九年级上册数学第二十二章二次函数单元卷（含解析）

九年级上册数学第二十二章 二次函数单元卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式中，y是x的二次函数是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是二次函数的图象一部分，其对称轴是，且过点，说法：①；②；③；④；⑤若、是抛物线上两点，则；其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在同一坐标系下，函数与的图象只可能是（ ）
A． B． C． D．
5．已知两点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点．若 ，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，； ； ； ； ； 中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
8．如表是二次函数中与的部分对应值，则方程的一个根的取值范围是（ ）
… 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
… 0.165 0.51 …
A． B． C． D．
9．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．则下列结论①点，，是该抛物线上的点，则；②；③；④；⑤（为实数），其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤
10．已知点和点均在抛物线上，当时，等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．已知二次函数，都在二次函数的图象上，若，则的取值范围是 ．
12．已知二次函数，若和对应的函数值相等，则 ．
13．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④不等式的解集为，，其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）．
14．已知，，满足，，则二次函数的图像的对称轴为直线 ．
15．如图，一座拱桥的下方轮廓是抛物线型，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为 米．
三、解答题
16．如图，已知二次函数的图象分别经过点，，求该函数的解析式．
17．已知抛物线与x轴的交点是，，经过点．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)设该抛物线的顶点为M，求的面积．
18．已知抛物线与轴交于，两点（点在点左边），与y轴交于点．若点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，．当面积最大时求点的坐标及面积的最大值．
19．已知抛物线的顶点A到轴的距离为，与轴交于B、C两点．求的面积．
20．成都市将在2022年举办第31届世界大学生夏季运动会，成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊猫．某工厂生产“蓉宝”大熊猫，以30元的单价对外批发进行销售
(1)商场购进一批“蓉宝”的大熊猫，据市场分析，若每个“蓉宝”售价为60元，则每天可售出40个．商场决定尽快减少库存，商店经过调研发现，如果每个“蓉宝”降价1元，那么平均每天可多售出8个，若商店想平均每天盈利2000元，销售单价应定为多少元？
(2)商城销售总利润为w，当销售单价应定为多少元，销售总利润最大？
21．已知二次函数的图象经过点和．
(1)求这个二次函数的表达式：
(2)该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如为常数，的函数，叫二次函数.根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A.y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B. ，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C. 是x的二次函数，故本选项符合题意；
D. ，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C
2．B
【分析】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；根据二次函数的顶点式，顶点坐标为，即可解答．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：B．
3．C
【分析】考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点问题，解题关键是熟练掌握二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点问题，由抛物线与轴的交点确定的符号；由对称轴确定的符号，判断①②；利用图象得出与轴的另一交点，进而得出当时，即可判断③，根据二次函数的图象与x轴有两个交点，即可判断④；根据函数增减性，判断⑤．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，
，
二次函数的图象交轴的负半轴于一点，
，
对称轴是直线，
，
，
，，
故①②正确；
抛物线的对称轴为，且过点，
抛物线与轴另一交点为．
当时，随的增大而增大，
当时，即，
故③错误；
由二次函数的图象与x轴有两个交点可得：，
，
故④错误；
关于直线的对称点的坐标是，
又当时，随的增大而增大，，
，
故⑤正确．
综合上述可得：①②⑤正确，共计3个．
故选：C
4．A
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与轴的交点坐标为，根据二次函数的图象与性质以及一次函数的图象与性质，采用数形结合的方法，逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，交于轴的负半轴，与图象相符，故选项正确；
B．由函数的图象可知，且与交轴的交点为，即函数开口方向朝下，经过点，则，
所以，
所以函数，
所以函数与轴有一个交点，与图象不符，故选项错误．
C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，交于轴的正半轴，与图象不符，故C选项错误；
D．由函数的图象可知，即函数交于轴的负半轴，与图象不符，故选项错误；
故选：A．
5．B
【分析】】本题考查了二次函数性质，主要利用了二次函数的增减性以及对称轴，判断出抛物线开口向上是解题的关键．先判断出抛物线开口向上，再根据二次函数的增减性作出判断即可．
【详解】解：∵点是该抛物线的顶点，，
∴抛物线有最小值，开口向上，
∵，，，
∴点到对称轴的距离比点到对称轴的距离大，
∴，
平方得，
解得．
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性成为解题的关键
先根据函数解析式确定抛物线的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵二次函数
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
．
故选：．
7．C
【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，根的判别式的熟练运用，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口方向向上，
∴，
∵抛物线对称轴位于轴右侧，
∴、异号，即，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，故正确；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，故正确；
根据图象可知，当时，，故正确；
根据图象不能判断与大小关系，故错误；
综上可知：正确，共个，
故选：．
8．C
【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到由正变为负时，自变量的取值即可．观察表中数据得到抛物线与轴的一个交点在和点之间，根据抛物线与轴的交点问题可得到方程一个根的取值范围．
