必修第一册人教A版第二章单元测试卷（含解析）

第二章　一元二次函数、方程和不等式　单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|x2-7x+6>0},B={x|2-x>0},则A∩B= (　　)
A.{x|x>6} B.{x|12.已知x>-2,则x+的最小值为 (　　)
A.- B.-1 C.0 D.1
3.已知aA.> B.< C.≥ D.≤
4.最早发现勾股定理的人是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于2,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为 (　　)
A. B.1 C.2 D.6
5.已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-10的解集为 (　　)
A.{x|-1或x<-} C.{x|-}
6.若正数a,b满足+=1,则+的最小值为 (　　)
A.2 B. C. D.1+
7.某地为了加快推进垃圾分类工作,新建了一个垃圾处理厂,每月最少要处理300吨垃圾,最多要处理600吨垃圾,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-300x+80 000,为使平均处理成本最低,该厂每月处理量应为 (　　)
A.300吨 B.400吨 C.500吨 D.600吨
8.若实数x+3y=3(x>1,y>),则+的最小值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若正实数x,y满足x>y,则下列结论中正确的有 (　　)
A.xyy2 C.>1 D.>
10.下列关于一元二次不等式叙述正确的是 (　　)
A.若一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为 ,则a<0,且Δ≤0
B.若==,则一元二次不等式a1x2+b1x+c1>0的解集与一元二次不等式a2x2+b2x+c2>0的解集相等
C.已知关于x的一元二次不等式x2-3ax+2a2≥0的解集是{x|x≤x1或x≥x2},且x1≠x2,则a(x1+x2)+的最小值是
D.若一元二次不等式ax2+bx-2>0和不等式<0的解集相同,则a+b的值为-13
11.已知a,b是正实数,若2a+b=2,则 (　　)
A.ab的最大值是 B.+的最小值是2
C.a2+b2的最小值是 D.+的最小值是
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为(x-k+) L,其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,欲使每小时的油耗不超过9 L,则速度x的取值范围为　　　　.
13.已知集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集,则a2+的最小值为　　　　;
若不等式x2+ax+b14.已知a>0,x+y=1且不等式+≥9对任意正实数x,y恒成立,则a的最小值为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0.
(1)若该不等式的解集为{x|x>-2或x<-3},求实数k的值;
(2)若该不等式的解集为空集,求实数k的取值范围.
16.(15分)已知a,b为正数,n∈N+,求证:+≥+.
17.(15分)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:
(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
18.(17分)已知函数y=ax2+bx+c.
(1)当b=2,c=-1时,若“ x∈R,y=0”为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若b=2a-1,c=-2,解关于x的不等式y<0.
19.(17分)高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义A×B={(x，y)|x∈A且y∈B}，将A×B称为“A与B的笛卡尔积”.
(1)若A={-1，0，1}，B={-1，1}，求A×B和B×A.
(2)若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为|H|.已知|A1×A2|=m3(m∈N*)，且存在实数a满足≥a对任意m∈N*恒成立，求a的取值范围，并指明当a取到最值时|A1|和|A2|满足的关系式及m应满足的条件.
第二章　一元二次函数、方程和不等式　单元测试卷　参考答案
1.C　∵A={x|(x-1)(x-6)>0}={x|x<1或x>6},B={x|2-x>0}={x|x<2},∴A∩B={x|x<1}.
2.C　由x>-2得x+2>0,所以x+=x+2+-2≥2-2=0,当且仅当x=-1时取得最小值.
3.B　-==.∵ab2,ab>0,b2-a2<0,∴-=<0,∴<.
4.C　记该直角三角形的斜边为c=2,直角边为a,b,则a2+b2=8.由≤可知,≤2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,等号成立,
所以该直角三角形周长a+b+c≤4+c=4+2,
故这个直角三角形周长取最大值时,该三角形的面积为×2×2=2.
5.B　∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1∴x=-1和x=4是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,
由根与系数关系可得解得
∴不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0可化为-3a(x2-1)+a(x+3)-4a>0,
∵a<0,∴上式等价于3(x2-1)-(x+3)+4>0,
即3x2-x-2=(x-1)(3x+2)>0,解得x>1或x<-.
故不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集为{x|x>1或x<-}.
6.A　因为+=1,a,b为正数,所以0<<1,0<<1,从而a>1,b>2.又+=1可化为(a-1)(b-2)=2,故+≥2=2,当且仅当a=3,b=3时等号成立,所以+的最小值为2.
7.B　由题意,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)的函数关系为y=x2-300x+80 000,所以平均处理成本为s===+-300,其中300≤x≤600,又+-300≥2-300=400-300=100,当且仅当=时等号成立,所以x=400时,平均处理成本最低.故选B.
8.D　+=+=2++,
因为x+3y=3(x>1,y>),所以x-1+3y-1=1,且x-1>0,3y-1>0,
所以+=(x-1+3y-1)(+)=2++≥2+2=4,
当且仅当=,即x=,y=时取等号,
故+的最小值为6.
9.BC　∵x,y为正实数且x>y,∴xy>y2,故A错.
∵x,y为正实数且x>y,∴x-y>0, x+y>0,∴(x-y)(x+y)=x2-y2>0,即x2>y2,故B正确.
