2024-2025福建省泉州实验学校九年级（上）段考数学试卷（二）（含答案）

2024-2025学年福建省泉州实验学校九年级（上）段考数学试卷（二）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，一定相似的是( )
A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形
2.中，，，，的值为( )
A. B. C. D.
3.如图，将沿着剪成一个小三角形和一个四边形，若，四边形各边的长度如图所示，则剪出的小三角形应是( )
A. B. C. D.
4.已知为锐角，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
6.如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图是一个长方体柜子的俯视图，柜子长不计柜门厚度，当柜门打开的角度为时，柜门打开的距离的长度为( )
A. B.
C. D.
8.如图，在正方形中，为边中点，连接并延长交边的延长线于点，对角线交于点已知，则线段的长度为( )
A. B. C. D.
9.现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那么，两地的距离为( )
A. 千米
B. 千米
C. 千米
D. 千米
10.如图，正五边形的边长为，连接对角线、、，线段分别与和相交于点、，求的长( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.比较大小：______填“”、“”或“”．
12.已知，那么的值为______．
13.如图，中，是的垂直平分线，交于点，连接，若，，则 ______．
14.如图，河堤横断面迎水坡的坡度是：，堤高，则坡面的长度是______．
15.如图，已知的中线、相交于点，过点作交于点，那么的值为______．
16.如图，在中，，，把绕点逆时针旋转得到，点与点对应，点恰好落在上，过作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点下列结论：；；；其中正确的有______填正确的序号．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
18.本小题分
如图，在中，，的垂直平分线与，的交点分别为，若，，求的长和的值．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，以原点为位似中心，在轴的右侧将放大为原来的两倍得到．
画出；
分别写出，两点的对应点，的坐标．
20.本小题分
如图，在中，点，分别在边，上，，．
求证：∽；
若，，求线段的长．
21.本小题分
如图，在矩形中，．
尺规作图：在线段上确定一点，使得保留作图痕迹，不写作法与证明；
在的条件下，连接，求：的值．
22.本小题分
如图，在菱形中，，为对角线上一点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，连接，，．
求证：，，三点共线；
若点为的中点，连接，若，求线段的长．
23.本小题分
综合与实践
在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第步：如图所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为；
第步：将边沿翻折到的位置；
第步：延长交于点，则点为边的三等分点．
证明过程如下：连接，
正方形沿折叠，
， ______，
又，
≌，
．
由题意可知是的中点，设个单位，，则，
在中，可列方程： ______，方程不要求化简
解得： ______，即是边的三等分点．
“破浪”小组是这样操作的：
第步：如图所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为；
第步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点；
第步：过点折叠正方形纸片，使折痕．
【过程思考】
“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是
：______，：______，：______；
结合“破浪”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】
如图，在菱形中，，，是上的一个三等分点，记点关于的对称点为，射线与菱形的边交于点，请直接写出的长．
24.本小题分
如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处．
若，
求的长；
若，分别是线段，上的动点，求的最小值．
若，记，，求的值．
25.本小题分
如图，在菱形中，，为对角线．点是边延长线上的任意一点，连结交于点，平分交于点．
求证：．
若，．
求菱形的面积．
求的值．
若，当的大小发生变化时，在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
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10.
11.
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13.
14.
15.
16.
17.解：原式
．
18.解：在中，，，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
在中，，
的长为，的值为．
19.解：以原点为位似中心，在轴的右侧将放大为原来的两倍得到，
，，；
如图画出：
由得：，．
20.证明：，
，，
∽；
解：，
，
，
∽，
，
，
．
21.解：如图，点为所作．
；
在矩形中，，
设，则，
由作图知，
由勾股定理得，
，
，
．
22.证明：四边形是菱形，，
，，，
是等边三角形，，
由旋转的性质得，，
，，
，
≌，
，
，
，
，，三点共线；
解：如图，过点作，交的延长线于点，
，，
四边形是菱形，，
，
，
点为的中点，
，
≌，
，，
由得≌，
，
，
≌，
，
，
．
23.
【解析】【过程思考】解：结合下面两个三角形全等，可以得到该空为，此时可根据推断出两个三角形全等；
根据在直角三角形中三边满足勾股定理，即，则；
将化简可得，
移项合并同类项得：，
解得，即，
故答案为：，，；
点是边的三等分点，证明如下：
由第步的操作可知，分别是，的中点，
是正方形，
，，
，，
∽，
，
，
，
即，
点是否为边的三等分点；
【拓展提升】解：连接交于点，如图，
，，
四边形为菱形，
，
，
分两种情况：当时，如图，连接，，与交点，
由对称性可知，，，，
∽，
，
设，则，即，
在中，，
即，
解得：合，，
，
，
∽，
．
，
．
当时，连接，，
由对称性可知，，，，，
过点作于点，如图，
，，
∽，
，
设，则，
在和中，
，
≌，
，
，，
在中，，
即，
解得：舍，，
，
即，
综上，的长为或．
24.解：四边形是矩形，
，，，
由折叠性质得，，
在中，，
在中，，，
由勾股定理得，则，
解得；
连接，根据折叠性质得垂直平分，
，分别是线段，上的动点，
，如图，当、、共线，且时，最小值，最小值为的长，
，
四边形是矩形，
；
，
，
∽，
，
，
设，，，
，，
，
，
，
，则，
由得，
，
即，
整理，得，即，
，则负值已舍去，
．
25.证明：如图，四边形是菱形，
，，
，
≌，
，
，
．
解：如图，连结交于点，交于点，
，
，
，，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
解：如图，过点作，交于点，则为定值，
理由：连结交于点，交于点，
，
当的大小发生变化时，始终都有，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
为定值；
，
．
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