浙教版2024年九年级上册第1次月考模拟训练卷 含解析

浙教版2024年九年级上册第1次月考模拟训练卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c
C．h＝ D．y＝x2+
2．已知⊙O的半径为5，OA＝4，则点A在（　　）
A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定
3．已知a，d，b，c依次成比例线段，其中a＝3cm，b＝4cm，c＝6cm，则d的值为（　　）
A．8cm B．cm C．4cm D．cm
4．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，直线FA，FB，ED，EC围成四边形，则向图中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落在阴影区域的概率（不考虑落在线上的情形）是（　　）
A． B． C． D．
5．已知抛物线y＝﹣x2+bx+3经过（﹣4，n）和（2，n）两点，则图象的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，4） B．（1，2） C．（﹣1，3） D．（﹣1，2）
6．下列命题中不正确的是（　　）
A．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
B．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
C．图形经过旋转所得的对应点到旋转中心的距离相等
D．平分弦的直径一定垂直于这条弦
7．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
8．如图，在△ABC中，AF：FC＝1：2，G是BF的中点，AG的延长线交BC于E，那么BE：EC的值为（　　）
A．1：4 B．1：2 C．2：5 D．1：3
9．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则⊙O的半径OA为（　　）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＞0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．将抛物线y＝x2+2x﹣1的开口方向 　 　，最小值是 　 　．
12．从数字2，3，4中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是　 　．
13．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC'∥AB，则旋转角∠CAC'的度数是 　 　．
14．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：AB＝2：5，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长为 　 　；若S四边形DBCE＝84，则S△ADE＝　 　．
15．如图，在△ABC中，BC＝BA＝4，∠C＝30°，以AB中点D为圆心、AD长为半径作半圆交线段AC于点E，则图中阴影部分的面积为 　 　．
16．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是 　 　．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在由25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，要求在网格中作出两个与△ABC相似（不包含全等）的图形，且相似比不同．
18．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过点（0，3）和（1，1）．
（1）求抛物线C的解析式：
（2）将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1，求抛物线C1的顶点坐标．
19．（8分）如图所示，甲、乙两人玩游戏，他们准备了1个可以自由转动的转盘和一个不透明的袋子．转盘被分成面积相等的三个扇形，并在每一个扇形内分别标上数字﹣1，﹣2，﹣3；袋子中装有除数字以外其它均相同的三个乒乓球，球上标有数字1，2，3．游戏规则：转动转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字与随机从袋中摸出乒乓球的数字之和为0时，甲获胜；其它情况乙获胜．（如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）
（1）用树状图或列表法求甲获胜的概率；
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请判断并说明理由．
20．（8分）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．
21．（8分）如图，已知⊙O是等腰△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD．
（1）求证：AD平分∠EDC．
（2）若∠EDA＝72°，求的度数．
22．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB＝45°．
（1）若AP＝2，BP＝6，求MN的长；
（2）若MP＝3，NP＝5，求AB的长；
（3）当P在AB上运动时（∠NPB＝45°不变），的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其范围．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是CD边上的一个动点（点E不与点C重合），延长DC到点F，使EC＝2CF，且AF与BE交于点G．
（1）当EC＝4时，求线段BG的长；
（2）设CF＝x，△GEF的面积为y，求y与x的关系式，并求出y的最大值；
（3）连接DG，求线段DG的最小值．