∵x,y为正实数且x>y,∴·x>·y,即>1,故C正确.
∵x,y为正实数且x>y,∴x>x-y>0,∴>,故D错误.故选BC.
10.ACD　对于选项A,一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为 ,则a<0,且Δ≤0,A正确;
对于选项B,若==,但a1,a2的符号相反,则两个不等式的解集不可能相等,B错误;
对于选项C,可知x1,x2为方程x2-3ax+2a2=0的两根,则x1+x2=3a,x1x2=2a2,则a(x1+x2)+=3a2+≥2=,当且仅当3a2=,即a2=时取等号,C正确;
对于选项D,∵<0,则(4x+1)(x+2)<0,解得-2故选ACD.
11.AB　由基本不等式得,2=2a+b≥2,当且仅当2a=b且2a+b=2,即a=,b=1时取等号,解得ab≤,∴A正确;
∵+=(+)(2a+b)×=(++2)×≥(2+2)×=2,当且仅当a=,b=1时取等号,
∴+的最小值为2,∴B正确;
a2+b2=5a2-8a+4=5(a-)2+,∴当a=时,a2+b2取得最小值,为,∴C错误;
设4a+b=x,a+b=y,则a=,b=,∴2a+b==2,∴x+2y=6,
∴+=+=(+)(x+2y)×=(++5)×≥(2+5)×=,当且仅当x=y,即4a+b=a+b,a=0,b=2时取等号,又a,b是正实数,∴+>,∴D错误.故选AB.
12.{x|60≤x≤100}　由汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,得(120-k+)=11.5,解得k=100,故每小时油耗为[(x+)-20] L.
由题意得(x+)-20≤9,解得45≤x≤100.又60≤x≤120,故60≤x≤100,所以速度x的取值范围为{x|60≤x≤100}.
13.4　4　集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且仅有两个子集,则Δ=a2-4b=0,所以a2=4b>0,因为a2+=4b+≥2=4,当且仅当4b=,即b=时取等号,所以a2+的最小值为4.
不等式x2+ax+b14.4　∵x>0,y>0,a>0,x+y=1,∴+=(+)(x+y)=a+1++≥a+1+2=a+1+2=(+1)2,当且仅当y=x时,等号成立.∵+≥9恒成立,∴(+1)2≥9,∴+1≥3,∴a≥4.故a的最小值为4.
15.(1)由题意可得-2,-3是方程kx2-2x+6k=0的两根,且k<0,则由根与系数关系可得-2-3=,解得k=-.
(2)不等式kx2-2x+6k<0的解集为空集,
当k=0时,不等式化为-2x<0,解得x>0,与题意不符;
当k≠0时,要满足题意,只需解得k≥.
综上,实数k的取值范围为{k|k≥}.
16.+-(+)=(-)+(-)=+=.
∵a,b为正数,n∈N+,∴(bn-1-an-1)(bn-an)≥0,且anbn>0,
∴≥0,
∴+≥+(当n=1或a=b时,等号成立).
17.(1)因为2x+8y-xy=0,x>0,y>0,
所以2x+8y=xy≥2=8,解得≥8,所以xy≥64,当且仅当x=4y=16时取等号,故xy的最小值为64.
(2)由2x+8y-xy=0,x>0,y>0,得+=1.
则x+y=(+)·(x+y)=10++≥10+2=18,
当且仅当即时,等号成立,
此时(x+y)min=18.
18.(1)当b=2,c=-1时,y=ax2+2x-1,
因为“ x∈R,使得y=0”为真命题,即方程ax2+2x-1=0在x∈R上有解,
当a=0时,2x-1=0,即x=,符合题意;
当a≠0时,Δ=4+4a≥0解得a≥-1且a≠0,符合题意,
综上所述,实数a的取值范围为{a|a≥-1}.
(2)当b=2a-1,c=-2时,
原不等式即为ax2+(2a-1)x-2=(ax-1)(x+2)<0,
①当a=0时,则-x-2<0,解得x>-2,
故不等式的解集为{x|x>-2};
②当a>0时,>-2,解原不等式可得-2此时原不等式的解集为{x|-2③当--2,此时原不等式的解集为{x|x<或x>-2};
④当a=-时,原不等式即为-(x+2)2<0,解得x≠-2,此时原不等式的解集为{x|x≠-2};
⑤当a<-时,>-2,解原不等式可得x<-2或x>,此时原不等式的解集为{x|x<-2或x>}.
综上所述,当a<-时,原不等式的解集为{x|x<-2或x>};
当a=-时,原不等式的解集为{x|x≠-2};
当--2};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x>-2};
当a>0时,原不等式的解集为{x|-219.(1)由题意可得，A×B={(-1，-1)，(-1，1)，(0，-1)，(0，1)，(1，-1)，(1，1)}，
B×A={(-1，-1)，(-1，0)，(-1，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)}.
(2)设|A1|=c，|A2|=d，c，d∈N*，
则|A1×A2|=|A2×A1|=cd=m3，|A1×A1|=c2，|A2×A2|=d2，
可得==≥=，
当且仅当=，即c=d时，等号成立，
所以实数a的取值范围为{a|a≤}.
若a取到最大值，则c=d，即|A1|=|A2|，
可得c2=m3，即c==()3∈N*，
所以m=k2，k∈N*.