2025年高考数学一轮复习（新高考专用）单元检测卷(四)　三角函数、解三角形（含解析）

盖州分校 学习要注意到细处，不是粗枝大叶的，这样可以逐步学习、摸索，找到客观规律。
单元检测卷(四)　三角函数、解三角形
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2023·漳州模拟]已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，α，β的终边关于y轴对称，α的终边过点(3，4)，则sin＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
1.B　[∵α，β的终边关于y轴对称，α的终边过点(3，4)，∴β的终边过点(－3，4)，∴cos β＝－，则sin(＋β)＝cos β＝－.]
2.[2024·德州模拟]在△ABC中，“A＞”是“sin A＞”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.B　[在△ABC中，A∈(0，π)，由sin A＞，可得＜A＜，所以“A＞”是“sin A＞”的必要不充分条件.故选B.]
3.[2024·武汉模拟]已知sin(α＋)＝，则sin(2α＋)＝(　　)
A. B.－ C. D.－
3.D　[∵sin(α＋)＝sin[－(－α)]＝cos(－α)＝，
∴sin(2α＋)＝sin[－(－2α)]＝cos(－2α)
＝cos 2(－α)＝2cos2(－α)－1＝2×－1＝－.故选D.]
4.[2023·济南质检]在平面直角坐标系xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点A(1，0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细绳的粗细忽略不计，当φ＝2 rad时，点M与点O之间的距离为(　　)
A. B. C.2 D.
4.D　[展开过程中：BM＝＝φ·R＝2，BO＝1，MO＝＝，故选D.]
5.[2024·驻马店模拟]如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道.为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度MC＝100 m，NB＝50 m，在BC同一水平面上选一点A，在点A处测得M点的仰角为60°，N点的仰角为30°，以及∠MAN＝45°，则M，N间的距离为(　　)
A.100 m B.120 m C.100 m D.200 m
5.A　[由题意，
可得∠MAC＝60°，
∠NAB＝30°，
MC＝100，
NB＝50，
∠MAN＝45°，
且∠MCA＝∠NBA＝90°，
在直角△ACM中，可得
AM＝＝200，
在直角△ABN中，可得
AN＝＝100，
在△AMN中，由余弦定理得
MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos ∠MAN＝20 000，所以MN＝100 m.
故选A.]
6.[2024·日照质检]函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)是偶函数，则tan φ＝(　　)
A.－ B. C.－ D.
6.C　[函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度，得g(x)＝sin(2x＋＋φ)的图象，又函数g(x)是偶函数，则有＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z，所以tan φ＝tan(kπ－)＝－.故选C.]
7.[2024·南京六校联考]若α∈(0，π)，tan 2α＝，则sin(α＋)＝(　　)
A. B. C. D.
7.D　[因为tan 2α＝，
所以＝，
即＝.
因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，
则2cos α(cos α＋2)＝2cos2α－1，
解得cos α＝－，
所以sin α＝，
则sin(α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ＝×(－)＋(－)×＝.故选D.]
8.[2024·宜昌模拟]将函数f(x)＝sin ωx(cos ωx－sin ωx)＋1(ω＞0)的图象上所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标保持不变，得y＝g(x)的图象，若g(x)在[，]上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A.(0，2] B.[，] C.[，] D.(，2]
8.B　[由f(x)＝sin ωx(cos ωx－sin ωx)＋1
＝sin ωxcos ωx－sin2ωx＋1
＝sin 2ωx－＋1
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋
＝sin(2ωx＋)＋，
所以g(x)＝sin(ωx＋)＋.
当x∈[，]时，
ωx＋∈[ω＋，ω＋].
又g(x)在[，]上单调递减，
所以(k∈Z)，
解得(k∈Z)，
当k＝0时，满足题意，即≤ω≤，
故选B.]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·广州模拟]如图，弹簧下端悬挂着的小球做上、下运动(忽略小球的大小)，它在t(单位：s)时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)可以由h＝2sin(t＋)确定，则下列说法正确的是(　　)
A.小球运动的最高点与最低点的距离为2 cm B.小球经过4 s往复运动一次
C.t∈(3，5)时小球是自下往上运动 D.当t＝6.5时，小球到达最低点
9.BD　[由h＝2sin(t＋)可知，小球运动的最高点与最低点的距离为4 cm，A错误；
最小正周期T＝＝4，B正确；
t∈(3，5)时，t＋∈(，)，小球先向上运动，再向下运动，C错误；
当t＝6.5时，t＋＝，h＝2sin(t＋)＝2sin ＝－2，小球到达最低点，D正确.选BD.]