浙教版2024年九年级上册第1次月考模拟训练卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c
C．h＝ D．y＝x2+
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．
【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
2．已知⊙O的半径为5，OA＝4，则点A在（　　）
A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定
【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【解答】解：∵OA＝4＜5，
∴点A与⊙O的位置关系是点在圆内，
故选：A．
3．已知a，d，b，c依次成比例线段，其中a＝3cm，b＝4cm，c＝6cm，则d的值为（　　）
A．8cm B．cm C．4cm D．cm
【分析】能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．根据题意得：a：d＝b：c代入数值即可求得．
【解答】解：根据题意得：
a：d＝b：c，
∵a＝3cm，b＝4cm，c＝6cm，
∴3：d＝4：6，
∴d＝cm；
故选：D．
4．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，直线FA，FB，ED，EC围成四边形，则向图中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落在阴影区域的概率（不考虑落在线上的情形）是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据几何概率的计算公式概率＝相应的面积与总面积之比解答即可．
【解答】解：由矩形的性质可得：阴影区域的面积是矩形面积的，
故选：B．
5．已知抛物线y＝﹣x2+bx+3经过（﹣4，n）和（2，n）两点，则图象的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，4） B．（1，2） C．（﹣1，3） D．（﹣1，2）
【分析】分别将（﹣4，n）和（2，n）两点代入y＝﹣x2+bx+3中，解得b＝﹣2，再根据顶点坐标公式即可求得．
【解答】解：分别将（﹣4，n）和（2，n）两点代入y＝﹣x2+bx+3中，
，
解得：b＝﹣2，
则抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
顶点坐标的横坐标x＝﹣＝﹣1，
顶点坐标的纵坐标y＝﹣（﹣1）2﹣2×（﹣1）+3＝4．
故选：A．
6．下列命题中不正确的是（　　）
A．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
B．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
C．图形经过旋转所得的对应点到旋转中心的距离相等
D．平分弦的直径一定垂直于这条弦
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形，旋转变换的性质以及垂径定理一一判断即可．
【解答】解：A、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，正确，本选项不符合题意．
B、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确，本选项不符合题意．
C、图形经过旋转所得的对应点到旋转中心的距离相等，正确，本选项不符合题意．
D、平分弦的直径一定垂直于这条弦，错误，这条弦不能是直径，本选项符合题意．
故选：D．
7．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】连接AC、GE、EC，易知四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质即可求解．
【解答】解：连接AC、GE、EC，如图所示：
则四边形ACEG为正方形，
∴∠EAG＝45°，
故选：C．
8．如图，在△ABC中，AF：FC＝1：2，G是BF的中点，AG的延长线交BC于E，那么BE：EC的值为（　　）
A．1：4 B．1：2 C．2：5 D．1：3
【分析】过F作FO∥BC交AE于O，求出∠FOG＝∠BEG，FG＝BG，证△FGO≌△BGE，推出FO＝BE，证△AOF∽△AEC，得出＝＝，即可得出答案．
【解答】解：
过F作FO∥BC交AE于O，
则∠FOG＝∠BEG，
∵G为BF中点，
∴FG＝BG，
在△FGO和△BGE中
∴△FGO≌△BGE，
∴FO＝BE，
∵FO∥BC，
∴△AOF∽△AEC，
∵AF：FC＝1：2，
∴＝＝，
∴＝，
故选：D．
9．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则⊙O的半径OA为（　　）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
【分析】首先利用垂径定理的推论得出OD⊥AB，AC＝BC＝AB＝12cm，再设⊙O的半径OA为R cm，则OC＝（R﹣8）cm．在Rt△OAC中根据勾股定理列出方程R2＝122+（R﹣8）2，求出R即可．
【解答】解：∵是⊙O的一部分，D是的中点，AB＝24cm，
∴OD⊥AB，AC＝BC＝AB＝12cm．
设⊙O的半径OA为R cm，则OC＝OD﹣CD＝（R﹣8）cm．
在Rt△OAC中，∵∠OCA＝90°，
∴OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝122+（R﹣8）2，
∴R＝13，
即⊙O的半径OA为13cm．
故选：A．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＞0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，
∴abc＜0，所以①结论错误；
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，
