6.5垂直关系（含解析）——2023-2024高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练

6.5垂直关系——2023-2024学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练
一、选择题
1．如图,将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上,则折痕AD所在直线与桌面所成的角等于( )
A. B. C. D.
2．“直线m垂直平面内的无数条直线”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必安条件
3．下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点D、E、F分别为其所在棱的中点，能得出平面DEF的是( )
A. B. C. D.
4．如图，在四面体中，若，，E是AC的中点，则下列结论正确的是( )
A.平面平面ABD
B.平面平面BDC
C.平面平面BDE，且平面平面BDE
D.平面平面ADC，且平面平面BDE
5．已知四棱锥的底面为矩形,平面ABCD,点Q为侧棱PA(不含端点的线段)上
则点Q在平面PBC上的射影在( )
A.棱PB上 B.内部 C.外部 D.不确定
6．如图,在正方体中,P,M,N分别为AB,,的中点,则与平面垂直的直线可以是( )
A. B. C. D.
7．如图，在斜三棱柱中，，，则在底面ABC上的射影H必在( )
A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.内部
8．如图（1），在矩形中，，E是的中点，沿将折起，使点D到达点P的位置，并满足，如图（2），则下列选项错误的是( )
A.平面平面 B.平面平面
C.平面平面 D.平面平面
二、多项选择题
9．如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,下列说法正确的是( )
A.平面EFH B.平面EFH C.平面AEH D.平面AEF
10．若，，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是( )
A.内存在一条直线垂直于平面 B.，
C.， D.，
11．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面PAD为正三角形，且平面平面ABCD，则下列说法正确的有( )
A.在线段AD上存在一点M，使平面PMB
B.异面直线AD与PB所成的角为
C.二面角的大小为
D.平面PAC
三、填空题
12．已知a，b，c为三条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，，则；
②若，，，，，则；
③若，，，则.
其中正确的命题是____________（填序号）.
13．已知在四棱锥中，平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面平面PCD.
14．如图，点P在正方体的面对角线上运动，有下面四个结论：①三棱锥的体积不变；②平面；③；④平面平面.
其中正确结论的序号是__________.（写出所有你认为正确结论的序号）
四、解答题
15．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，.
（1）求证：平面ABCD；
（2）求四棱锥的体积.
16．如图，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，M为的中点，如图2：
（1）求证：平面；
（2）求点D到平面的距离.
17．如图，已知PD垂直于以AB为直径的圆O所在平面，点D在线段AB上，点C为圆O上一点，且，.
（1）求证：平面PAB
（2）求点A到平面PBC的距离.
18．如图,在三棱柱中,平面ABC,D,E分别为AC,的中点,,.
(1)求证：平面；
(2)求点D到平面ABE的距离.
参考答案
1．答案：C
解析:依题意可知,,,
所以平面,
所以折痕AD所在直线与桌面所成的角等于.
故选:C
2．答案：B
解析：因为当直线m垂直平面内的所有直线时，才能得到，
所以由直线m垂直平面内的无数条直线不一定能推出，
但是由一定能推出直线m垂直平面内的无数条直线，
所以直线m垂直平面内的无数条直线是的必要不充分条件，
故选：B
3．答案：C
解析：
设下底面端点A，B，C，及上底面对应端点，如图所示，
连接,和，由三垂线定理知，且，
又因为,面，面，
所以面.
对于C，因为，,，所以面面，
所以平面DEF.
A、B、D选项中面与面均不平行.
故选：C.
4．答案：C
解析：因为，且E是AC的中点，所以，同理有，于是平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面平面BDE.又由于平面ACD，所以平面平面BDE.故选C.
5．答案：C
解析：如图所示,面
所以点Q在平面PBC上的射影在线段PH上,在外部,故选C.
6．答案：D
解析：易得平面平面,为正三棱锥,得平面,故平面MNP,若其他选项也符合,则平行于,不成立.
