2025年高考数学一轮复习（新高考专用）单元检测卷(五)　平面向量、复数（含解析）

盖州分校 学习要注意到细处，不是粗枝大叶的，这样可以逐步学习、摸索，找到客观规律。
单元检测卷(五)　平面向量、复数
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·浙江名校联考]已知i为虚数单位，则在复平面上对应的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
1.A　[＝＝，其在复平面上对应的点的坐标为(，)，位于第一象限.故选A.]
2.[2024·嘉兴模拟]在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且＝2，＝3，记＝a，＝b，则＝(　　)
A.－a＋b B.a＋b C.a－b D.－a＋b
2.A　[因为＝2，＝3，
所以＝－＝－＝
－＋＝－a＋b.故选A.]
3.[2024·广东六校联考]设复数z＝＋i，其中i是虚数单位，是z的共轭复数，下列结论中错误的是(　　)
A.z＝1
B.z2＝
C.z是方程x2－x＋1＝0的一个根
D.满足zn∈R的最小正整数n为3
3.B　[对于A，z·＝(＋i)(－i)＝1，故A正确；
对于B，z2＝(＋i)2＝－＋i，
＝－i，z2＝－，故B错误；
对于C，(＋i)2－(＋i)＋1＝
－＋i－－i＋1＝0，则z是方程x2－x＋1＝0的一个根，故C正确；
对于D，z＝＋i，z2＝－＋i，z3＝z2·z＝－(－i)(＋i)＝－1，故D正确.故选B.]
4.[2024·安徽名校联考]已知向量a＝(1，2)，b＝(2，x)，若a⊥b，则|2a＋b|＝(　　)
A.3 B.4 C.5 D.4
4.C　[因为a⊥b，所以a·b＝1×2＋2x＝0，
所以x＝－1，则2a＋b＝2(1，2)＋(2，－1)＝(4，3)，所以|2a＋b|＝＝5.故选C.]
5.[2024·惠州质检]已知向量a＝(2，2)，向量e＝(，)，则向量a在向量e上的投影向量为(　　)
A.(，3) B.(－，1) C.(1，) D.(，)
5.A　[向量a在向量e上的投影向量为e＝2×(，)＝(，3).故选A.]
6.[2024·广州调研]已知复数z满足|z－1|＝|z＋i|(i为虚数单位)，在复平面内，记z0＝2＋i对应的点为点Z0，z对应的点为点Z，则点Z0与点Z之间距离的最小值为(　　)
A. B. C. D.2
6.C　[设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－1|＝|z＋i|，
得(x－1)2＋y2＝x2＋(y＋1)2，即y＝－x，
所以点Z0(2，1)与点Z(x，y)之间的距离
d＝＝
＝≥，
当且仅当x＝时取等号.选C.]
7.[2024·南京质检]△ABC中，AH为BC边上的高且＝3，动点P满足·＝－2，则点P的轨迹一定过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
7.A　[如图，以点H为坐标原点建立平面直角坐标系，
设|BC|＝4a，|AH|＝b，则H(0，0)，A(0，b)，B(－3a，0)，C(a，0)，所以＝(4a，0).
设P(x，y)，则＝(x，y－b)，
所以·＝4ax，
则由·＝－2，
得4ax＝－4a2，所以x＝－a，所以点P在线段BC的垂直平分线上，所以点P的轨迹一定过△ABC的外心，故选A.]
8.[2024·泉州模拟]人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则曼哈顿距离d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，余弦距离e(A，B)＝1－cos(A，B)，其中cos(A，B)＝cos〈，〉(O为坐标原点).已知M(2，1)，d(M，N)＝1，则e(M，N)的最大值近似等于(　　)
(参考数据：≈1.41，≈2.24)
A.0.052 B.0.104 C.0.896 D.0.948
8.B　[设N(x，y)，由题意可得：
d(M，N)＝|2－x|＋|1－y|＝1，
即|x－2|＋|y－1|＝1，
可知|x－2|＋|y－1|＝1表示正方形ABCD，其中A(2，0)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，1)，如图所示，
即点N在正方形ABCD的边上运动.
