陕西省咸阳市乾县第二中学2024-2025高二上学期第二次阶段性检测数学试卷(含答案)

乾县第二中学2024-2025学年高二上学期第二次阶段性检测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知空间两点,,下列选项中的与共线的是( )
A. B. C. D.
2．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
3．如果且,那么直线不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4．已知,则( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5．已知空间中三点,,,平面的一个法向量为,则以,为邻边的平行四边形的面积为( )
A. B. C.3 D.
6．若函数在区间上是减函数,且,,,则( )
A. B. C.1 D.2
7．在正方体中,直线与平面所成的角为( ).
A. B. C. D.
8．已知定义域为R的函数,满足,且,,则以下选项错误的是( )
A. B.图象关于对称
C.图象关于对称 D.为偶函数
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.直线与直线之间的距离为
B.直线在两坐标轴上的截距之和为6
C.将直线绕原点逆时针旋转,所得到的直线为
D.若直线l向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度后,回到原来的位置,则直线l的斜率为
10．如图所示是一个以为直径，点S为圆心的半圆，其半径为4，F为线段的中点，其中C、D、E是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成上一个以S为顶点的圆锥的侧面，则关于此圆锥，下列说法不正确的是( )
A.为正三角形 B.平面
C.平面 D.点D到平面的距离为
11．设函数,则( )
A.是的极小值点
B.
C.不等式的解集为
D.当时,
三、填空题
12．已知直线l过点,且为其一个方向向量,则点到直线l的距离为_________.
13．已知二次函数从1到的平均变化率为,请写出满足条件的一个二次函数的表达式___________.
14．在校长为4的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，M，N分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为_________.
四、解答题
15．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.
（1）求的长；
（2）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
16．某自助餐厅为了鼓励消费,设置了一个抽奖箱,箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张,每张奖券的形状都相同,每位顾客可以从中任取2张奖券,最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算.
(1)求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率;
(2)若自助餐的原价为100元/位,记一位顾客最终结算时的价格为X,求X的分布列及数学期望.
17．在如图所示的平行六面体中,,,,,.
（1）求的长度;
（2）求二面角的大小;
（3）求平行六面体的体积.
18．如图,三棱柱中,侧面底面,,,,点D是棱的中点.
(1)证明：;
(2)求面与面夹角的正切值.
19．如果n项有穷数列满足,,…,,即,则称有穷数列为“对称数列”.
(1)设数列是项数为7的“对称数列”,其中,,,成等差数列,且,,依次写出数列的每一项;
(2)设数列是项数为(且)的“对称数列”,且满足,记为数列的前n项和.
①若,,…,构成单调递增数列,且.当k为何值时,取得最大值
②若,且,求k的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：由点,,
所以,
对于A,,不满足,所以与不共线;
对于B,,不满足,所以与不共线;
对于C,,不满足,所以与不共线;
对于D,,满足,所以与共线.
故选：D.
2．答案：B
解析：由题意可得,,则.
故选：B.
3．答案：C
解析：由且,可得A,B同号,B,C异号,所以A,C也是异号;
令,得;令,得;
所以直线不经过第三象限.
故选：C.
4．答案：A
解析：因为,
所以,
所以,
则,即,则.
故选：A.
5．答案：D
解析：平面的一个法向量为,则,解得,故.,,则,
则.
则平行四边形面积为.
故选：D.
6．答案：A
解析：由题知,
因为,,
所以,
又因为在区间上是减函数,
所以,
两式相减,得,
因为,所以.
故选：A.
7．答案：B
解析：如图所示,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,
则,,,,
所以,,,
设平面的一个法向量为,
直线与平面所成的角为,
则,令,,即,
所以,
所以.
故选：B.
8．答案：B
解析：对于A,令,,则,所以,故A正确;
对于B,令,则,即,
解得：或,因为,所以,
令,,所以,
所以图象不关于对称,故B错误;
对于C,令,则有
即,故图象关于对称,故C正确.
对于D,令,则有
即,即,
即,因为函数的定义域为R,
所以为偶函数,故D正确.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：直线与直线之间的距离,故A正确；
对0,令,得,令得,所以直线在两坐标轴上的截距之和为2,故B错误；
的倾斜角为,绕原点逆时针旋转后,所得直线的倾斜角为,斜率为,故C正确；
设直线l的方程为,向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度后得,
即,与是同一条直线,
所以,所以,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：ABD
解析：选项A，该半圆围成的圆锥，如图所示，
设四棱底面半径为r，则，，，F为AS的中点，O为AD的中点，，且，，为等腰直角三角形，选项A错误；
选项B，若平面，则，直角中，，，选项B错误；
选项C，，平面，平面，选项C正确；
选项D，，，平面，平面平面，D到直线FO的距离即为D到平面的距离，又，D到直线FO的距离等于O到直线SD的距离，为，选项D错误，故选ABD.
11．答案：BD
解析：对于选项A：因为的定义域为R,
且,
当时,;当或时,;
可知在,上单调递增,在上单调递减,
所以是函数的极大值点,故A错误;
对于选项B：因为,故B正确;
对于选项C：对于不等式,
因为,即为不等式的解,但,
所以不等式的解集不为,故C错误;
对于选项D：因为,则,
且,可得,
因为函数在上单调递增,所以,故D正确;
故选：BD.
12．答案：
解析：因为点,点,
所以,
所以点到直线l的距离为：
,
故答案为：.
13．答案：（答案不唯一）
解析：设,
则,
由题意知,解之得,
显然c的取值不改变结果,不妨取,则.
故答案为：.
14．答案：
解析：以D为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.所以，，设，，其中，，则，.又，所以，所以，又，，所以，所以，所以，此时，即线段的长度的最小值为.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由题意可知，直线、、两两垂直，以B原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为，所以，.
所以.
（2），当时，最小.
此时，M，N为、的中点，则，，取的中点，连接，，则，因为，，所以，.
所以是平面与平面的夹角或其补角，
因为，.
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值是.
16．答案：(1)
(2)答案见答案
解析：(1)从6张奖券中,任取2张奖券共有种选法,抽到的两张奖券相同的有3种选法,
所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为.
(2)的所有可能取值为80,85,90,
,
,
,
的分布列为：
X 80 85 90
P
.
17．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）根据图形可知:,
则
（2）作,,则等于二面角的一个平面角,
因为,,,,
则,,,
易知
,
所以,所以,
即二面角的大小为;
（3）由（2）知平面,而四边形的面积,
则平行六面体的体积.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为三棱柱中,
故四边形为菱形,又因,点D是棱的中点,
故,
又侧面底面,侧面底面,侧面,
所以底面,又底面,故.
(2)因, ,故为直角三角形,
故,
如图分别以,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,
由(1)可知,,,故,,
则,
由题意平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为,
则即,令,则,,
则,
设面与面夹角为,则,
故,
面与面夹角的正切值为.
19．答案：(1)1,3,5,7,5,3,1
(2)①1012;②2025
解析：(1)因为数列是项数为7的“对称数列”,所以,
又因为,,,成等差数列,其公差,…
所以数列的7项依次为1,3,5,7,5,3,1;
(2)①由,,…,是单调递增数列,数列是项数为的“对称数列”且满足,
可知,,…,构成公差为2的等差数列,,,…,构成公差为-2的等差数列,
故
,
所以当时,取得最大值;
②因为即,
所以即,
于是,
因为数列是“对称数列”,
所以
,
因为,故,
解得或,所以,
当,,…,构成公差为的等差数列时,满足,
且,此时,所以k的最小值为2025.