七年级培优竞赛专题25 图形面积的计算（含答案）

专题25 图形面积的计算
阅读与思考
计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型：
1.常见图形面积的计算
由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解.
2.非常规图形面积的计算
非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.
计算图形的面积还常常用到以下知识：
（1）等底等高的两个三角形面积相等.
（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比.
（3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比.
（4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积.
（5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积.
（6）平行四边形的对角线平分它的面积.
熟悉如下基本图形：
例题与求解
【例1】 如图，在直角△ABC的两直角边AC，BC上分别作正方形ACDE和CBFG.AF交BC于W，连接GW，若AC=14，BC=28，则S△AGW=______________．
(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)
解题思路：△AGW的面积可以看做△AGF和△GWF的面积之差.
【例2】 如图，已知△ABC中的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF.四边形BDCE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
（2013年全国初中数学竞赛广东试题）
解题思路：设△ABC底边BC上的高为.本例关键是通过适当变形找出和DE之间的关系．
【例3】 如图，平行四边形ABCD的面积为30cm2，E为AD边延长线上的一点，EB与DC交于F点，已知三角形FBC的面积比三角形DEF的面积大9cm2，AD=5cm，求DE长.
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE及其它线段表示．
【例4】 如图，四边形ABCD被AC与DB分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE=80 cm，CE=60 cm，DE=40 cm，AE=30 cm，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？
（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）
解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.
【例5】 如图，△ABC的面积为1，D，E为BC的三等分点，F，G为CA的三等分点，求四边形PECF的面积.
解题思路：连CP，设S△PFC=，S△PEC=，建立，的二元一次方程组.
【例6】如图，E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点， DE与AF交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC.求梯形APCQ的面积与平行四边形ABCD的面积的比值．
（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）
解题思路：连接EF，DF，AC，PB，设S□ABCD=，求得△APQ和△CPQ的面积.
能力训练
A 级
1.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O.过点O的直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分面积是______.
（海南省竞赛试题）
2.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是_____________平方厘米.
（“希望杯”邀请赛试题）
3.如图，ABCD是边长为的正方形，以AB，BC，CD，DA分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________.
（安徽省中考试题）
4.如图，已知AB，CD分别为梯形ABCD的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD的面积是_________平方厘米.
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
5.如图，长方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=，则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的( )倍.
A.2 B. 3 C. 4 D.5
6.如图，是一个长为，宽为的长方形，两个阴影图形都是一对长为的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).
A. B. C. D.
7．如图，线段AB=CD=10cm，和是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD的面积是以D为圆心、DC为半径的圆面积的，则阴影部分的面积是( )．
A．25π B. 100 C.50π D. 200
（“五羊杯”竞赛试题）
8．如图，一个大长方形被两条线段AB、CD中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )．
A. B. C. D．
9．如图，长方形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的任一点，△ABG，△DCH的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.
（五城市联赛试题）
10.如图，正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，已知正方形BEFG的边长为4，求△DEK的面积．
（广西壮族自治区省南宁市中考试题）
B 级
1.如果图中4个圆的半径都为，那么阴影部分的面积为_____________.
（江苏省竞赛试题）
2.如图，在长方形ABCD中，E是BC上的一点，F是CD上的一点，若三角形ABE的面积是长方形ABCD面积的，三角形ADF的面积是长方形ABCD面积的，三角形CEF的面积为4cm2，那么长方形ABCD的面积是_________cm2.
（北京市“迎春杯”邀请赛试题）
3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.
（“希望杯”邀请赛试题）
4.如图，若正方形APHM，BNHP，CQHN的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.
(“五羊杯”竞赛试题）
5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积是原三角形面积的______倍.
(“五羊杯”竞赛试题）
6.如图，在长方形ABCD中，AE=BG=BF=AD=AB=2，E，H，G在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ).
A.8 B.12 C.16 D．20
7.如图，边长分别为8cm和6cm的两个正方形，ABCD与BEFG并排放在一起，连接EG并延长交AC于K，则△AKE的面积是( ).
A.48cm2 B.49cm2 C.50cm2 D．51cm2
（2013年“希望杯”邀请赛试题）
8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S2，则的整数部分是( ).
A.0 B.1 C.2 D．3
（全国初中数学联赛试题）
9.如图，△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，则△ABC的面积是( ).
A.25 B.30 C.35 D．40
10.已知O（0，0），A（2，2），B（1，a），求a为何值时，S△ABO=5？
11.如图，已知正方形ABCD的面积为1，M为AB的中点，求图中阴影部分的面积.
（湖北省武汉市竞赛试题）
12.如图，△ABC中，.求的值.
（“华罗庚金杯”邀请赛试题）
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专题25 图形面积的计算
例1 196 提示：×28×（28+14）-×28×28=×28×14=28×7=196.
例2 D 提示：设△ABC底边上的高为h，则×BC×h=24 故h====. 设△ABC底边DE上的高为，△BDE底边DE上的高为，则h=.∴=+=+）===6.
例3 2cm.提示：设△ABE的AE边上的高为hcm，DE长为xcm，则，解得DE=2.例4 提示： , , ,.
例5 ，.设，则，
于是 ①+②，得，
∴，即.
例6 设，因为E,F分别是AB,BC的中点，所以.
∴.如图，连接EF,DF，则.所以.
设，则.由得. ∴ . ∴.
连接AC，又∵AQ∥PC，， ∴. ∴.连接PB，则. 由， 得.∴，从而，.于是. ∴.
A级
提示：,.
48.
15.625.
B.
C.
B.
C.
35 提示:连接EF，,.
解法一：将△DEK的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE交PK的延长线于点H.设正方形ABCD，正方形PKPF的边长分别a，b.则
=
=
=16.
解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则∠DBA=∠GEB=45°, ∴DB∥GE,得，同理GE∥FK，得.
∴.
B级
1. （或）.
2. 120 提示：设AB=a，AD=b，CE=c，CF=d.则BE=b-c-，DF=a-d，c= b，d= a，cd=8.
3. 18.75（≈3）.
4. 8.5 提示：连HD.
5. 48 提示：“生长”n次后得到边形，面积为原面积的倍.
6. B.
7. B 提示：过点K作KH⊥AB. ∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°, ∴KH=AE=7. .
8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的部分即可.
9. B.
10. ⑴当a＞1时，即B在OA上方时，如图. ，∴，解得a=6.
⑵当0≦a＜1时，即B在OA于x轴之间时，依题意，有，解得a=-4（不合题意，舍去）.
⑶当a＜0时，即B在x轴下方时，有，解得a=-4.
综上所述，当a=-4或a=6时，.
. ∵为公共部分, ∴.又因为△AMG与△AMD的高的高相等（以A为顶点作高），△MCG与△MCD的高相等（以C为顶点作高），∴,即，解得：.∴.
连BG，设,，.则 解得
同理可得： 又 S，得 .∴ 故 .
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