七年级培优竞赛专题09 含绝对值符号的一次方程（含答案）

专题09 含绝对值符号的一次方程
阅读与思考
绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：
1．形如的最简绝对值方程
这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：或．
2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程
这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．
解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．
例题与求解
【例1】 方程的解是__________．
（四川省竞赛试题）
解题思路：设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一无一次方程求解．
【例2】 方程的整数解有（ ）．
A．2个 B．3个 C．5个 D．无穷多个
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：借助数轴，从绝对值的几何意义入手能获得简解．
【例3】 已知：有理数、、满足，．并且，，．求的值．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
解题思路：本题关键在于确定、、的符号．三者的符号有联系，可围绕其中一个数分类讨论．
【例4】 解下列方程：
（1）；
（天津市竞赛试题）
（2）；
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
（3）．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：解多重绝对值方程的基本方法是：根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．
【例5】 已知，求的最大值与最小值．
（江苏省竞赛试题）
解题思路：已知等式可化为：，再根据绝对值的几何意义来探求、的取值范围，进而可得的最大值与最小值．
【例6】 当时，试判定关于的方程的解的情况．
（上海市竞赛试题）
解题思路：由于，且，就有，进而计算．
能力训练
A级
1．方程的解是_______________．
（重庆市竞赛试题）
2．方程的解是_______________，方程的解是_______________．
3．已知，那么__________．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
4．巳知，那么的值为__________．
（“希望杯”邀请赛试题）
5．若方程的解分别是、，则__________．
（“希望杯”邀请赛试题）
6．满足（）的有理数和，一定不满足的关系是（ ）．
A． B． C． D．
7．有理数、满足，则（ ）．
A． B． C． D．
8．若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则，，的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
（“希望杯”邀请赛试题）
9．方程的解的个数为（ ）．
A．不确定 B．无数个 C．2个 D．3个
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
10．若关于的方程有三个整数解，则的值是（ ）．
A．0 B．2 C．1 D．3
（全国初中数学联赛试题）
11．解下列方程：
（1）； （2）； （3）；
（五城市联赛试题）
（4）．
（全国通讯赛试题）
12．求关于的方程（）的所有解的和．
（陕西省竞赛试题）
B级
1．关于的方程的解是，则的值是__________；关于的方程的解是，则有理数的取值范围是__________．
2．若，则满足条件的整数的值共有__________个，它们的和是__________．
（“希望杯”邀请赛试题）
3．若，，则使成立的的取值范围是__________．
（武汉市选拔赛试题）
4．已知且，那么__________．
5．若有理数满足方程，那么化简的结果是（ ）．
A．1 B． C． D．
6．适合关系式的整数的值有（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．大于2的自然数
7．如果关于的方程有实根．那么实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
（武汉市竞赛试题）
8．巳知方程有一个负根，而没有正根，那么的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
（全国初中数学联赛试题）
9．设、为有理数，且方程有三个不相等的解，求的值．
（“华罗庚金杯”邀请赛试题）
10．当满足什么条件时，关于的方程有一解？有无数多解？无解？
（江苏省竞赛试题）
11． 用符号“ ”定义一种新运算：对于有理数、（，），有，已知，求的值．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
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专题09 含绝对值符号的一次方程
例1 x＝－10 提示：x－5＝±（－5－2x），解得x＝－10或x＝0（舍去）．
例2 C 提示：用数轴表示，方程中未知数x表示到－1与3的距离之和等于4的整数值，分别是－1，0，1，2，3．
例3 由得，∴ ，．
又x，y异号，y，z同号，
故当y＝2，x＝－3时，z＝1，即x＋y＋z＝0；
当y＝－2，x＝3时，z＝－3，即x＋y＋z＝－2．
综上可知x＋y＋z的值为0或－2．
例4 （1）或
（2）提示：当x＜－3时，原方程化为，解得x＝－5；
当－3≤x＜1时，原方程化为，解得x＝－1；
当x≥1时，原方程化为，解得x＝3；
故原方程的解是x＝－5，－1，3．
例5 提示：由绝对值的几何意义知，当－2≤x≤1且－1≤y≤5时，
有，
故当x= －2, y=－1时,x+y有最小值为－ 3; 当X=1时,y=5时,x+y有最大值为6.
例6 分2种情况考虑:
当且仅当m≠1时,其解为，这是m满足的条件为 ，即0≤m<1,不符合-1≤m<0的条件,故应舍去.
同理,有②得m>0时,方程有唯一的解.但不符合-1≤m<0.故方程无解.
A级
x=11 提示:原方程可化为5x+6=6x-5或5x+6=5-6x.分两种情况讨论.
2．或
0或-1
5
2004 提示:x =1002+1002 x =1002-1002
6． A 提示:a7． C
8．A
9．B
10．C 提示:用筛选法
11．　⑴ ｘ=-1 或ｘ=-3
　 　⑵ ｘ=4
⑶ 或ｘ=2
⑷提示:X<-1;-， , X≥2 四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到
时,原方程化为 , 即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足的x值都是方程的解.
提示 (0B级
-1 a≥0 提示:由 得a×1≥0,即 a≥0
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b≤x≤a 提示用绝对值得几何意义解
1 或-1 提示: 当a＜-1时,原式=1,当-1D
C 提示由绝对值的几何意义知-2≤3X≤4
D 提示用绝对值得几何意义求解
C 提示:当a＞1时,方程有一负根;当a＜1时,方程有一正根.
提示:若b+3,b-3都是非负的,而且如果其中有一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3
提示:由绝对值的几何意义知:当-3＜a＜3时,方程有一解;当a=±3时,方程有无穷多个解;当a>3或a＜-3时,方程无解.
根据题意: 解得
x=±2003
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