∴b＝4a，c＝﹣5a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，所以②结论正确，
5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a＜0，故③结论错误，
∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故结论④正确，
若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，设方程ax2+bx+c＝2的两根分别为x1，x2，则＝﹣2，可得x1+x2＝﹣4，
设方程ax2+bx+c＝﹣2的两根分别为x3，x4，则＝﹣2，可得x3+x4＝﹣4，
所以这四个根的和为﹣8，故结论⑤错误，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．将抛物线y＝x2+2x﹣1的开口方向 　向上　，最小值是 　﹣2　．
【分析】用配方法得到y＝（x+1）2﹣2，进一步解答即可．
【解答】解：y＝x2+2x﹣1＝x2+2x+1﹣2＝（x+1）2﹣2，
∵a＝1＞0，
∴抛物线y＝x2+2x﹣1的开口向上，
当x＝﹣1时，y有最小值：y＝﹣2，
故答案为：向上；﹣2．
12．从数字2，3，4中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是　　．
【分析】画树状图展示所有6种可等可能的结果数，再找出组成两位数是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种可等可能的结果数，其中组成两位数是偶数的结果数为4，
所以组成一个两位数为偶数的概率＝＝．
故答案为．
13．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC'∥AB，则旋转角∠CAC'的度数是 　50°　．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′＝∠CAB，根据旋转的性质可得AC＝AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
【解答】解：如图，∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°
故答案为：50°．
14．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：AB＝2：5，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长为 　15　；若S四边形DBCE＝84，则S△ADE＝　16　．
【分析】由DE∥BC得出△ADE∽△ABC，再根据周长之比等于相似比即可得出答案；根据面积之比等于相似比的平方，设△ADE的面积为S，则S△ABC＝S四边形DBCE+S△ADE＝84+S，列出关于S的方程式即可求出答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：AB＝2：5，
∴△ADE的周长与△ABC的周长之比＝2：5，
∵△ADE的周长为6，
∴△ABC的周长＝6＝15，
∴△ADE的面积与△ABC的面积之比＝4：25，
设△ADE的面积为S，
∵S四边形DBCE＝84，
∴S△ABC＝S四边形DBCE+S△ADE＝84+S，
∴，
解得：S＝16，
经检验S＝16是原方程的解．
故答案为：15；16．
15．如图，在△ABC中，BC＝BA＝4，∠C＝30°，以AB中点D为圆心、AD长为半径作半圆交线段AC于点E，则图中阴影部分的面积为 　π﹣　．
【分析】如图，连接DE，作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质得到∠DEA＝∠BAC＝30°，AE＝2AH，由直角三角形的性质求出DH＝1，AH＝，得到AE＝2，求出△ADE的面积＝AE DH＝，扇形DEA的面积＝＝π，即可得到阴影部分的面积＝扇形DEA的面积﹣△DEA的面积＝π﹣．
【解答】解：如图，连接DE，作DH⊥AE于H，
∵BC＝BA，
∴∠BAC＝∠C＝30°，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝∠BAC＝30°，AE＝2AH，
∴DH＝AD，
∵AD＝AB＝×4＝2，
∴DH＝1，
∴AH＝DH＝，
∴AE＝2，
∴△ADE的面积＝AE DH＝，
∵∠ADE＝180°﹣∠BAC﹣∠DEA＝120°，
∴扇形DEA的面积＝＝π，
∴阴影部分的面积＝扇形DEA的面积﹣△DEA的面积＝π﹣．
故答案为：π﹣．
16．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是 　﹣4＜c＜　．
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y＝2x上，由﹣2＜x＜4可得二倍点所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为y＝2x，
将x＝﹣2代入y＝2x得y＝﹣4，
将x＝4代入y＝2x得y＝8，
设A（﹣2，﹣4），B（4，8），如图，
联立方程x2﹣x+c＝2x，
当Δ＞0时，抛物线与直线y＝2x有两个交点，
即9﹣4c＞0，
解得c＜，
此时，直线x＝﹣2和直线x＝4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，
把x＝﹣2代入y＝x2﹣x+c得y＝6+c，
把x＝4代入y＝x2﹣x+c得y＝12+c，
∴，
解得c＞﹣4，
∴﹣4＜c＜满足题意．
故答案为：﹣4＜c＜．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在由25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，要求在网格中作出两个与△ABC相似（不包含全等）的图形，且相似比不同．
【分析】根据网格结构，利用相似三角形对应边成比例作出符合条件的三角形即可．
