七年级培优竞赛专题17 不等式（组）的应用（含答案）

专题17 不等式（组） 的应用
-1＜m＜1
例2 A
例3 设，因a1，a2，…a7为正整数，故，，，，，，上面不等式相加，得，，故的最大值为19.
设小熊玩具和小猫玩具的个数分别为x、y，总售价为z，则
当总售价z=2200元时，则为，即
解得，故x=14.
当x=14时，y=24，z=80×14+45×24=2200元，故安排生产小熊玩具14个，小猫玩具24个可达到总售价2200元.
提示：设兑换成的1分，2分，5分硬币分别为x枚，y枚，z枚，则
解得，故z=41，42，43，44，45.由此得出x，y的对应值 ，于是得到5种方案：（x，y，z）=（73，36，41）；（x，y，z）=（76，32，42）；（x，y，z）=（79，28，43）；（x，y，z）=（82，24，44）；（x，y，z）=（85，20，45）.
例6 ∵1＜k＜n
∴
即，∴，即
∴n=19。于是，解得k=10，故a=n+k=19+10=29.
A级
1.a＞1992 2. 0＜x-y＜1
3.36 提示：b=20-a,c=24-a.d=22-a，，由a，b，c，d为正整数，得，原式=66-2a，∴M=66-2×1=64， N=66-2×19=28，则M-N=64-28=36.
4. 6或11或16 提示：5a-4≥0，9-2a≥0以及5a-4≥9-2a.
5. 54 提示：设有白球x个，黄球y个，红球z个，则依题意有，由①得，∴，即，又∵x为整数，∴，则②式得，即.
6. C 提示：由条件得a＞0，b＜0或a＜0，b＜0，从而或，.
7. A 8. D
9. 购买46张6元票、94张10元票花钱最少，最少需要1216元.
10. （1）6 8 （2）甲愉至少应工作4小时.
B级
1. 3026 提示：a≤3b-1，b≤5c-1，c≤7d-1，d≤30-1=29.
2. 10 提示：设底楼有x间客房，则
3.
4. 提示：由题中条件知，解得，又因为，故，解得.
5. A 提示：设，，则
，故M＞N.
6. A 设出版社发行x套书，则100×（1-0.3）x≥（8000+20x）（1+10%）.
提示：设甲、乙、丙三种盐水应分别取x克，y克，z克，
解得，从而，解得
8.（1）设A队胜x场、平y场、负z场，则，，
∵，∴，
解得.
∴x=4，5或6，即A队获胜、平、负的场数有三种情况：当x=4时，y=7，z=1；当x=5时，y=4，z=3；当x=6时，y=1，z=5.
⑵W=（1500+500）x+（700+500）y+500z=19300-600x.
当x=4时，W最大，W最大值=19300-600×4=16900元.
9.提示：⑴设改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为a万元和b万元，依题意得，解得 .即改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元.
⑵设该县A，B两类学校分别为m所和n所.则60m+85n=1575，m=.∵m≤5，∴≤5，解得n≥15，即B类学校至少15所.
⑶设今年改造A类学校x所，则改造B类学校为（6-x）所，
依题意得，解得1≤x≤4.
∵x取整数，∴x=1，2，3，4，即共有4种改造方案.
10.设x1，x2，…x2008中有q个0，r个-1，s个1，t个2，
则，解得s+3t=1104，故0≤t≤368.
由x13+x23+…x20083=-r+s+8t=6t+200得200≤x13+ x23+…x20083≤6×368+200=2048.
∴当t=0，s=1104，r=904时，原式取最小值200；当t=368，s=0，r=536时，原式取最小大值2408.
