必修第一册北师大版第三章单元测试卷（含解析）

第三章　指数运算与指数函数　单元检测卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(32-100的值为 (　　)
A.-2 B.2 C.-4 D.4
2.已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|<2x+1<8},则M∩N= (　　)
A.{0,1} B.{-1,0} C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0,1,2}
3.函数f(x)=的图象 (　　)
A.关于原点对称 B.关于直线y=x对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
4.已知a=0.24,b=0.94,c=0.25.7,则 (　　)
A.b>c>a B.a>b>c C.b>a>c D.c>a>b
5.已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=()x+1,则f(x)的大致图象是 (　　)
A B C D
6.函数y=(的单调递增区间是 (　　)
A.(-∞,-1] B.[2,+∞) C.[,2] D.[-1,]
7.已知函数f(x)=+x3,则不等式f(2a)+f(1-a)>0的解集为 (　　)
A.(0,+∞) B.[-1,+∞) C.(-1,+∞) D.(-1,0)
8.已知f(x)=4x-m·2x+1,设g(x)=,若存在不相等的实数a,b同时满足方程g(a)+g(b)=0和f(a)+f(b)=0,则实数m的取值范围为 (　　)
A.[,+∞) B.(-∞,-] C.[-,+∞) D.(-∞,]
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知a+a-1=3,下列各式中正确的是 (　　)
A.a2+a-2=7 B.a3+a-3=18 C.+=± D.a+=2
10.函数y=22x-2x+1+2的定义域为M,值域P=[1,2],则下列结论中一定正确的有 (　　)
A.M=(-∞,1) B.M (-∞,1] C.1∈M D.0∈M
11.若实数a,b满足2a+3a=3b+2b,则下列关系式中可能成立的是 (　　)
A.0三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.函数y=+的定义域是　　　　.
13.如果指数函数f(x)=(a-1)x是R上的减函数,则函数g(x)=a|x|的单调递增区间为　　　　.
14.已知函数f(x)=2x且f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式2a·g(x)+h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,则
(1)g(x)=　　　　;
(2)实数a的取值范围是　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)计算下列各式的值:
(1)(×)6+(-4×(-×80.25-(-2 023)0;
(2)÷(1-2)×.
16.(15分)在①g2(x)+f 2(x)=g(2x),②g2(x)-f 2(x)=1,③f(x)g(x)=f(2x)这三条性质中任选一个,补充在下面的命题中,先判断命题的真假,若命题为真,请写出证明过程;若命题为假,请说明理由.
命题:若设函数f(x)=,g(x)=,则f(x)与g(x)满足性质　　　　.
注:如果选择多个性质分别解答,按第一个解答计分.
17.(15分)已知函数f(x)=()ax,a为常数,且函数的图象过点(-1,2).
(1)求a的值;
(2)若g(x)=4-x-2,且存在x使得g(x)=f(x),求满足条件的x的值.
18.(17分)已知函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,g(x)=3a-4x的定义域为[0,1].
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)判断函数g(x)的单调性;
(3)求函数g(x)的值域.
19.(17分)已知函数f(x)=2x-(a∈R).
(1)若函数f(x)是奇函数,求实数a的值;
(2)设函数g(x)=2-2x-2+(a∈R),
h(x)=f(x)+g(x),已知任意x>0,h(x)>2+3a恒成立, 求实数a的取值范围.
第三章　指数运算与指数函数　单元检测卷　参考答案
1.B　(32-100=3-1=2.
2.C　∵M={-2,-1,0,1,2},N={x|<2x+1<8}={x|-1∴M∩N={-2,-1,0,1,2}∩{x|-23.D　显然函数f(x)的定义域为R,∵f(-x)===f(x),∴f(x)是偶函数,图象关于y轴对称.
4.C　∵函数y=0.2x在R上是减函数,5.7>4,∴a=0.24>0.25.7=c.∵函数y=x4在(0,+∞)上是增函数,0.9>0.2,∴a=0.24<0.94=b,故有b>a>c.
5.B　当x>0时,指数函数y=()x为减函数,将其图象向上平移1个单位长度,可得函数f(x)=()x+1(x>0)的图象,而f(x)是R上的奇函数,所以只有选项B符合要求.
6.C　令t==,易知-1≤x≤2,∴y=()t,0≤t≤,易知t的单调递减区间为[,2],∴原函数的单调递增区间为[,2].
7.C　因为f(x)=+x3=1-+x3,所以f(x)在R上是增函数,又f(-x)=-x3=-(+x3)=-f(x),所以f(x)在R上是奇函数.由f(2a)+f(1-a)>0,得f(2a)>-f(1-a)=f(a-1),所以2a>a-1,即a>-1.
8.A　若g(a)+g(b)=0,则+==0,
整理得2a+b+1=2,即a+b+1=1,则a+b=0,即b=-a,
∴f(a)+f(b)=0有解等价于f(a)+f(-a)=0有解,即4a-m·2a+1+4-a-m·2-a+1=0,则m=.
∵===-,
设t=2a+2-a,则t≥2,∴-=-,令h(t)=-,则在t≥2时,h(t)单调递增,
即m=≥×2-=,∴要使m=有解,则m≥.
