广西壮族自治区南宁市2025届高三上学期普通高中毕业班9月摸底测试数学试题（含答案）

广西壮族自治区南宁市2025届高三上学期普通高中毕业班9月摸底测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，，，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.已知向量，满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.某校组织名学生参加庆祝中华人民共和国成立周年知识竞赛，经统计这名学生的成绩都在区间内，按分数分成组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图不完整，根据图中数据，下列结论错误的是( )
A. 成绩在上的人数最多
B. 成绩不低于分的学生所占比例为
C. 名学生成绩的平均分小于中位数
D. 名学生成绩的极差为
5.已知，，在轴上方的动点满足直线的斜率与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数，若对，，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知正三棱台的侧面积为，，，则与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.设函数，，当时，曲线与曲线的图象依次交于，，
不同的三点，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，，则下列结论正确的是( )
A. 与的图象有相同的对称轴 B. 与的值域相同
C. 与有相同的零点 D. 与的最小正周期相同
10.已知为抛物线的焦点，的准线为，直线与交于，两点在第一象限内，与交于点，则( )
A. B.
C. 以为直径的圆与轴相切 D. 上存在点，使得为等边三角形
11.设函数，则( )
A. 当时，是的极小值点 B. 恒有两个单调性相同的区间
C. 当有三个零点时，可取得的整数有个 D. 点为曲线的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，，，且，则 ．
13.已知，，则 ．
14.在如图方格中，用种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色．
若区域，，，涂种颜色，区域，，，涂另外种颜色，则有 种不同涂法．
若区域，，，涂种颜色、、、涂的颜色互不相同，区域，，，也涂这种颜色涂的颜色互不相同，则有 种不同涂法．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设锐角的内角，，的对边分别为，，，已知．
求
若，且，求的面积．
16.本小题分
已知函数，曲线在处的切线为直线．
求直线的方程
求函数在闭区间上的最值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，平面平面．
证明：平面
若，四棱锥的体积为，求二面角的正弦值．
18.本小题分
我省某市为吸引游客，推出免费门票项目该市设置自然风光类、历史文化类、特色体验类三个免费票抽奖机，自然风光类抽中的概率为，历史文化类、特色体验类抽中的概率均为，这三类抽奖之间互不影响规定凡在该市的景区游玩的游客，每位游客可在每个抽奖机中至多抽奖一次，每次抽奖至多抽中一个免费票景点．
若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次，设表示甲获得免费票景点个数，求的分布列和数学期望
乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，已知乙抽中至少抽中一个，求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率．
19.本小题分
已知椭圆经过点，，为的左、右顶点，，为上不同于，的两动点，若直线的斜率与直线的斜率的比值恒为常数，按下面方法构造数列的短半轴长为时，直线与轴交于点．
求椭圆的离心率
证明：数列是等比数列
设顶点到直线的最大距离为，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由得，
即，
在锐角中，所以，
又，所以，
由及正弦定理得，
又，所以，
所以，
又，所以，
则，
所以，
由正弦定理得，
故面积为．
16.【解答】解：依题意，求导得，则所以直线的方程为．
由可知，当时，则在上单调递增当时，则在上单调递减
因为，，，
则在闭区间上最大值为，最小值为．
17.解：取中点，连接，
因为，，，，
则为正方形，则，，
在中，，所以，
则即，
因为平面平面，平面平面，
所以平面．
连接，设，则为的中点，连接．
因为，所以．
面面，面面，面，
所以平面．
由四棱锥体积为，则，
即，解得，
由可知，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
由得
令，则，
由可知，平面，
所以是平面的法向量，
记为
则，
故二面角正弦值为．

18.解：表示甲获得免费票景点个数，则，，，，
则，
．
，
，
故的分布列为
．
设“乙抽中”为事件，“乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽奖与抽中”分别为事件，，
“乙在自然风光类、历史文化类抽奖机中抽奖与抽中”分别为事件，，
“乙在历史文化类、特色体验类抽奖机中抽奖与抽中”分别为事件，，
则．
，
，
因事件，，两两互斥，
所以，
则．
故乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率为．
19.解：由椭圆经过点得
，故
则，所以椭圆离心率为．
证明：由及题意可知，，，
设，，
当直线斜率为时，关于轴对称，
所以斜率与的斜率之商为不合题意．
设方程为，
因为不过顶点，所以．
由得．
则，
，，
所以，
则，
，
所以，
则直线方程为，即经过点，
因为与轴交于点，
所以，．
所以数列是以为公比的等比数列．
证明：由可知，，所以是递减数列，
则，
顶点到直线距离为
，当时取等号
故．
第1页，共1页