因为＝(2，1)，＝(x，y)，
由图可知：当cos(M，N)＝cos〈，〉取到最小值，即〈，〉最大，点N有如下两种可能：
①点N为点A，
则＝(2，0)，
可得cos(M，N)＝cos〈，〉
＝＝；
②点N在线段CD上运动时，此时与同向，不妨取＝(1，1)，
则cos(M，N)＝cos〈，〉
＝＝.
因为＞，
所以e(M，N)的最大值为1－≈0.104.
故选B.]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·湖南六校联考]已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(1，1).在下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是(　　)
A.{a，c} B.{a，b－c} C.{c，a＋b} D.{a＋b，b－c}
9.AD　[对于A，因为a＝(1，0)，c＝(1，1)，所以1×1≠0×1，所以a与c不共线，所以{a，c}可以作为平面内所有向量的一个基底，所以选项A正确；
对于B，b＝(0，1)，c＝(1，1)，则b－c＝(－1，0)，又a＝(1，0)，所以b－c＝－a，
即(b－c)∥a，所以{a，b－c}不可以作为平面内所有向量的一个基底，所以选项B错误；
对于C，a＋b＝(1，1)＝c，所以(a＋b)∥c，所以{c，a＋b}不可以作为平面内所有向量的一个基底，所以选项C错误；
对于D，a＋b＝(1，1)，b－c＝(－1，0)，所以1×0≠1×(－1)，所以a＋b与b－c不共线，所以{a＋b，b－c}可以作为平面内所有向量的一个基底，所以选项D正确.综上，选AD.]
10.[2024·滨州质检]欧拉公式eix＝cos x＋isin x(e为自然对数的底数，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，则下列结论中正确的是(　　)
A.复数ei为纯虚数
B.复数ei2对应的点位于第二象限
C.复数ei的共轭复数为－i
D.复数eiθ(θ∈R)在复平面内对应的点的轨迹是圆
10.ABD　[对A：因为复数ei＝cos＋
isin ＝i为纯虚数，故选项A正确；
对B：复数ei2＝cos 2＋isin 2，
因为cos 2＜0，sin 2＞0，所以复数ei2对应的点为(cos 2，sin 2)位于第二象限，B正确；
对C：复数ei＝cos ＋isin ＝＋i的共轭复数为－i，故选项C错误；
对D：复数eiθ＝cos θ＋isin θ(θ∈R)在复平面内对应的点为(cos θ，sin θ)，因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以复数eiθ(θ∈R)在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D正确.故选ABD.]
11.[2024·海口质检]如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，＝，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若＝x＋y，则(　　)
A.＝＋ B.·＝
C.·存在最大值 D.x＋y的最大值为1＋
11.ABC　[对于A，因为＝，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，所以OA＝OD＝DC＝AC，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故A正确；
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
则·＝(＋)·(＋)
＝2＋2＋·＝2＋2＋×3×3×＝，故B正确；
如图，以点O为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(1，0)，B(－，)，C(－2，0).因为点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的单位圆上，且在x轴的下半部分，
所以设P(cos α，sin α)，α∈[π，2π]，
则＝(cos α＋，sin α－)，
又＝(－，－)，
所以·＝－cos α－－sin α＋＝－3cos(α－)＋6.
因为α∈[π，2π]，所以α－∈[，]，
所以当α－＝π，即α＝时，·取得最大值9，故C正确；
因为＝x＋y，＝(，－)，所以(cos α＋，sin α－)＝
x(，－)＋y(－，－)，
即(cos α＋，sin α－)
＝((x－y)，－(x＋y))，
所以sin α－＝－(x＋y)，
所以x＋y＝－sin α＋1.
