初中数学八年级竞赛强化辅导讲义31讲：第 2讲 多边形的概念及内角和（含解析）

第 2讲 多边形的概念及内角和
知识方法
在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形.如果延长多边形的任一条边，整个多边形都在这条延长边的一侧，那么这样的多边形就叫作凸多边形.下面所说的多边形一般指凸多边形.
(1) n边形的内角和是(n-2)×180°,任意多边形的外角和等于360°.
(2) n边形的两个不相邻的顶点的连线叫作n 边形的对角线，n边形有 条对角线.
经典例题解析
【例2-1】 长为4 的线段分成四小线段，以这四小线段为边可以作成一个四边形，则其中每一小段必须满足的条件是( ).
(A)不大于1 (B) 大于 或小于1
(C) 小于 2 (D) 大 且小于2
解 设x 为四小线段中的任意一段，则4-x为其余三段之和.
由于两点之间线段最短，有4-x>x，
解得x<2,
故应选 C.
【例2-2】 一个多边形一共有14条对角线，则它的内角和为 .
解 一个n边形，从一个顶点出发，有n-3条对角线，共有 条对角线(因为每条对角线被计算了两次)，于是有 从而n(n-3)=28.
因为 7×4=28,故n=7.
所以，这个三角形的内角和为
【例2-3】 在凸n边形中,小于108°的角最多可以有( ).
(A) 3个 (B) 4 个 (C) 5个 (D) 6个
解 设凸 n 边形中,小于 108°的角有 x 个.
当多边形的一个内角小于108°时，它的外角大于 72°，而任意多边形的外角和等于 360°，故有72x<360,解得x<5.
故小于108°的角最多可以有4个.
故选 B.
评注 利用多边形外角和为360°的结论来解题，是处理与多边形有关的问题的常用的思路和方法.
【例2-4】 一凸n边形最小的内角为95°，其他内角的度数依次增加10°，则n= .
解 这个凸n 边形的内角由小到大依次为 95°,105°,115°,125°,135°,145°,…
于是它的外角由大到小依次为85°,75°,65°,55°,45°,35°,…
而这六个外角之和
所以n=6.
【例2-5】 如图2-1所示,已知AB∥ED,∠C=90°,∠B=∠E,∠D=130°,∠F=100°,求∠E 的大小.
解 如图2-2所示,延长 DC、AB交于G,
因为ED∥AB,∠D=130°,所以∠G=50°.
又因为∠BCD=90°,∠BCD=∠G+∠CBG,所以∠CBG=40°.
所以∠ABC=140°,即∠E=140°.
【例2-6】 如图2-3所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G = ( ).
(A) 100° (B) 120° (C) 150° (D) 180°
解 如图2-4 所示,连接 AC、FE.
则有∠G+∠D=∠CAD+∠GCA.
∠EFC+∠AEF = ∠EAC+∠ACF
=(∠EAD+∠CAD)+(∠GCF+∠GCA)
=(∠EAD+∠GCF)+(∠CAD +∠GCA)
=(∠EAD+∠GCF)+(∠G+∠D).
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G
=(∠EAD+∠GCF)+(∠G+∠D)+∠B+(∠AEB+∠CFB)
=(∠EFC+∠AEF)+∠B+(∠AEB+∠CFB)
= ∠EFB+∠FEB+∠B
= 180°.
【例2-7】 如图2-5所示,在四边形ABCD 中,E、F 分别是两组对边延长线的交点,EG、FG 分别平分∠BEC、∠DFC,若∠ADC=60°,∠ABC=80°,则 `的大小是( ).
(A) 140° (B) 130°
(C) 120° (D) 110°
解 因为∠ABC 是△ABF 的外角,所以.
同理∠ .
又∠FAB=∠EAD,所以∠AFG∠AEG=10°.
设 EB 与 FG 相交于 N,则在△ENG 中,∠ =180°.