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专题17 不等式(组)的应用
阅读与思考
许多数学问题和实际问题所求的未知量往往受到一些条件的限制，可以通过数量关系和分析，列出不等式(组)，运用不等式的有关知识予以求解，不等式(组)的应用主要体现在：
1．作差或作商比较有理数的大小．
2．求代数式的取值范围．
3．求代数式的最大值或最小值．
4．列不等式(组)解应用题．
列不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的步骤相仿，关键是在理解题意的基础上，将一些词语转化为不等式．如“不大于”“不小于”“正数”“负数”“非正数”“非负数”等对应不等号：“≤”“≥”“＞0”“＜0”“≤0”“≥0”．
例题与求解
【例1】如果关于的方程只有负根，那么的取值范围是_________．
(辽宁省大连市“育英杯”竞赛试题)
解题思路：由＜0建立关于的不等式．
【例2】已知A＝，B＝，C＝，则有( )．
A．A＞B＞C B．C＞B＞A C．B＞A＞C D．B＞C＞A
(浙江省绍兴市竞赛试题)
解题思路：当作差比较困难时，不妨考虑作商比较
【例3】已知，，，，，，是彼此不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数的最大值．
(北京市竞赛试题)
解题思路：设＜＜＜···＜，则+++···+＝159，解题的关键是怎样把多元等式转化为只含的不等式．
【例4】一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位，生产一个小熊玩具要使用15个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫玩具要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元．在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊玩具、小猫玩具的个数，可以使小熊玩具和小猫玩具的总售价尽可能高．请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2 200元．
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路：列不等式的关键是劳力限制在450个工时，原料限制为400个单位．引入字母，把方程和不等式结合起来分析．
【例5】某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分，2分，5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案．
(河北省竞赛试题)
解题思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合组，把解方程组、解不等式组结合起来．
【例6】已知，皆为自然数，且1＜＜．若，．求的值．
(香港中学数学竞赛试题)
解题思路：此题可理解为在个连续自然数中去除其中一个数 (且1＜＜，是非两头的两个数)，使剩余的数的平均数等于10，求和之和。
能力训练
A级
1.若方程的解小于零，则的取值范围是___________．
2.若方程组的解为，，且2＜＜4，则－的取值范围是___________．
（山东省聊城市中考试题）
3.，，，是正整数，且＋＝20，＋＝24，＋＝22，设＋＋＋的最大值为M，最小值为N，则M－N＝_________．
（重庆市竞赛试题）
4．一辆公共汽车上有名乘客，到某一车站时有名乘客下车，则车上原有______________名乘客．
（吉林省长春市中考试题）
5．一个盒子里装有红、黄、白三种颜色的球，若白球至多是黄球的，且至少是红球的，黄球与白球合起来不多于55个，则盒子中至多有红球__________个．
(河北省竞赛试题)
6．若，且≥2，则( )
A．有最小值 B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值
(浙江省杭州市中考题)
7．设，，则P，Q的大小关系是（ ）．
A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．不能确定
8．小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的那一端仍然着地，请你猜一猜小芳的体重应小于( )
A．49千克 B．50千克 C．24千克 D．25千克
(山东省烟台市中考试题)
9．中国第三届京剧艺术节在南京举行，某场京剧演出的票价有2元到100元多种，某团体需购买票价6元和10元的票共140张，其中票价为10元的票数不少于票价为6元的票数的2倍．问这两种票各购买多少张所需的钱最少 最少需要多少钱
(江苏省竞赛试题)
10．某港受潮汐的影响，近日每天24小时港内的水深变化大体如图所示：
一艘货轮于上午7时在该港码头开始卸货，计划当天卸完货后离港．已知这艘货轮卸完货后吃水深度为2.5 m(吃水深度即船底与水面的距离)．该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5 m时，才能进出该港．
根据题目中所给的条件，回答下列问题：
(1)要使该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水深不能少于_______m，卸货最多只能用______小时；
(2)已知该船装有1200吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸180吨，工作了一段时间后，交由乙队接着单独卸，每小时卸120吨．如果要保证该船能在当天卸完货并安全出港，则甲队至少应该工作几小时，才能交给乙队接着卸？
（江苏省苏州市中考试题）
B级
1．设，，，都是整数，且＜3，＜5，＜7，＜30，那么的最大可能值为_______．
（“新世纪杯”数学竞赛试题）
2．某宾馆底楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排住底楼，每间住4人，房间不够；每间住5人，有房间没有住满5人．又若全安排在二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，有房间没有住满4人，该宾馆底楼有客房___________间．
3．已知＜0，满足不等式，那么的取值范围是___________．
4．若，满足，S＝，则S的取值范围是__________．
(广西竞赛试题)
5．已知，，，…，是彼此互不相等的负数，且M＝(＋＋…＋)(＋＋…＋)，N＝(＋＋…＋)(＋＋…＋)，那么M与N的大小关系是( )
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定
(江苏省竞赛试题)
6．某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印刷一套增加成本20元．如果每套书定价100元，卖出后有3成收入给经销商，出版社要盈利10％，那么该书至少要发行( )套．
A．2 000 B．3 000 C．4 000 D．5 000
(“希望杯”邀请赛试题)
7．今有浓度为5％，8％，9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克，60克，47克，现要配制浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克 最少可用多少克
(北京市竞赛试题)
8．为了迎接世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则与奖励方案如下表：
胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖金（元/人） 1500 700 0
当比赛进行到第12轮结束(每队均需比赛12场)时，A队共积1 9分．
(1)请通过计算，判断A队胜、平、负各几场．
(2)若每赛一场，每名参赛队员均得出场费500元．设A队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W(元)，试求W的最大值。
(黑龙江省中考试题)
9．为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A，B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 575万元，改造一所A类学校和两所．B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．
(1)改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元
(2)若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所
(3)我市计划今年对该县A，B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A，B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出有几种改造方案．
(湖北省襄樊市中考试题)
10．设，，…，是整数，且满足下列条件：
(1)－l≤≤2(＝1，2，…，2 008)；
(2)；
(3)．
求的最大值和最小值．
(“宗沪杯”竞赛试题)
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