10.[2024·衡阳模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7，则下列结论正确的是(　　)
A.sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4
B.△ABC为钝角三角形
C.若a＝6，则△ABC的面积是6
D.若△ABC外接圆半径为R，内切圆半径为r，则＝
10.BD　[设a＋b＝5t，b＋c＝6t，c＋a＝7t，
则a＝3t，b＝2t，c＝4t.
对于A，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，故A不正确；
对于B，c最大，所以C最大，
又cos C＝＝－＜0，
所以C为钝角，故B正确；
对于C，若a＝6，则t＝2，b＝4，c＝8，
所以cos C＝－ sin C＝，
所以△ABC的面积是S＝absin C＝×6×4×＝3，故C不正确；
对于D，由正弦定理得外接圆半径
R＝＝＝t，
△ABC的周长l＝9t，S＝absin C＝t2，所以内切圆半径为r＝＝t，所以＝，故D正确. 故选BD.]
11.[2024·广东六校联考]已知函数f(x)＝sin|x|－|cos x|，下列关于此函数的论述正确的是(　　)
A.π是f(x)的一个周期
B.函数f(x)的值域为[－，1]
C.函数f(x)在[，]上单调递减
D.函数f(x)在[－2π，2π]内有4个零点
11.BD　[f＝0，f＝sin－＝－－＝－，
则f≠f，所以π不是f(x)的一个周期，故A错误.
函数f(x)的定义域为R，并且f(－x)＝
f(x)，所以函数f(x)为偶函数.
因为x∈[0，＋∞)时，f(x)＝sin x－|cos x|，
所以f(x)＝f(x＋2π)，f(x)为周期函数，故仅需研究函数f(x)在区间[0，2π]上的值域及零点个数即可.
当x∈∪时，
f(x)＝sin x－cos x＝sin；
当x∈时，f(x)＝sin x＋cos x＝sin.
当x∈∪时，
令t＝x－，
则t∈∪，
y＝sin t，t∈∪，
可得y∈[－，1]，有且仅有一个零点；
当x∈时，令t′＝x＋，
则t′∈，y＝sin t′，
t′∈，可得y∈[－，1)，
有且仅有一个零点.
所以函数f(x)的值域为[－，1]，且在
[－2π，2π]内有4个零点.故选项B，D正确.
对于选项C，当x∈时，
f(x)＝sin x＋cos x＝sin，此时x＋∈，f(x)不单调，故C错误.故选BD.]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·苏州模拟]已知θ是第三象限角，P(x，－2)是θ终边上的一点，若cos θ＝x，则＝________.
12.　[因为P(x，－2)是θ终边上的一点，
所以|OP|＝，
则cos θ＝＝x，
解得x＝±1，
又因为θ是第三象限角，所以cos θ＜0即x＜0，从而x＝－1，
所以cos θ＝－，sin θ＝－.
从而＝
＝＝.]
13.[2024·海淀区模拟]若点P(cos θ，sin θ)与点Q(cos (θ＋)，sin(θ＋))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.
13.(答案不唯一)　[因为点P(cos θ，sin θ)与点Q(cos (θ＋)，sin(θ＋))关于y轴对称，则
由cos(θ＋)＝－cos θ，
可得cos θcos －sin θsin ＝－cos θ，
则cos θ＝sin θ，所以tan θ＝；
由sin(θ＋)＝sin θ，可得
sin θcos ＋cos θsin ＝sin θ，
则cos θ＝sin θ，所以tan θ＝，
因此θ＝＋kπ，k∈Z，取θ＝.(答案不唯一)]
14.[2024·蚌埠模拟]函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的部分图象如图所示，若f(x1)＋f(x2)＝0，且f(x1)＝，则x1＋x2＝__________，cos(x2－x1)＝________.
14.　　[由题设f(0)＝sin φ＝，
又0＜φ＜，则φ＝.
由ω＞0且－是y轴左侧第一个零点，
得f(－)＝sin(－)＝0，
则－＝0，即ω＝1，
则f(x)＝sin(x＋).
由图知，x1，x2关于函数图象中y轴右侧第一个零点对称，即关于x＝对称，
所以x1＋x2＝，
由f(x1)＝sin(x1＋)＝，
且x1＋∈(，π)，
所以sin(x1－)＝sin[(x1＋)－]＝－cos(x1＋)＝，
而x2＝－x1，
则cos(x2－x1)＝cos(－2x1)
＝－cos (－2x1)＝－cos(2x1－)
＝2sin 2(x1－)－1＝.]