故实数m的取值范围为[,+∞).
9.ABD　对于A,∵a+a-1=3,∴a2+a-2=(a+a-1)2-2=9-2=7,故A正确;
对于B,∵a+a-1=3,∴a3+a-3=(a+a-1)(a2-1+a-2)=3×6=18,故B正确;
对于C,∵a+a-1=3,∴(+)2=a+a-1+2=5,又a>0,∴+=,故C错误;
对于D,∵a3+a-3=18,且a>0,∴(a+)2=a3+a-3+2=20,∴a+=2,故D正确.
10.BCD　令t=2x>0,则y=t2-2t+2=(t-1)2+1(t>0)是关于t的一元二次函数.由值域P=[1,2],且根据二次函数的图象(图略)可知,t的取值范围最大是(0,2],因此x的取值范围,即定义域M (-∞,1].当y=1时,x只能为0,所以0∈M.当y=2时,x只能为1,所以1∈M.所以正确结论的选项为BCD.
11.ABD　由2a+3a=3b+2b,设f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x,易知f(x),g(x)都是增函数,画出f(x),g(x)的图象,如图D 1所示.
图D 1
根据图象可知,当0当x<0时,因为f(x)图象在g(x)图象的下方,所以b当a=b=0或1时,显然成立,故D正确;
当x>1时,因为f(x)图象在g(x)图象下方,所以112.{x|-2≤x<0且x≠-1}　由题意得不等式组即解得-2≤x<0且x≠-1,所以函数的定义域是{x|-2≤x<0且x≠-1}.
13.[0,+∞)　∵指数函数f(x)=(a-1)x是R上的减函数,
∴0设t=|x|,则根据复合函数的单调性可得,
当x≥0时,函数g(x)单调递增,当x<0时,函数g(x)单调递减.
故函数g(x)的单调递增区间是[0,+∞).
14.(1)　∵f(x)=g(x)+h(x)　①,其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,
∴f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)　②,
①②联立得g(x)==.
(2)[-,+∞)　h(x)=f(x)-g(x)=.
若不等式2a·g(x)+h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,即a(2x-2-x)+≥0恒成立.
令t=2x-2-x,则t∈[,],则22x+2-2x=(2x-2-x)2+2=t2+2,即2at+t2+2≥0在t∈[,]上恒成立,即a≥-(t+)恒成立.
∵y=t+在t∈[,]上单调递增,∴当t=时,t+取得最小值为,∴-(t+)的最大值为-,∴a≥-.
故实数a的取值范围为[-,+∞).
15.(1)原式=(×)6+(-4×(24×7-2-×(23-1=22×33+-22×(2-2×7)-×-1=4×27+2-7-2-1=100.
(2)原式=÷×=××==a.
16.若选①,命题为真命题.证明:
g2(x)+f 2(x)=()2+()2=+==g(2x),
所以g2(x)+f 2(x)=g(2x)成立.
若选②,命题为真命题.证明:
g2(x)-f 2(x)=()2-()2= - =1,所以g2(x)-f 2(x)=1成立.
若选③,命题为真命题.证明:
f(x)g(x)=·=,
f(2x)=· = ,
所以f(x)g(x)=f(2x)成立.
17.(1)由已知得()-a=2,解得a=1.
(2)由(1)得f(x)=()x,又g(x)=f(x),所以4-x-2=()x,即[()x]2-()x-2=0.
令()x=t(t>0),则t2-t-2=0,即(t-2)(t+1)=0,
解得t=2或t=-1(舍去),于是()x=2,所以x=-1.
故满足条件的x的值为-1.
18.(1)∵f(x)=3x,∴f(a+2)=3a+2=18,∴3a=2.
∴g(x)=2-4x(x∈[0,1]).
(2)设x1,x2为区间[0,1]上任意的两个值,且x1g(x2)-g(x1)=2--2+=-,
∵0≤x1,∴g(x2)-g(x1)<0,即g(x2)∴函数g(x)在[0,1]上单调递减.
(3)∵g(x)在[0,1]上单调递减,∴x∈[0,1]时,有g(1)≤g(x)≤g(0).
∵g(1)=2-41=-2,g(0)=2-40=1,∴-2≤g(x)≤1.
故函数g(x)的值域为[-2,1].
19.(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=- f(x),即2-x-=-(2x-),
化简得(2x+)(a-1)=0,故a=1.
(2)h(x)=f(x)+g(x)=2x-+2-2x-2+=·2x++2>2+3a,即·2x+>a.
设t=2x,因为x∈(0,+∞),所以t∈(1,+∞).
·2x+>a可化为t+>a,即t2-4at+4a>0.
h(x)>2+3a对任意的x∈(0,+∞)恒成立,即对任意t∈(1,+∞),t2-4at+4a>0恒成立.
记m(t)=t2-4at+4a,对称轴方程为t=2a.①当a≤时,2a≤1,当t∈(1,+∞)时,m(t)=t2-4at+4a>m(1)=1>0恒成立,故a≤.②当a>时,2a>1,当t∈(1,+∞)时,m(t)=t2-4at+4a≥m(2a)=-4a2+4a>0,得0,
故综上所述,a的取值范围为(-∞,1).