因为α∈[π，2π]，所以当α＝时，x＋y取得最大值＋1，故D错误.故选ABC.]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·辽阳模拟]写出一个满足①z2的实部为5；②z的虚部不为0这两个条件的复数：z＝________.
12.3＋2i(答案不唯一)　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，依题意可得a2－b2＝5，b≠0.故可取a＝3，b＝2，z＝3＋2i.(答案不唯一)]
13.[2024·潍坊模拟]如图所示，A，B，C，D是正弦函数y＝sin x图象上四个点，且在A，C两点函数值最大，在B，D两点函数值最小，则(＋)·(＋)＝________.
13.12π2　[由题图知，A(，1)，B(，－1)，C(，1)，D(，－1)，
所以＝(，1)，＝(，－1)，
＝(，1)，＝(，－1)，
所以＋＝(2π，0)，＋＝(6π，0)，
所以(＋)·(＋)＝2π×6π＋0×0＝12π2.]
14.[2024·南京调研]如图是构造无理数的一种方法：线段OA1＝1；第一步，以线段OA1为直角边作直角三角形OA1A2，其中A1A2＝1；第二步，以OA2为直角边作直角三角形OA2A3，其中A2A3＝1；第三步，以OA3为直角边作直角三角形OA3A4，其中A3A4＝1……如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段，如OA2，OA3，OA5，…，则·＝________.
14.2－　[由题意，得OA2＝＝，
所以OA3＝＝，OA4＝＝2，
所以cos ∠A2OA3＝＝＝，
sin ∠A2OA3＝＝＝，
cos ∠A3OA4＝＝，
sin ∠A3OA4＝＝，
所以cos ∠A2OA4＝cos(∠A2OA3＋∠A3OA4)
＝cos ∠A2OA3cos ∠A3OA4－sin ∠A2OA3·
sin ∠A3OA4
＝×－×＝－，
所以·＝||||·
cos ∠A2OA4
＝×2×(－)＝2－.]
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·济宁模拟]已知复数z1＝t＋(t2－1)i，z2＝sin θ＋(2cos θ＋1)i，其中t∈R，θ∈[0，π].
(1)若z1，z2∈R，且z1＞z2，求t的值；
(2)若z1＝z2，求θ.
15.解　(1)∵z1∈R，∴t2－1＝0，t＝±1.
∵z2∈R，∴2cos θ＋1＝0，cos θ＝－，
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
又z1＞z2，则t＞sin θ＝sin ＝，
故t＝1.
(2)∵z1＝z2，∴t＝sin θ，
且t2－1＝2cos θ＋1，
则sin2θ－1＝2cos θ＋1，则cos2θ＋2cos θ＋1＝0，
即(cos θ＋1)2＝0，得cos θ＝－1，所以θ＝π.
16.(15分) [2024·聊城模拟]如图，在平面直角坐标系中，三个向量，，满足条件：||＝2||＝2||＝2，与的夹角为α，且tan α＝2，与的夹角为45°.
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)若点P为线段OC上的动点，当·取得最小值时，求点P的坐标.
16.解　(1)由tan α＝2知α为锐角，
则sin α＝，cos α＝，
∴cos(45°＋α)＝－，
sin(45°＋α)＝，
∴点A，B，C的坐标分别是(2，0)，，.
(2)设＝t(0≤t≤1)，
由(1)知，
＝t＝，
＝，
＝，
∴·
＝－t＋
＝－，
又∵0≤t≤1，
∴当t＝时，·有最小值为－，
此时点P的坐标为.
17.(15分)[2024·佛山模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c·sin A＝a·cos C，设△ABC的面积为S，S＝bc.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝3，过△ABC的重心G的直线l与边a，c的交点分别为E，F，＝λ，＝μ，
请计算λ＋μ的值.
17.解　(1)在△ABC中，根据正弦定理
＝＝，结合条件
c·sin A＝a·cos C，
可得sin C·sin A＝sin A·cos C.
