必修第一册湘教版第1章单元测试卷（含解析）

第1章　集合与逻辑　单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.满足条件M∪{a}={a,b}的集合M的个数是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.3 C.2 D.1
2.命题“ x∈R,x2-x≥0”的否定是 (　　)
A. x∈R,x2-x<0 B. x∈R,x2-x≥0
C. x∈R,x2-x≤0 D. x∈R,x2-x<0
3.设集合A={-1,0,1},B={a,a2},则使B A成立的a的值是 (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.-1或1
4.已知集合P=[1,+∞),Q={1,2},则下列关系中正确的是 (　　)
A.P=Q B.P Q C.Q P D.P∪Q=R
5.如图1,集合A={2,3,4,5,6,8},B={1,3,4,5,7},C={2,4,5,7,8,9},则图中阴影部分表示的集合为 (　　)
图1
A.{2,4,5,8} B.{2,8} C.{2,6,8} D.{1,3,6}
6.在数学漫长的发展过程中,数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象.数学黑洞:无论怎样设值,在规定的处理法则下,最终都将得到固定的一个值,再也跳不出去,就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数学黑洞有“123黑洞”“卡普雷卡尔黑洞”“自恋性数字黑洞”等.定义:若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身,则称这个数是“自恋数”.已知所有一位正整数的“自恋数”组成集合A,集合B={x|-3A.3 B.4 C.7 D.8
7.设全集为U,A,B是U的子集,有以下四个关系式:
甲:A∩B=A;乙: UA UB;丙:( UA)∪( UB)= UA;丁: U(A∪B)=( UA)∩( UB).
若甲、乙、丙、丁中有且只有一个不成立,则不成立的是 (　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
8.某小学对小学生的课外活动进行了调查,调查结果显示:参加舞蹈课外活动的有63人,参加唱歌课外活动的有89人,参加体育课外活动的有47人,三种课外活动都参加的有24人,只选择两种课外活动参加的有22人,不参加其中任何一种课外活动的有15人,则接受调查的小学生的人数为 (　　)
A.120 B.144 C.177 D.192
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A,B是U的两个子集,且满足A∪B=U,A∩( UB)={1,4},( UA)∩B={5,6,7},则 (　　)
A.2∈A B.2 B
C.A∩B={2,3} D.A∪( UB)={1,2,3,4}
10.若集合A={x|a+1A.a<7 B.a<6 C.a<5 D.a<4
11.19世纪戴德金利用他提出的分割理论,通过对有理数集的分割精确地给出了实数的定义,并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A,B满足:A∩B= ,A∪B=N+,则称(A,B)为N+的二划分,例如,A={x|x=2k,k∈N+},
B={x|x=2k-1,k∈N+},则(A,B)就是N+的一个二划分.则下列说法正确的是 (　　)
A.设A={x|x=3k,k∈N+},B={x|x=3k±1,k∈N+},则(A,B)为N+的二划分
B.设A={x|x=2n,n∈N},B={x|x=k·2n,k=2m+3,m,n∈N},则(A,B)为N+的二划分
C.存在一个N+的二划分(A,B),使得 x,y∈A,x+y∈B, p,q∈B,p+q∈B
D.存在一个N+的二划分(A,B),使得 x,y∈A,x三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知集合U={3,4,a2+2a+3},A={3,4}, UA={6},则实数a的值为　　　　.
13.已知全集U=R,集合A={x|-3≤x≤4},集合B={x|a+114.若集合A={x|ax2-3x+1=0}中只含有一个元素,则a的值为　　　　;若A的真子集的个数是3个,则a的取值范围是　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知全集U=R,集合A={x|2(1)求A∩B,B∪( UA);
(2)已知集合C={x|a≤x≤2-a},若C∪( UB)=R,求实数a的取值范围.
16.(15分)已知U=R,集合A={x|1≤x≤3},集合B={x|2m(1)若m=-1,求A∩B;
(2)若集合A,B满足条件　　　　,(三个条件任选一个作答)求实数m的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
17.(15分)设非空集合P是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集.若A={1,2,3,4,5},B={2,4,6,8},满足P∩A= ,P∩B=P,求的值.
18.(17分)设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则∈A,且1 A.
(1)若3∈A,且A中的元素个数为3,求A.
(2)证明:若a∈A,则1-∈A.
