人教版九年级上册数学 22.1 二次函数的图象和性质 同步训练（含解析）

第二十一章 一元二次方程
22.1二次函数的图象和性质
一、选择题（本题包括10小题，每小题只有1个选项符合题意）
1. 二次函数的图象一定不经过
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限．
2. 抛物线的顶点坐标是
A. B. C. D.
3. 已知抛物线是常数且，下列选项中可能是它大致图象的是
A. B.
C. D.
4. 下列函数中，y的值随着x逐渐增大而减小的是
A. B. C. D.
5. 将抛物线向下平移2个单位后，所得抛物线解析式为
A. B. C. D.
6. 如果抛物线经过点和，那么对称轴是直线
A. B. C. D.
7. 函数是二次函数时，则a的值是
A. 1 B. C. D. 0
8. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线重合，现有一直线与抛物线相交，当时，利用图象写出此时x的取值范围是
A. B. C. D.
9. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为
A. B. C. D.
10. 小明将图中两水平线与的其中一条当成x轴，且向右为正方向；两铅垂线与的其中一条当成y轴，且向上为正方向，并且在此平面直角坐标系上画出二次函数的图象，则关于他选择x轴与y轴的叙述正确的是
A. 为x轴，为y轴 B. 为x轴，为y轴
C. 为x轴，为y轴 D. 为x轴，为y轴
二、解答题（本题包括4小题）
11. 已知：抛物线经过、两点，顶点为A．
求：抛物线的表达式；
顶点A的坐标．
12. 已知抛物线．
求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；
将这个抛物线平移，使顶点移到点的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．
13. 在平面直角坐标系xOy中如图，已知抛物线，经过点、．
求此抛物线顶点C的坐标；
联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于G，联结HG，求HG的长．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，点B坐标为．
求二次函数解析式及顶点坐标；
过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点点P在AC上方，作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．
参考答案
一、选择题
1.【答案】A
【解析】∵二次函数y=ax2-2x-3（a＜0）的对称轴为直线x，∴其顶点坐标在第二或第三象限.∵当x=0时，y=-3，∴抛物线一定经过第四象限，∴此函数的图像一定不经过第一象限.故选A.
2.【答案】C
【解析】根据抛物线的顶点式：y=a（x-h）2+k，（a≠0），则抛物线的顶点坐标为（h，k）可得：抛物线y=-（x+1）2+3的顶点坐标为（-1，3），所以C选项的结论正确.故选C.
3.【答案】B
【解析】∵抛物线y=ax2+3x+（a-2），a是常数且a＜0，∴图象开口向下，a-2＜0，∴图象与y轴交于负半轴，∵a＜0，b=3，∴抛物线对称轴在y轴右侧．故选B．
4.【答案】D
【解析】A选项：函数y=2x的图象是y随着x增大而增大，故本选项错误；B选项：函数函数y=x2的对称轴为x=0，当x≤0时y随着x增大而减小，故本选项错误；C选项：函数，当x＜0或x＞0时，y随着x增大而增大，故本选项错误；D选项：函数，当x＞0时，y随着x增大而减小，故本选项错误；故选D．
5.【答案】D
【解析】抛物线y=（x+2）2的顶点坐标为（-2，0），向下平移2个单位后的顶点坐标是（-2，-2），所以，平移后得到的抛物线解析式为y=（x+2）2-2．故选D．
6.【答案】B
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点的坐标为（-1，0）和（3，0），而抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点是对称点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．故选B．
7.【答案】B
【解析】依题意，得a2+1=2且a-1≠0，解得a=-1.故选B.
8.【答案】C
【解析】y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，则它的顶点坐标为（1，-4），所以抛物线y1=x2-2x-3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后的解析式为y=x2，解方程组得 ,所以当-1≤x≤3．故选C．
9.【答案】D
【解析】因为y=x2-4x-4=（x-2）2-8，所以抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标为（2，-8），把点（2，-8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（-1，-3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）2-3．故选D．
10.【答案】D
【解析】y=-x2-2x+1=-（x+1）2+2，故抛物线的对称轴为：直线x=-1，顶点坐标为：（-1，2），则关于他选择x轴与y轴的叙述正确的是：l2为x轴，l4为y轴．故选D．
二、解答题
11.【答案】(1)(2)
【解析】（1）直接把B（3，0）、C（0，3）代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c，可确定抛物线的解析式；（2）把（1）的解析式进行配方可得到顶点式，然后写出顶点坐标即可．
解：把、代入，
解得．
故抛物线的解析式为；
(2)=，
所以顶点A的坐标为．
12.【答案】(1) 对称轴是直线，顶点坐标为；(2) 平移过程为：向右平移3个单位，向下平移3个单位
【解析】（1）将抛物线整理成顶点式形式，然后解答即可；（2）根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减解答．
解：，，，
所以，对称轴是直线，
顶点坐标为；
新顶点，
，
，
，
平移过程为：向右平移3个单位，向下平移3个单位．
13.【答案】(1) (2)．
【解析】（1）已知抛物线过A，B两点，可将A，B的坐标代入抛物线的解析式中用待定系数法即可求出抛物线的解析式．然后可根据抛物线的解析式得出顶点C的坐标．（2）本题介绍三种解法：方法一：分别求直线AC的解析式和BD的解析式，直线AC：y=-x-1，直线BD：y=x-1，可得D和P的坐标，证明△BPG∽△CPH和△HPG∽△CPB，列比例式可得HG的长；方法二：如图2，过点H作HM⊥CG于M，先根据勾股定理的逆定理证明∠BCD=90°，利用面积法求CH的长，再证明△OBD∽△MCH，列比例式可得CM的长，从而可得结论；
方法三：直线AC：y=-x-1，求CH和BD的解析式，联立方程组可得H的坐标，由勾股定理可得GH的长．
解：把、代入抛物线解析式，
得：，解得：，
抛物线的解析式为：，
顶点
方法一：设BD与CG相交于点P，
设直线AC的解析式为：
把和代入得：
解得：
则直线AC：，
，
同理可得直线BD：，
∽，
∽，
，，
；
方法二：如图2，过点H作于M，
，
，
，
，
，
，
∽，
，，
，
由勾股定理得：
，
方法三：直线AC：，
，
直线BD：，
，
，
直线CH：，
联立解析式：，解得：，
．
14.【答案】(1) (2)
【解析】（1）用待定系数法求抛物线解析式，并利用配方法求顶点坐标；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，-x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=-2x2+10x，根据二次函数求出极值；可得P的坐标．
解：把点，点B坐标为代入抛物线中，
得：，解得：，
抛物线的解析式为：，
顶点坐标为；
设直线AB的解析式为：，
，
，解得：，
直线AB的解析式为：，
设，则，
，
点C在抛物线上，且纵坐标为5，
，
，
，
，有最大值，
当时，S有最大值为，
此时