7．答案：A
解析：连接，由，，，得平面，所以平面平面，因此在底面ABC上的射影H必在直线AB上.
8．答案：C
解析：由题意可得，，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，平面，所以平面平面，平面平面，AB说法正确；
如图（3）取中点F，连接，交于G，则和均为等腰直角三角形，
所以，所以，即，
如图（4），连接，因为，，所以即为二面角的平面角，
设，则，在中，，F为中点，所以，
所以，所以，
所以平面平面，D正确；
因为平面平面，由于与平面不垂直，
所以平面与平面不垂直，C错误；
故选：C.
9．答案：BC
解析：由题意可得：,.
⊥平面EFH,而AG与平面EFH不垂直.B正确,A不正确.
又,平面AHE,C正确
HG与AG不垂直,因此平面AEF不正确.D不正确.
故选：BC.
10．答案：ABC
解析：，，则与可能平行可能垂直，也可能只相交不垂直，不能得出，D选项不正确，其他选项均能得出.故选ABC.
11．答案：ABC
解析：对于A选项，如图，取AD的中点M，连接PM，BM，
设AC与BD交于点O.侧面PAD为正三角形，.又底面ABCD是菱形，，是等边三角形，.又，平面，平面PMB，故A正确.
对于B选项，平面，平面，，即异面直线AD与PB所成的角为，故B正确.
对于C选项，，平面.平面，，.又平面平面，是二面角的平面角.设，则，.在中，，即，故二面角的大小为，故C正确.
对于D选项，易得，与PA不垂直，与平面PAC不垂直，故D错误.故选ABC.
12．答案：③
解析：如图，可知与不一定垂直，①错误；当直线b与c不相交时，与不一定垂直，②错误；因为，，所以，又，所以，③正确.
13．答案：(或)
解析：，，易知，当时，，又，平面MBD，又平面PCD，平面平面PCD.
14．答案：①②④
解析：连接，（图略）.因为，，所以四边形是平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面.同理可证平面.又因为平面，平面，且，所以平面平面.因为平面，所以平面，故②正确.
因为，所以平面，所以点P到平面的距离不变.又因为，所以三棱锥的体积不变，故①正确.
连接，（图略）.因为，所以当P为的中点时才有，故③错误.
因为平面，平面ABCD，所以.又因为，，所以平面.因为平面，所以.同理可证.又因为平面，平面，，所以平面.又因为平面，所以平面平面，故④正确.
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，
所以，所以.
又，，
所以平面ABCD.
（2）由题可知，四棱锥的底面面积为1.
因为平面ABCD，所以四棱锥的高为1，
所以四棱锥的体积为.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：在正方形中，，
因为，，，平面，
所以平面，
平面，，
又在直角梯形中，，，故，，
由余弦定理，所以，
在中，，，
所以，故，
因为，，平面，
所以平面.
（2）解法一：由（1）知平面，因为平面，
所以平面平面，
过点D作的垂线交于点G，
平面平面，平面，
则平面，
所以点D到平面的距离等于线段的长度，
平面，在平面内，
，
在三角形中，，
所以，
所以点D到平面的距离等于.
解法二：由（1）平面，平面，所以，
因为，，
所以，，，
所以，
，
设点D到平面的距离为h，
根据，由（1）可知平面，
即，，解得，
即点D到平面的距离为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由，知，，点D为AO的中点，
连接OC，因为，所以为等边三角形，
又D为AO中点，所以因为平面ABC，平面ABC，所以
又，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB
（2）由（1）可得：，，
，所以，，
设三棱锥的体积为V，点A到平面PBC的距离为d
由得，，，所以.
18．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）证明： ,D,E分别为AC,的中点,
,且,又平面,∴平面,
又平面, ,
又,且,,平面,
平面.
（2）,,, ,
,,.
在中,,,边上的高为.
.设点D到平面ABE的距离为d,
根据,得,解得,
所以点D到平面ABE的距离为.