河北省承德市承德县第一中学等校2025届高三上学期摸底联考数学试题（含答案）

河北省承德市承德县第一中学等校2025届高三上学期摸底联考
数学试题
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为纯虚数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.渔民在某次打捞中打捞到的条鱼的质量单位：斤分别为：，，，，，，，，则这组数据的上四分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，则( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的左右焦点分别为上一点满足，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( ) 注：若随机变量，则
A. B. C. D.
6.过点可作曲线的切线条数为( )
A. B. C. D.
7.在圆锥中，轴截面为腰长为的等腰直角三角形，为底面圆上一点，且为线段上一动点，为等腰三角形，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知函数，则( )
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递减
D. 在区间的值域为
9.已知点为抛物线的焦点，为上不重合的两个动点，为坐标原点，若直线直线斜率存在且不为与仅有唯一交点，则( )
A. 的准线方程为
B. 若线段与的交点恰好为中点，则
C. 直线与直线垂直
D. 若，则
10.如图所示的曲线被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中为坐标原点动点到点的距离满足：，则( )
A. 的最大值是
B. 若是曲线上一点，且在第一象限，则
C. 与有个交点
D. 面积的最大值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.若，则 ．
12.写出函数的一个极值点 ．
13.已知数列满足，则的前项和 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
某智能机器人体验店近日生意火爆，来店的消费者络绎不绝，店长对最近位消费者的体验机器人时长不超过分钟进行了统计，统计结果如下表所示，已知每位消费者在该人工智能体验店每体验一台机器人的时间为分钟，该体验店的利润为元，体验时间为分钟或者分钟，其利润为元，体验时间为分钟或者分钟，其利润为元用表示该体验店从一名消费者身上获取的利润．
体验时间 分钟 分钟 分钟 分钟 分钟
频数
若以频率作为概率，求在该体验店消费的名消费者中，至多有名体验者体验分钟的概率；
求的分布列及期望．
15.本小题分
已知数列是以为首项，为公比的等比数列，等差数列有，．
求的通项公式；
求数列的最大项的值．
16.本小题分
正四棱柱中，点分别在上，且四点共面．
若，记平面与底面的交线为，证明：；
已知，若，求四边形面积的最大值．
17.本小题分
已知的内角的对边分别为，面积为，且．
证明：为等边三角形；
设的延长线上一点满足，又平面内的动点满足，求的最小值．
18.本小题分
对于数列，定义：如果函数使得数列的前项和小于，则称数列是“控制数列”．
设，证明：存在，使得等差数列是“控制数列”；
设，判断数列是否为“控制数列”，并说明理由；
仿照上述定义，我们还可以定义：如果存在实数使得数列的前项积小于，则称数列是“特控数列”设，其中，证明：数列是“特控数列”．
参考答案
1.
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10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.解：以频率作为概率，则体验者体验分钟的概率为，事件“在该体验店消费的名消费者中，至多有名体验者体验分钟”，
则
由题意，可能取值为：，，，
则；
，
，
所以的分布列为：
所以

15.解：因为数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
设等差数列的公差为，
因为，，
所以
即，．
由上可知，．
所以令，
则有，
当时，，
即数列从第一项起一直增加到第项，
当时，，
即数列从第项开始递减，
因此为数列的最大项，，
所以数列的最大项的值为．

16.解：连接，
由正四棱柱，可得，，，又因为，所以由勾股定理可得，
又，所以，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，又平面平面，平面平面，
所以，所以；

以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，又底面是正方形，所以，
又，所以，
所以，
所以，
所以，
，
由正四棱柱，可得平在面，
又四点共面，过有唯一平面，
又平面平面，平面平面，
所以，同理可得，所以四边形是平行四边形，
又，所以，
所以，又，
所以，解得，
所以
，
所以四边形面积的最大值为．

17.解：因为，由正弦定理得不是最大边，
面积，所以，所以，
由余弦定理，化简得，，
，
所以
所以是等边三角形．
如图建系，
设点，当时，
因为，所以，
所以，化简得，其中，
当时，，因为，则此时不合题意，则，
当时，，因为，则此时不合题意，则，
因为是由双曲线向右平移个单位得到的，
易知双曲线的焦点坐标为，则平移后焦点坐标为和，
作出双曲线，的图象如图所示：
根据双曲线定义知，则，则，
当且仅当三点共线时取等号，
当时，此时，，故此时不可能满足，舍去；
综上所述的最小值为．

18.解：不妨设等差数列的首项为，公差为，前项和为，
则，
取，，，则，
有，即，
即存在，使得等差数列是“控制数列”；
数列是“控制数列”，理由如下：
令，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减．
则，即，时取等号．
则，
记数列的前项和为，
则，
即，即数列是“控制数列”；
要证数列是“特控数列”，即证，
因为，所以，，
对两边取对数，有，
即证，即证，
由知当时，，
则当时，有，
则只需证，即证，
即证，
由，则，则，
令，，则，
故在上单调递减，则，
即在上恒成立，即，
故，
即数列是“特控数列”．

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