【解答】解：如图所示，△DFE即为所求．
18．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过点（0，3）和（1，1）．
（1）求抛物线C的解析式：
（2）将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1，求抛物线C1的顶点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线C的解析式：
（2）根据平移规律写出抛物线C1的解析式，继而求得顶点坐标．
【解答】解：（1）把点（0，3）和（1，1）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得
．
解得．
故该抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣x+3；
（2）由（1）知，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+3．
所以y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．
将其先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1的解析式为：y＝﹣（x++2）2+﹣1，即y＝﹣（x+）2+．
故抛物线C1的顶点坐标是（﹣，）．
19．（8分）如图所示，甲、乙两人玩游戏，他们准备了1个可以自由转动的转盘和一个不透明的袋子．转盘被分成面积相等的三个扇形，并在每一个扇形内分别标上数字﹣1，﹣2，﹣3；袋子中装有除数字以外其它均相同的三个乒乓球，球上标有数字1，2，3．游戏规则：转动转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字与随机从袋中摸出乒乓球的数字之和为0时，甲获胜；其它情况乙获胜．（如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）
（1）用树状图或列表法求甲获胜的概率；
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请判断并说明理由．
【分析】（1）列举出所有情况，看针所指区域的数字与随机从袋中摸出乒乓球的数字之和为0时数的情况占所有情况的多少即可求得甲获胜的概率；
（2）由（1）可得乙获胜的概率，比较即可．
【解答】解：（1）解法一：（列表法）
由列表法可知：会产生9种结果，它们出现的机会相等，其中和为0的有3种结果．
∴P（甲获胜）＝；
解法二：（树状图）
由树状图可知：会产生9种结果，它们出现的机会相等，其中和为0的有3种结果．
∴P（甲获胜）＝；
（2）游戏不公平
∵P（甲获胜）＝；P（乙获胜）＝，
∴P（甲获胜）≠P（乙获胜），
∴游戏不公平．
20．（8分）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．
【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得∠A＝∠C，即可求得∠A＝∠EDB，又由公共角∠E＝∠E，可证得△ADE∽△DBE；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，进而解答即可．
【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）平行四边形ABCD中，DC＝AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴，
∵DC＝7cm，BE＝9cm，
∴AB＝7cm，AE＝16cm，
∴DE＝12cm．
21．（8分）如图，已知⊙O是等腰△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD．
（1）求证：AD平分∠EDC．
（2）若∠EDA＝72°，求的度数．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠ADB+∠ACB＝180°，根据同角的补角相等得到∠ACB＝∠ADE，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；
（2）根据（1）的结论、结合三角形内角和定理求出∠BAC，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ADBC为⊙O的内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，
∵∠ADB+∠ADE＝180°，
∴∠ACB＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ADE，
由圆周角定理得：∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠ADE，
∴AD平分∠EDC．
（2）解：∵∠EDA＝72°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴∠BAC＝180°﹣72°×2＝36°，
∴的度数为72°．
22．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB＝45°．
（1）若AP＝2，BP＝6，求MN的长；
（2）若MP＝3，NP＝5，求AB的长；
（3）当P在AB上运动时（∠NPB＝45°不变），的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其范围．
【分析】（1）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出OA＝4，OP＝2，在Rt△POH中，由于∠OPH＝45°，则OH＝OP＝，再在Rt△OHN中，利用勾股定理计算出NH＝，然后根据垂径定理由OH⊥MN得到HM＝HN，所以MN＝2NH＝2；