(3)集合A中能否只有一个元素 若能,求出集合A,若不能,说明理由.
19.(17分)对于正整数集合A={a1,a2,…an}(n∈N+,n≥3),如果去掉其中任意一个元素ai(i=1,2,…,n)之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合A为“和谐集”.
(1)判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”,并说明理由;
(2)求证:若集合A是“和谐集”,则集合A中元素个数为奇数;
(3)若集合A是“和谐集”,求集合A中元素个数的最小值.
第1章　集合与逻辑　单元测试卷　参考答案
1.C　因为M∪{a}={a,b},所以M {a,b}且b∈M,所以M可能为{b}或{a,b},共2个.
2.D　根据全称量词命题的否定是存在量词命题得到,命题“ x∈R,x2-x≥0”的否定是“ x∈R,x2-x<0”.
3.A　∵A={-1,0,1},B={a,a2},且B A,∴∴a=-1.
4.C　集合P=[1,+∞),是大于或等于1的实数的集合,Q={1,2},是由1和2这两个数组成的集合,显然集合Q是集合P的真子集,即Q P.
5.B　根据题意可得,题图中阴影部分表示集合A,C的交集中的元素去掉B中的元素得到的集合,又A={2,3,4,5,6,8},B={1,3,4,5,7},C={2,4,5,7,8,9},∴A∩C={2,4,5,8},∴阴影部分表示的集合为{2,8}.
6.D　根据“自恋数”的定义可知,所有的一位正整数都是“自恋数”,即A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},
又B={x|-37.B　由题意,甲:A∩B=A A B;
乙: UA UB B A;
丙:( UA)∪( UB)= UA UB UA A B;
丁: U(A∪B)=( UA)∩( UB)对任意的集合A,B均成立.
若有且只有一个不成立,则必为乙.
图D 1
8.B　用Venn图表示题设中的集合关系,不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合A,B,C表示,如图D 1所示,则card(A)=63,card(B)=89,card(C)=47,card(A∩B∩C)=24.不妨设总人数为n,Venn图中三种活动两两重叠所得的三块区域的人数分别为x,y,z,
则card(A∩B)=x+24,card(A∩C)=y+24,card(B∩C)=z+24,x+y+z=22.
由容斥原理得,n-15=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)=63+89+47-(x+24)-(y+24)-(z+24)+24,解得n=144.
9.ACD　因为A∩( UB)={1,4},所以1,4∈A,且1,4 B.又( UA)∩B={5,6,7},所以5,6,7∈B,且5,6,7 A.
又A∪B=U,若2∈A,2 B,或2∈B,2 A,则2∈A∩( UB)或2∈( UA)∩B,不符合题意,所以2∈A且2∈B,同理3∈A且3∈B.综上,A={1,2,3,4},B={2,3,5,6,7},A∩B={2,3},A∪( UB)={1,2,3,4}.故选ACD.
10.AB　∵集合A={x|a+1∴当A= 时,a+1≥2a-3,解得a≤4,此时A∩B= ;
当A≠ 时,a+1<2a-3,解得a>4,
若A∩B= ,则解得-3≤a≤5,∴4故A∩B= 的充要条件为a≤5,
结合选项可知,A∩B= 的必要不充分条件为a<7,a<6.故选AB.
11.BCD　对于A,1 A,1 B,故A∪B≠N+,故A错误.
对于B,因为A={x|x=2n,n∈N},B={x|x=(2m+3)·2n,n,m∈N},
所以B={x|x=3·2n}∪{x|x=5·2n}∪{x|x=7·2n}∪…,
显然A∩B= ,若A∪B=N+,则(A,B)为N+的二划分.
要证A∪B=N+,即证对于任意一个正整数,都可以分解为2n×k的形式,其中n∈N,k为正奇数.
对于任意给定的正整数M,有M=…,其中Pi是素数,xi∈N,i=1,2,3,…,t,
则M必为2n×k的形式,其中k为正奇数,n∈N,即A∪B=N+,故B正确.
对于C,当A={x|x=2k-1,k∈N+},B={x|x=2k,k∈N+}时,满足A∩B= ,A∪B=N+,且 x,y∈A,x+y为正偶数,即x+y∈B, p,q∈B,p+q仍为正偶数,即p+q∈B,故C正确.