【详解】解：时，；时，；
抛物线与轴的一个交点在和点之间，
方程有一个根在之间．
故选：C
9．B
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线知图像上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断③；由时可判断④；由时函数取得最大值可判断⑤．解题的关键是掌握：对于二次函数，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；当与同号时（即），对称轴在轴左侧；当与异号时（即），对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∵点，，是该抛物线上的点，且，
∴，故结论①错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，故结论②正确；
∵抛物线与轴的一个交点在和之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间，
∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴，即，故结论③正确；
∵由③知，时，且，
∴，故结论④正确；
由函数图像知：当时，函数取得最大值，
∴（为实数），
即（为实数），故结论⑤错误；
∴正确的是②③④．
故选：B．
10．B
【分析】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质，理解点A与点B的位置关系是解题的关键．
根据点A与点B的纵坐标相同可得点A，B关于抛物线的对称轴对称，从而得到，进而即可解答．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为，
∵点和点在抛物线上，
∴点A，B关于抛物线的对称轴对称，
∴，
当时，．
故选：B
11．或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由抛物线过，从而对称轴是直线，故，即，又抛物线开口向下，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，再结合当时，，且，可得，即，再分类讨论即可得解．
【详解】解：由题意，抛物线过，
对称轴是直线．
，即．
又抛物线开口向下，
抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
又当时，，且，
．
．
①时，，
．
②时，，
．
综上，或．
故答案为：或．
12．0或2
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．先求出抛物线的对称轴是直线，由和对应的函数值相等得到或，即可求出答案.
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线的对称轴是直线，
∵和对应的函数值相等，
∴或
解得，或，
故答案为：0或2
13．①③
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由抛物线与轴的交点个数可判断②，由抛物线经过，，可得，，的值，从而判断③④．解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
【详解】解：由抛物线开口向下，对称轴在轴左侧，抛物线与轴交点为可得，，，
，①正确．
抛物线与轴有2个不同交点，
，②错误．
抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线经过，
，
，
，③正确．
由整理得，
，
，
，
，
抛物线开口向下，与轴交点坐标为，，
时，，
即不等式的解集为，④错误．
故答案为：①③．
14．
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图像，解题的关键是根据，可以得到和的关系，然后根据二次函数对称轴是直线，即可得到二次函数的图像的对称轴．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴二次函数的图像的对称轴为直线：.
故答案为：．
15．4
【分析】如图所示，建立坐标系，然后求出抛物线解析式，然后求出N点纵坐标，即可求解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确建立坐标系求解．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意得A点坐标，B点坐标为，C点坐标为，N点横坐标为6，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴当时，，
∴支柱的高度为：米，
故答案为：4．
16．
【分析】利用待定系数法把，代入二次函数中，即可算出、 的值，进而得到函数解析式．
【详解】解：∵二次函数过点，，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质．
（1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式，然后把C点坐标代入求出a的值即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式得到M点的坐标，然后根据三角形面积公式的面积．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得：，解得．
抛物线解析式为，即；
（2）解：，
，
，
．
18．(1)，
(2)，最大值是
【分析】本题考查二次函数与一次函数的解析式，二次函数的面积问题．
（1）把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标；
（2）设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解．
【详解】（1）解：把点坐标代入，
有，解得．
抛物线的解析式为．
当时，有，解得，．
根据题意知点的坐标是；
（2）解：设点坐标为（）
设直线的解析式为，把，分别代入，
得，解得
直线的解析式为．
如图，过点作轴的垂线，交于点，
则点坐标为．
．
即．
当时，面积最大，最大值是．
此时点坐标为．
19．
【分析】根据抛物线的顶点A到x轴的距离为3，与x轴交于B、C两点，可知该抛物线开口向上，顶点坐标在x轴下方，顶点的纵坐标，然后求出m，二次函数解析式，最后令y=0求出BC，运用面积公式求的面积即可．
【详解】解：抛物线的顶点到轴的距离为3，与轴交于、两点，
该函数图象开口向上，，
解得，
抛物线的解析式为：．
令，解得：，
∴BC=，
．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是数形结合得出．
20．(1)销售单价应定为40元
(2)当销售单价应定为元，销售总利润最大
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）设每个“蓉宝”降价x元，根据利润（实际售价进价）销售量列出方程求解即可；
（2）设每个“蓉宝”降价x元，根据利润（实际售价进价）销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个“蓉宝”降价x元，
由题意得，，
整理得：，
解得或，
∵商场决定尽快减少库存，
∴，
∴，
答：销售单价应定为40元；
（2）解：设每个“蓉宝”降价x元，
由题意得
，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为2450，
∴，
∴当销售单价应定为元，销售总利润最大．
21．(1)；
(2)该函数有最小值，最小值为．
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
（1）把和代入运算即可；
（2）把二次函数变成顶点式后解答即可．
【详解】（1）解：把和代入可得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：由（1）得，
∵，开口向上，
∴当时函数有最小值，最小值为．
答案第1页，共2页
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