（2）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出HM＝HN＝4，PH＝1，在Rt△POH中，由∠OPH＝45°得到OH＝1，再在Rt△OHN中利用勾股定理可计算出ON＝，所AB＝2ON＝2；
（3）作OH⊥MN于H，连接ON，根据垂定理得HM＝HN，设圆的半径为R，在Rt△OHN中，利用勾股定理得到OH2+NH2＝ON2＝R2，在Rt△POH中，由∠OPH＝45°得OH＝PH，则PH2+NH2＝R2，然后变形PM2+PN2可得到2（PH2+NH2），所以PM2+PN2的值为2R2，又AB＝2R，代入计算即可求出答案．
【解答】解：（1）作OH⊥MN于H，连接ON，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝8，
∴OA＝4，OP＝2，
在Rt△POH中，∵∠OPH＝45°，
∴OH＝OP＝，
在Rt△OHN中，∵ON＝4，OH＝，
∴NH＝＝＝，
∵OH⊥MN，
∴HM＝HN，
∴MN＝2NH＝2；
（2）作OH⊥MN于H，连接ON，
则HM＝HN，
∵MP＝3，NP＝5，
∴MN＝8，
∴HM＝HN＝4，
∴PH＝1，
在Rt△POH中，∵∠OPH＝45°，
∴OH＝1，
在Rt△OHN中，∵HN＝4，OH＝1，
∴ON＝＝，
∴AB＝2ON＝2；
（3）的值不发生变化，为定值，
作OH⊥MN于H，连接ON，
则HM＝HN，
设圆的半径为R，
在Rt△OHN中，OH2+NH2＝ON2＝R2，
在Rt△POH中，∵∠OPH＝45°，
∴OH＝PH，
∴PH2+NH2＝R2，
∵PM2+PN2＝（HM﹣PH）2+（NH+PH）2
＝（NH﹣PH）2+（NH+PH）2
＝2（PH2+NH2）
＝2R2．
又AB2＝4R2，
∴＝＝
∴的值不发生变化，为定值．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
【分析】（1）将y＝mx2﹣2mx﹣3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2＝MB2时；②DM2+MB2＝BD2时，讨论即可求得m的值．
【解答】解：（1）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣3）（x+1），
∵m≠0，
∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）设C1：y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：
，
解得，
故C1：y＝x2﹣x﹣．
如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，
由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y＝x﹣，
设P（x，x2﹣x﹣），则Q（x，x﹣），
PQ＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，
S△PBC＝S△PCQ+S△PBQ＝PQ OB＝×（﹣x2+x）×3＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，S△PBC有最大值，Smax＝，
×（）2﹣﹣＝﹣，
P（，﹣）；
（3）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m，
顶点M坐标（1，﹣4m），
当x＝0时，y＝﹣3m，
∴D（0，﹣3m），B（3，0），
∴DM2＝（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2＝m2+1，
MB2＝（3﹣1）2+（0+4m）2＝16m2+4，
BD2＝（3﹣0）2+（0+3m）2＝9m2+9，
当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2＝MB2或DM2+MB2＝BD2．
①DM2+BD2＝MB2时有：m2+1+9m2+9＝16m2+4，
解得m＝﹣1（∵m＜0，∴m＝1舍去）；
②DM2+MB2＝BD2时有：m2+1+16m2+4＝9m2+9，
解得m＝﹣（m＝舍去）．
综上，m＝﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是CD边上的一个动点（点E不与点C重合），延长DC到点F，使EC＝2CF，且AF与BE交于点G．
（1）当EC＝4时，求线段BG的长；
（2）设CF＝x，△GEF的面积为y，求y与x的关系式，并求出y的最大值；
（3）连接DG，求线段DG的最小值．
【分析】（1）利用勾股定理可求BE，再利用三角形全等可得BG＝EG，即可求解；
（2）先利用相似三角形将所求三角形的高表示出来，再表示出三角形面积，通过化简将y与x的关系式转化为反比例函数，利用单调性即可求解；
（3）利用垂线段最短逆推出CF的长度，从而得到DF的长度即可求解．
【解答】解：（1）当EC＝4时，则：
CF＝2，
∴AB＝FE＝6，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠BAG，∠ABG＝∠FEG，
∴△ABG≌△FEG（ASA），
∴BG＝EG＝BE，
在直角三角形BCE中，BC＝8，CE＝4，
∴BE＝4，
∴BG＝2；
（2）如图，过点G作MN∥AD分别交AB，CD于点M，N，
设CF＝x，则：
EF＝3x，
显然△ABG∽△FEG，
∴＝，
设GN＝h，则：
MG＝8﹣h，
∴＝＝＝，
∴h＝，
∴S△GEF＝y＝×3x×＝，
∴y与x的关系式为：y＝，
∵x＞0，2x≤6，
∴0＜x≤3，
∵y＝＝，
∴y随x的增加而增加，
∴当x＝3时，ymax＝；
（3）如图，延长CG交AB于点G．
∵AB∥CD，
∴＝＝，
∵EC＝2CF，
∴BQ＝2AQ，
∴△AQG∽△FCG，△BQG∽△DCG，
∴＝＝，＝＝，
∴点E在CD上运动总会有＝，即
点G在线段CQ上运动，
∴当点E与点D重合时，CG最长，
∵＝，
∴GC＝，
如图，作DM⊥CQ，GN⊥CD，当点G运动到点M时，此时DG即为最小值，
∵DM CG＝CD GN，
∴DM ＝×6×（×8），
∴DM＝，
∴DG的最小值为．