全条形图如下：
（2）解：男生上周锻炼情况更好，
理由：男生上周锻炼情况更好，理由：男生上周平均每天体育锻炼时间的中位数、众数均大于女生.
（3）解：（人），
故该校上周平均每天体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有924人.
【知识点】条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先根据B组女生在扇形统计图中的圆心角，求出其所占百分比，根据百分比之和为1求出A组女生所占百分比，即可补全条形统计图，根据中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数可得b的值；
（2）在平均数相同的情况下，比较中位数和众数即可得出结论；
（3）求出男生上周平均每天校外体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生人数和女生上周平均每天校外体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生人数的和即可.
（1）解：由题意可得：B组所占百分比为，
∴，
∴，
，
B组的人数为：
补全条形图如下：
（2）男生上周锻炼情况更好，理由：男生上周平均每天体育锻炼时间的中位数、众数均大于女生；
（3）（人）
答：该校上周平均每天体育锻炼时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有924人．
21．（2024九上·广州开学考）永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元．
（1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于45000元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设购买A种树每棵需x元，购买B种树每棵需y元，
由题意可知：，
解方程组得，
答：购买A种树每棵需400元，购买B种树每棵需500元．
（2）解：设购进A种树a棵，
由题意可知：，
解不等式得：，
又因为购进A种树不能少于48棵，即：，
∴有三种购买方案，分别是：
方案1：购买A种树48棵，购买B种树52棵；
方案2：购买A种树49棵，购买B种树51棵；
方案1：购买A种树50棵，购买B种树50棵．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买A种树每棵需x元，购买B种树每棵需y元，根据单价×数量=总价及“ 购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元 ”列出方程组，求解即可；
（2）设购进A种树a棵，则购进B种树（100-a）棵，根据单价×数量=总价及“ 购买这两种树的资金不低于45000元 与“与” 购进A种树不能少于48棵，”列出不等式组，求解得出a的取值范围，进而求出解集范围内的整数解即可.
（1）解：设购买A种树每棵需x元，购买B种树每棵需y元，
由题意可知：，
解方程组得，
答：购买A种树每棵需400元，购买B种树每棵需500元．
（2）解：设购进A种树a棵，由题意可知：
，解不等式得：，
又因为购进A种树不能少于48棵，即：，
∴有三种购买方案，分别是：
方案1：购买A种树48棵，购买B种树52棵；
方案2：购买A种树49棵，购买B种树51棵；
方案1：购买A种树50棵，购买B种树50棵．
22．（2024九上·广州开学考）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点．
（1）求证：DE=EF；
（2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由；
（3）若AB=3，AE=，求BD的长．
【答案】（1）证明：如图1中，
，
，，
，
，
，，
．
（2）解：结论：．
理由：如图2中，在上取一点，使得，连接．
．，．
，
，，
，
，
，
，
，
．
（3）如图3中，过点作交于点．
，，
，
设，则，，
，．
，
在中，，
解得或（舍弃）
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
23．（2024九上·广州开学考）如图，已知，点 D 在 y 轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C 处．
（1）求直线的表达式；
（2）求 C、D 的坐标；
（3）在直线上是否存在一点 P，使得 若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由．
【答案】（1）解：设一次函数表达式：，
将点的坐标代入得：
，
解得：，
故直线的表达式为：
（2）解：，
，
由题意得： ，，
，
故点，
设点D的坐标为：，
，
解得：，
故点
（3）解：存在，
理由如下：
设直线的表达式为，
由点、的坐标代入得：
，
解得：，
直线的表达式为：，
，，
，
，
，
点P在直线上，
设，
，
解得：或5，
即点P的坐标为：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式即可求解；
（2）先根据勾股定理求出AB=5，结合折叠得出，设点D的坐标为，根据，即可得到m的值；
（3）根据待定系数法求出直线AD的鸡西市，设，根据，即可求解．
（1）解：设一次函数表达式：，
将点的坐标代入得：
，
解得：，
故直线的表达式为：；
（2）解：，
，
由题意得： ，，
，
故点，
设点D的坐标为：，
，
解得：，
故点；
（3）解：存在，
理由如下：
设直线的表达式为，
由点、的坐标代入得：
，
解得：，
直线的表达式为：，
，，
，
，
，
点P在直线上，
设，
，
解得：或5，
即点P的坐标为：或．
24．（2024九上·广州开学考）已知，如图，一次函数与x轴、y轴分别交于点A和点B，A点坐标为（3，0），∠OAB=45°．
（1）求一次函数的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上一点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPC，连接CA并延长交ｙ轴于点Q．
①若点P的坐标为（4，0），求点C的坐标，并求出直线AC的函数表达式；
②当P点在x轴正半轴运动时，Q点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请求出它的变化范围．
【答案】解：（1）∵∠AOB=90°，∠OAB=45°，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴OA=OB，
∵A(3，0)，
∴B(0，3)，
∴，解得，
∴；
（2）①过点C作x轴的垂线，垂足为D，
∵∠BPO+∠CPD=∠PCD+∠CPD=90°，
∴∠BPO=∠PCD，
在△BOP和 △PDC 中，
，
∴ △BOP≌ △PDC（AAS）．
∴PD=BO=3，CD=PO，
∵P(4，0)，
∴CD="PO=4，" 则OD=3+4=7，
∴ 点C(7，4)，
设直线AC的函数关系式为，
则，解得，
∴直线AC的函数关系式为；
②点Q的位置不发生变化．
理由：由①知 △BOP≌ △PDC，
当P点在x轴正半轴运动时，仍有△BOP≌ △PDC，
∴PD=BO，CD=PO，
∴PO+PD=CD+OB，
即OA+AD=OB+CD，
又∵OA=OB，
∴AD=CD，
∴∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠QAO=45°，
∴OQ=OA=3，
即点Q的坐标为（0，-3）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
25．（2024九上·广州开学考）如图①，正方形中，点O是对角线的中点，点P是线段上（不与A，O重合）的一个动点，过点P作且交边于点E．
（1）尺规作图：在图①中，过点P作的垂线，垂足为M（不要求写作法，保留作图痕迹）并求证：．
（2）如图②，若正方形的边长为6，过E作于点F，在P点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由．
（3）如图③，直接写出线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）证明：如图， 点M即为所作， 设交于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）解：在点运动的过程中，的长度不发生变化，
理由：如图， 连接，
∵点是正方形对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
∴为定值是；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；四边形-动点问题