因为A∈(0，π)，
所以sin A≠0，
可得sin C＝cos C，
即有tan C＝1，
又C∈(0，π)，故C＝.
又因为S＝ab·sin C＝ab＝bc，
可得a＝c，
即可得A＝C＝.
根据A＋B＋C＝π，由此即可得B＝.
(2)设AC的中点为D，连接BD(图略)，
利用“重心”的性质可得＝，
又＝＋，
故根据条件＝λ，＝μ，
可得＝＋，
即＝＋，
又因为点G，E，F在一条直线上，从而可得＋＝1，故λ＋μ＝3.
18.(17分) [2023·镇江模拟]数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.如图所示，已知AB＝2，O为BC的中点，点P，Q分别在弧AC、弧AB上，设∠PBC＝∠ACQ＝θ.
(1)当θ＝时，求||；
(2)求·的取值范围.
18.
解　 (1)当θ＝时，设BP与CQ的交点为M，连接OQ，OP，PQ，
则CQ⊥AB，
BP⊥AC，
故∠QMP＝∠BMC＝，
BM＝，MP＝MQ＝2－，
故QP＝2×MP＝
＝2－2，
即||＝2－2.
(2)·＝(＋)·(＋)
＝－1＋·＋·＋·
＝－1＋2cos＋2cos θ＋2×2×＝sin θ＋3cos θ－3
＝2sin－3，
由θ∈，得θ＋∈，
故sin∈，
则·∈.
即·的取值范围是.
19.(17分)[2024·广州质检]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(b，a＋c)，n＝(b－c，c－a)，m⊥n.
(1)若a＝8，·＝8，D为边BC的中点，求中线AD的长度；
(2)若E为边BC上一点，且AE＝1，BE∶EC＝2c∶b，求2b＋c的最小值.
19.解　 (1)∵向量m＝(b，a＋c)，
n＝(b－c，c－a)，m⊥n，
∴m·n＝b2－bc＋c2－a2＝0，
即b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，
又A∈(0，π)，∴A＝.
∵D为边BC的中点，a＝8，·＝8，
∴＝(＋)，
·＝bccos A＝bc＝8，
∴2＝(＋)2
＝(2＋2·＋2)
＝(c2＋2×8＋b2)，
又b2＋c2－a2＝bc，bc＝16，a＝8，
∴b2＋c2＝a2＋bc＝64＋16＝80，
∴2＝(c2＋2×8＋b2)
＝(80＋16)＝24，
即||＝2，∴中线AD的长度为2.
(2)∵E为边BC上一点，BE∶EC＝2c∶b，
∴＝，
∴－＝(－)，
∴＝＋，
即(2c＋b)＝2c＋b，
∴(2c＋b)22＝(2c＋b)2，
又AE＝1，∴(2c＋b)2＝(2c＋b)2
＝4c2b2＋2b2c2＋b2c2＝7b2c2，
∴2c＋b＝bc，即＋＝，
∴2b＋c＝(2b＋c)
＝≥
＝，
当且仅当＝，
即b＝c＝时取等号，
故2b＋c的最小值为.