对于D,选项B中的集合A和B就满足,故D正确.故选BCD.
12.1或-3　由集合U={3,4,a2+2a+3},A={3,4}, UA={6},得a2+2a+3=6,即a2+2a-3=0,解得a=-3或a=1.
13.{a|a≤2或a≥3}　①当B= ,即a+1≥2a-1,即a≤2时, UB=R,满足A UB;
②当B≠ ,即a+1<2a-1,即a>2时, UB={x|x≤a+1或x≥2a-1},由A UB,得或解得a≥3.
综合①②得实数a的取值范围是{a|a≤2或a≥3}.
14.0或　{a|a<0或0若A的真子集个数是3个,则ax2-3x+1=0有两个实数根,所以解得a<0或0故a的取值范围是{a|a<0或015.(1)由题意得B={x|-2≤x≤5},又A={x|2∴A∩B={x|2∴B∪( UA)={x|x≥9或x≤5}.
(2)依题意得, UB={x|x>5或x<-2},∵集合C={x|a≤x≤2-a},C∪( UB)=R,∴解得a≤-3.
故实数a的取值范围是{a|a≤-3}.
16.(1)若m=-1,则B={x|2m∵A={x|1≤x≤3},∴A∩B={x|1≤x<2}.
(2)若选①A∩ UB= ,则A B,则解得m<-2,
∴实数m的取值范围为(-∞,-2).
若选②x∈A是x∈B的充分条件,则A B,则
解得m<-2,∴实数m的取值范围为(-∞,-2).
若选③ x1∈A, x2∈B,使得x1=x2,则A B,
则解得m<-2,
∴实数m的取值范围为(-∞,-2).
17.∵P∩B=P,∴P B.
又A={1,2,3,4,5},B={2,4,6,8},且一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集非空,且P∩A= ,∴P {6,8},即P={6},{8},{6,8}满足题意.
当P={6}时,由根与系数的关系得-=12,
=36,此时=24;
当P={8}时,由根与系数的关系得-=16,
=64,此时=48;
当P={6,8}时,由根与系数的关系得-=14,
=48,此时=34.
综上,的值为24,48,34.
18.(1)∵3∈A,∴=-∈A,∴=∈A,
∴=3∈A,∴A={3,-,}.
(2)∵a∈A,∴∈A,∴==1-∈A.
(3)假设集合A中只有一个元素,记A={m},则m=,即m2-m+1=0有实数解,又Δ=(-1)2-4=-3<0,
∴m2-m+1=0无实数解,与m2-m+1=0有实数解矛盾,∴假设不成立.故集合A中不能只有一个元素.
19.(1)对于{1,2,3,4,5},去掉2后,{1,3,4,5}不满足题中条件,故{1,2,3,4,5}不是“和谐集”.
(2)设A={a1,a2,…,an}中所有元素之和为M,
由题可知,M-ai(i=1,2,…,n)均为偶数,
因此M和ai(i=1,2,…,n)的奇偶性相同,
①若ai为奇数,则M为奇数,又M为A中所有元素之和,所以n为奇数,
②若ai为偶数,此时取bi=,可得B={b1,b2,…,bn}仍满足题中条件,集合B也是“和谐集”.
若bi仍是偶数,则重复以上操作,最终可得各项均为奇数的“和谐集”,由①知n为奇数.
综上,集合A中元素个数为奇数.
(3)由(2)可知集合A中元素个数为奇数,
当n=3时,显然任意集合{a1,a2,a3}不是“和谐集”.
当n=5时,不妨设a1则有a1+a5=a3+a4　①,或者a5=a1+a3+a4　②;
将集合{a2,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,
则有a2+a5=a3+a4　③,或者a5=a2+a3+a4　④.
由①③,得a1=a2,矛盾;由①④,得a1=-a2,矛盾;
由②③,得a1=-a2,矛盾;由②④,得a1=a2,矛盾.
因此当n=5时,集合A一定不是“和谐集”.
当n=7时,设A={1,3,5,7,9,11,13},
因为3+5+7+9=11+13,1+9+13=5+7+11,
9+13=1+3+7+11,1+3+5+11=7+13,
1+9+11=3+5+13,3+7+9=1+5+13,1+3+5+9=7+11,
所以集合A={1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”.
所以集合A中元素个数n的最小值是7.