四川省内江市第一中学2023-2024八年级上学期开学考试数学试卷(含答案)

内江市第一中学初二（上）入学考试数学试卷
满分：120分
一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分）
1．下列各式是一元一次方程的是（　　）
A．2x＝5+3y B．y2＝y+4 C．3x+2＝1﹣x D．
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．3cm、4cm、5cm B．3cm、3cm、7cm
C．4cm、5cm、10cm D．3cm、8cm、5cm
3．下列图形即是轴对称图形又是中心对称图形的共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．解方程，去分母，得（　　）
A．1﹣x﹣3x＝3 B．6﹣x﹣3＝3x C．6﹣x+3＝3x D．1﹣x+3＝3x
5．只用下列一种正多边形，能铺满地面的是（　　）
A．正五边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正十边形
6．已知a＜b，则下列不等式中不正确的是（　　）
A．4a＜4b B．a+4＜b+4 C．﹣4a＜﹣4b D．a﹣4＜b﹣4
7．下列说法不正确的是（　　）
A．三角形三条中线都在三角形内部
B．三角形的外角和为360°
C．三角形三条角平分线都在三角形内部
D．三角形三条高都在三角形内部
8．已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
9．已知△ABC的周长为18，将△ABC沿着BC方向平移5个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长是（　　）
A．26 B．27 C．28 D．29
10．如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，若△ABC的面积为4，则△ACE的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做8天完成．若甲先做1天，然后甲、乙合作完成了此项工作，设乙做了x天，则可列方程为（　　）
A．﹣＝1 B．+＝1 C．﹣＝1 D．+＝1
12．关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（　　）
A．a＝﹣3 B．﹣4＜a＜﹣3 C．﹣4≤a＜﹣3 D．﹣4＜a≤﹣3
二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
13．已知方程x﹣3y＝5，用含y的代数式表示x，则x＝　 　．
14．若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝　 　．
15．如图，在△ABC中，AB＝3cm，BC＝4cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为　 　cm．
16．如图，已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，使点C的对应点D恰好落在边AB上，E为点B的对应点，设∠BAC＝a，则∠BED＝　 　．
二．解答题（共6小题，共56分）
17（10分）．（1）解方程组．
（2）．解关于x的不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
18．（8分）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点O在格点上．
（1）画△A′B′C′，使△A'B'C′与△ABC关于直线OP成轴对称．
（2）画△A″B″C″，使△A″B″C″与△A′B′C′关于点O成中心对称．
19．（8分）已知：关于x，y的方程组；
（1）若y＝1，求x，a的值．
（2）若方程组的解满足x﹣y＞0，求a的取值范围．
20．（8分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D．
（1）求证：DF∥BC；
（2）当∠A＝40°，∠DFE＝36°时，求∠2的度数．
21．（10分）某中学计划购买A型和B型课桌凳共100套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用20元，且购买3套A型和2套B型课桌凳共需440元．
（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？
（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过8560元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的3倍，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？分别列出来；哪种方案的总费用最低？
22．（12分）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）在图1中，∠DPC＝　 　；
（2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立；
②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？
入学考试数学答案
1、C． 2、A． 3、B． 4、B． 5、C 6、C 7、D 8、B 9、C 10、A
11、B 12、D
13、3y+5 14、1． 15、7． 16、α
（1） ； （2）0≤x＜3
19、解：（1）若y＝1，则，
整理得，
①﹣②得3a＝﹣6，
解得a＝﹣2，
把a＝﹣2代入①得x+4＝4，
解得x＝0，
故x，a的值分别为0，﹣2；
（2），
①+②得：3x﹣3y＝9a+15，即x﹣y＝3a+5，
又∵x﹣y＞0，
∴3a+5＞0，
解得：a＞﹣，
∴a的取值范围为a＞﹣．
20、（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠1，
又∠1＝∠D，
∴∠DCB＝∠D，
∴DF∥BC．
（2）∵DF∥BC，∠DFE＝36°，
∴∠B＝∠DFE＝36°，
在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝36°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣36°＝104°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠ACB＝52°，
∴∠2＝180°﹣40°﹣52°＝88°．
21、解：设购买一套A型课桌凳需a元，购买一套B型课桌凳需b元，
根据题意，得，
解得：，
答：购买一套A型课桌凳需80元，购买一套B型课桌凳需100元；
（2）解：设购买A型课桌凳x套，则购买B型课桌凳（100﹣x）套，根据题意得，
，
解得：72≤x≤75，
所以购买方案有以下四种，
方案一：购买A型课桌凳72套，购买B型课桌凳28套；
方案二：购买A型课桌凳73套，购买B型课桌凳27套；
方案三：购买A型课桌凳74套，购买B型课桌凳26套；
方案四：购买A型课桌凳75套，购买B型课桌凳25套，
方案一总费用为：72×80+28×100＝8560元，
方案二总费用为：73×80+27×100＝8540元，
方案三总费用为：74×80+26×100＝8520元，
方案四总费用为：75×80+25×100＝8500元，
∴方案四，费用最低．
22、解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°，
∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案为：75°；
（2）①如图1，此时，BD∥PC成立，
∵PC∥BD，∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝∠DBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图2，PC∥BD，
∵PC∥BD，∠PBD＝90°，
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转D的角度为180°+30°＝210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
综上所述，当旋转时间为3或21秒时，PC∥DB成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，
∴∠BPN＝180°﹣∠BPM＝180°﹣2t°，
∴∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°，
当∠CPD＝∠BPM，即2t°＝75°﹣t°，
解得：t＝25，
∴当∠CPD＝∠BPM，求旋转的时间是25秒．