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·青岛模拟]已知函数f(x)＝2cos2ωx＋sin 2ωx(ω＞0)，x1，x2是f(x)的两个相邻极值点，且满足|x1－x2|＝π.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；
(2)若f(α)＝，求sin 2α.
15.解　(1)由题意得f(x)＝2cos2ωx＋sin 2ωx
＝1＋cos 2ωx＋sin 2ωx
＝sin(2ωx＋)＋1.
由|x1－x2|＝π，
可得周期T＝2π，所以2ω＝＝1，
所以f(x)＝sin(x＋)＋1.
令x＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)图象的对称轴方程为
x＝kπ＋(k∈Z).
(2)由f(α)＝得sin(α＋)＝－，
所以sin α＋cos α＝－.
所以(sin α＋cos α)2＝，
即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－.
16.(15分)[2024·济宁模拟]已知函数f(x)＝cos4x－sin4x＋sin(2x－).
(1)求函数f(x)在上的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移φ(0＜φ＜)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于点(，0)成中心对称，在上的值域为，求α的取值范围.
16.解　(1)f(x)＝cos4x－sin4x＋sin(2x－)
＝cos 2x＋sin 2x＝sin (2x＋).
因为x∈，
所以2x＋∈，
所以当2x＋∈，
即x∈时，函数f(x)单调递增，
所以函数f(x)在[0，]上的单调递增区间为.
(2)由题意可知，g(x)＝sin(2x＋2φ＋)，
因为函数g(x)的图象关于点(，0)成中心对称，
所以2×＋2φ＋＝kπ，k∈Z，
解得φ＝－＋π，k∈Z.
因为0＜φ＜，所以k＝1，φ＝，
所以g(x)＝sin(2x＋).
当x∈时，
2x＋∈.
因为g(x)在上的值域为，
所以≤2α＋≤，
解得≤α≤，
所以α的取值范围为.
17.(15分)[2024·南京模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＋acos B＝c，从条件①②中找出能使得△ABC唯一确定的条件，并求边BC上的高h.
条件①a＝2，sin C＝；条件②a＝，b＝.
17.解　因为b＋acos B＝c，
故由正弦定理得
sin B＋sin Acos B＝sin C，又sin C＝
sin(π－A－B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos Asin B，
又sin B≠0，
所以cos A＝，又A∈(0，π)，
所以A＝，则sin A＝.
选①，因为sin C＝，
所以C＝或，则有两个解，不符合题意；
选②，因为＝，
所以sin B＝＝＜＝sin A，
又B∈(0，π)，故△ABC是唯一的，
cos B＝，
所以sin C＝sin(π－A－B)
＝sin＝，
所以h＝bsin C＝.
18.(17分) [2024·威海模拟]已知偶函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(M＞0，ω＞0，|φ|≤)的部分图象如图所示，A，B，C为该函数图象与x轴的交点，且D为图象的一个最高点.
(1)证明：2ADsin ∠ADB＝CDsin ∠BDC；
(2)若AD＝2，CD＝2，∠BDC＝，求f(x)的解析式.
18.(1)证明　在△ABD中，由正弦定理可得
＝，
在△CBD中，由正弦定理可得
＝，
又∠ABD＋∠DBC＝π，
所以sin ∠ABD＝sin ∠DBC，
所以·＝·＝，
又BC＝2AB，
所以2ADsin ∠ADB＝CDsin ∠BDC.
(2)解　因为AD＝2，CD＝2，∠BDC＝，
且2ADsin ∠ADB＝CDsin ∠BDC，
所以sin ∠ADB＝＝，
所以cos ∠ADC＝cos (∠ADB＋)
＝－sin ∠ADB＝－，
在△ACD中，由余弦定理可得
AC＝＝6，
又AC＝AB＋BC，BC＝2AB，所以BC＝4，
所以周期T＝BC＝4＝，解得ω＝.
在Rt△BCD中，BD＝＝2，
又sin ∠CBD＝，则∠CBD＝，
所以yD＝BDsin ＝，则M＝.
由图象及函数f(x)为偶函数且|φ|≤，
所以φ＝－，
所以f(x)＝sin(x－)
＝－cos x.
19.(17分)[2024·合肥模拟]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋2c2－2a2＝0.
(1)若tan C＝，求A的大小；
(2)当A－C取得最大值时，试判断△ABC的形状.
19.解　(1)∵b2＋2c2－2a2＝0，
即b2＝2(b2＋c2－a2)，
∴cos A＝＝＝，
∴4sin Ccos A＝sin B，
∴4sin Ccos A＝sin(A＋C)，
∴4sin Ccos A＝sin Acos C＋cos Asin C，
即tan A＝3tan C.