地址：隆仁饭店斜对面聚能教育 提分热线：15641713339盖州分校 学习要注意到细处，不是粗枝大叶的，这样可以逐步学习、摸索，找到客观规律。
单元检测卷(五)　平面向量、复数
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·浙江名校联考]已知i为虚数单位，则在复平面上对应的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.[2024·嘉兴模拟]在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且＝2，＝3，记＝a，＝b，则＝(　　)
A.－a＋b B.a＋b C.a－b D.－a＋b
3.[2024·广东六校联考]设复数z＝＋i，其中i是虚数单位，是z的共轭复数，下列结论中错误的是(　　)
A.z＝1
B.z2＝
C.z是方程x2－x＋1＝0的一个根
D.满足zn∈R的最小正整数n为3
4.[2024·安徽名校联考]已知向量a＝(1，2)，b＝(2，x)，若a⊥b，则|2a＋b|＝(　　)
A.3 B.4 C.5 D.4
5.[2024·惠州质检]已知向量a＝(2，2)，向量e＝(，)，则向量a在向量e上的投影向量为(　　)
A.(，3) B.(－，1) C.(1，) D.(，)
6.[2024·广州调研]已知复数z满足|z－1|＝|z＋i|(i为虚数单位)，在复平面内，记z0＝2＋i对应的点为点Z0，z对应的点为点Z，则点Z0与点Z之间距离的最小值为(　　)
A. B. C. D.2
7.[2024·南京质检]△ABC中，AH为BC边上的高且＝3，动点P满足·＝－2，则点P的轨迹一定过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
8.[2024·泉州模拟]人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则曼哈顿距离d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，余弦距离e(A，B)＝1－cos(A，B)，其中cos(A，B)＝cos〈，〉(O为坐标原点).已知M(2，1)，d(M，N)＝1，则e(M，N)的最大值近似等于(　　)
(参考数据：≈1.41，≈2.24)
A.0.052 B.0.104 C.0.896 D.0.948
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·湖南六校联考]已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(1，1).在下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是(　　)
A.{a，c} B.{a，b－c} C.{c，a＋b} D.{a＋b，b－c}
10.[2024·滨州质检]欧拉公式eix＝cos x＋isin x(e为自然对数的底数，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，则下列结论中正确的是(　　)
A.复数ei为纯虚数
B.复数ei2对应的点位于第二象限
C.复数ei的共轭复数为－i
D.复数eiθ(θ∈R)在复平面内对应的点的轨迹是圆
11.[2024·海口质检]如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，＝，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若＝x＋y，则(　　)
A.＝＋ B.·＝
C.·存在最大值 D.x＋y的最大值为1＋
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·辽阳模拟]写出一个满足①z2的实部为5；②z的虚部不为0这两个条件的复数：z＝________.
13.[2024·潍坊模拟]如图所示，A，B，C，D是正弦函数y＝sin x图象上四个点，且在A，C两点函数值最大，在B，D两点函数值最小，则(＋)·(＋)＝________.
14.[2024·南京调研]如图是构造无理数的一种方法：线段OA1＝1；第一步，以线段OA1为直角边作直角三角形OA1A2，其中A1A2＝1；第二步，以OA2为直角边作直角三角形OA2A3，其中A2A3＝1；第三步，以OA3为直角边作直角三角形OA3A4，其中A3A4＝1……如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段，如OA2，OA3，OA5，…，则·＝________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·济宁模拟]已知复数z1＝t＋(t2－1)i，z2＝sin θ＋(2cos θ＋1)i，其中t∈R，θ∈[0，π].
(1)若z1，z2∈R，且z1＞z2，求t的值；
(2)若z1＝z2，求θ.
16.(15分) [2024·聊城模拟]如图，在平面直角坐标系中，三个向量，，满足条件：||＝2||＝2||＝2，与的夹角为α，且tan α＝2，与的夹角为45°.
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)若点P为线段OC上的动点，当·取得最小值时，求点P的坐标.
17.(15分)[2024·佛山模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c·sin A＝a·cos C，设△ABC的面积为S，S＝bc.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝3，过△ABC的重心G的直线l与边a，c的交点分别为E，F，＝λ，＝μ，
请计算λ＋μ的值.
18.(17分) [2023·镇江模拟]数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.如图所示，已知AB＝2，O为BC的中点，点P，Q分别在弧AC、弧AB上，设∠PBC＝∠ACQ＝θ.
(1)当θ＝时，求||；
(2)求·的取值范围.
19.(17分)[2024·广州质检]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(b，a＋c)，n＝(b－c，c－a)，m⊥n.
(1)若a＝8，·＝8，D为边BC的中点，求中线AD的长度；
(2)若E为边BC上一点，且AE＝1，BE∶EC＝2c∶b，求2b＋c的最小值.
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