当tan C＝时，tan A＝3tan C＝1，
又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)由(1)知，tan A＝3tan C，
故0＜C＜A＜，tan C＞0，
tan(A－C)＝＝
＝≤＝，
当且仅当＝3tan C，
即tan C＝，C＝时等号成立，
故tan(A－C)的最大值为.
又0＜A－C＜，
∴A－C的最大值为，此时A＝，
所以B＝，
所以△ABC为直角三角形.
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单元检测卷(四)　三角函数、解三角形
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2023·漳州模拟]已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，α，β的终边关于y轴对称，α的终边过点(3，4)，则sin＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
2.[2024·德州模拟]在△ABC中，“A＞”是“sin A＞”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.[2024·武汉模拟]已知sin(α＋)＝，则sin(2α＋)＝(　　)
A. B.－ C. D.－
4.[2023·济南质检]在平面直角坐标系xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点A(1，0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细绳的粗细忽略不计，当φ＝2 rad时，点M与点O之间的距离为(　　)
A. B. C.2 D.
5.[2024·驻马店模拟]如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道.为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度MC＝100 m，NB＝50 m，在BC同一水平面上选一点A，在点A处测得M点的仰角为60°，N点的仰角为30°，以及∠MAN＝45°，则M，N间的距离为(　　)
A.100 m B.120 m C.100 m D.200 m
6.[2024·日照质检]函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)是偶函数，则tan φ＝(　　)
A.－ B. C.－ D.
7.[2024·南京六校联考]若α∈(0，π)，tan 2α＝，则sin(α＋)＝(　　)
A. B. C. D.
8.[2024·宜昌模拟]将函数f(x)＝sin ωx(cos ωx－sin ωx)＋1(ω＞0)的图象上所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标保持不变，得y＝g(x)的图象，若g(x)在[，]上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A.(0，2] B.[，] C.[，] D.(，2]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·广州模拟]如图，弹簧下端悬挂着的小球做上、下运动(忽略小球的大小)，它在t(单位：s)时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)可以由h＝2sin(t＋)确定，则下列说法正确的是(　　)
A.小球运动的最高点与最低点的距离为2 cm B.小球经过4 s往复运动一次
C.t∈(3，5)时小球是自下往上运动 D.当t＝6.5时，小球到达最低点
10.[2024·衡阳模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7，则下列结论正确的是(　　)
A.sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4
B.△ABC为钝角三角形
C.若a＝6，则△ABC的面积是6
D.若△ABC外接圆半径为R，内切圆半径为r，则＝
11.[2024·广东六校联考]已知函数f(x)＝sin|x|－|cos x|，下列关于此函数的论述正确的是(　　)
A.π是f(x)的一个周期
B.函数f(x)的值域为[－，1]
C.函数f(x)在[，]上单调递减
D.函数f(x)在[－2π，2π]内有4个零点
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·苏州模拟]已知θ是第三象限角，P(x，－2)是θ终边上的一点，若cos θ＝x，则＝________.
13.[2024·海淀区模拟]若点P(cos θ，sin θ)与点Q(cos (θ＋)，sin(θ＋))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.
14.[2024·蚌埠模拟]函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的部分图象如图所示，若f(x1)＋f(x2)＝0，且f(x1)＝，则x1＋x2＝__________，cos(x2－x1)＝________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·青岛模拟]已知函数f(x)＝2cos2ωx＋sin 2ωx(ω＞0)，x1，x2是f(x)的两个相邻极值点，且满足|x1－x2|＝π.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；
(2)若f(α)＝，求sin 2α.
16.(15分)[2024·济宁模拟]已知函数f(x)＝cos4x－sin4x＋sin(2x－).
(1)求函数f(x)在上的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移φ(0＜φ＜)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于点(，0)成中心对称，在上的值域为，求α的取值范围.
17.(15分)[2024·南京模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＋acos B＝c，从条件①②中找出能使得△ABC唯一确定的条件，并求边BC上的高h.
条件①a＝2，sin C＝；条件②a＝，b＝.
18.(17分) [2024·威海模拟]已知偶函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(M＞0，ω＞0，|φ|≤)的部分图象如图所示，A，B，C为该函数图象与x轴的交点，且D为图象的一个最高点.
(1)证明：2ADsin ∠ADB＝CDsin ∠BDC；
(2)若AD＝2，CD＝2，∠BDC＝，求f(x)的解析式.
19.(17分)[2024·合肥模拟]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋2c2－2a2＝0.
(1)若tan C＝，求A的大小；
(2)当A－C取得最大值时，试判断△ABC的形状.
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