又∠ANG=∠AFG+∠FAB,
所以∠G+∠AEG+∠AFG+∠FAB=180°.
即∠ 。
于是 故选 D.
【例2-8】 有一个凸十 一边形，它是由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙拼成的.求此凸十一边形的各内角的大小，并画出一个这样的凸十一边形的草图.
思路 设凸十一边形的内角中有 60°、90°、120°、150°的角的个数分别为x、y、z、s.列出它们满足的关系式，并求出x、y、z、s的值.
解 设此凸十 一边形的各个内角中有x 个 60°角，y 个 90°角，z 个 角,s 个 角，依题意有
②
由式①得s=11-x—y—z,代入式②化简得 3x+2y+z=1.
因为x、y、z均为非负整数，
所以x=y=0,z=1.
故s=10.
则这个凸十一边形有一个角是 120°，有十个内角都是 150°.
草图如图2-6所示.
强化训练
一、选择题
1.一个凸 n 边形的n个内角中，锐角的个数最多有( ).
(A) 3个 (B) 4个 (C) 5个 (D) 不能确定
2.如图2-7所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=( ).
(A) 360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°
3.凸八边形的内角中，钝角个数为m，锐角个数为n，则( ).
(A)mn
(C)m=n (D)m>n,m4.如图2-8所示，若干全等正五边形排成环状，图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需要( )个五边形.
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10
5.如图2-9所示,将六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠,使点 A、B 落在六边形CDEFGH的内部，则下列结论一定正确的是( ).
二、填空题
6.如果一个凸n 边形恰有4个内角是钝角，那么这个多边形的边数n 最多为 .
7.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图2-10 所示，图中的字母表示相应的度数,若c=60°,则d+e 的值为 ,x的值为 .
8. 如图2-11所示, ，则
9.一个凸n边形的n个内角与某一个外角的总和为 则
10.若凸 4n+2 边形. ( n为正整数 )的每个内角都是： 的整数倍，且∠A =∠A =∠A =90°,，则n 所有可能的值是 .
三、解答题
11. 如图 2-12 所示, ，如果我们称大于 180°的角为“优角”，试确定优角∠A 的度数.
12.如图2-13所示,ABCD 是凸四边形,AB=2,BC=4,CD=7,求线段AD的取值范围.
13. 如图2-14所示，对角互补的四边形ABCD 中，两组对边延长后分别交于P、Q两点，∠P、∠Q 的平分线交于M，求证：
14.如图2-15所示,已知CD∥AF,∠CDE=∠BAF,AB⊥BC,∠C=124°,∠E=80°,求∠F 的大小.
15.把一个多边形沿着几条直线剪开，分割成若干个多边形.分割后的多边形的边数总和比原多边形的边数多13条，内角和是原多边形内角和的1.3倍.请问：
(1) 原来的多边形是几边形
(2) 把原来的多边形分割成了多少个多边形
一、选择题
1.【答案】A.
【解析】如果多边形有4个锐角，则它们的外角都是钝角，其和大于 360°，与多边形外角和为 360°矛盾.
2.【答案】C.
【解析】如题图所示,∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°,∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°,而∠BMN +∠FNM =∠D+180°,故∠A +∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
3.【答案】B.
【解析】凸八边形最多只能有3个内角是锐角或直角，否则它的外角和大于 360°，所以它至少有5个钝角,m>n.
4.【答案】B.
【解析】正五边形的内角是108°，因此由正五边形内角所构成的正多边形的内角是 360°— 2×108°=144°.这个正多边形的外角是 180°-144°=36°,因此它有360°÷ 36°= 10条边,故还需要7个五边形.
5.【答案】B.
【解析】如答图2-1 所示，设 FA 的延长线与CB的延长线相交于P，GA'的延长线与 HB'的延长线相交 于 P',连 接 PP'.由 对 称 性 知,∠1 =2∠APP',∠2= 2∠BPP',所以∠1 + ∠2 =2∠APB.
又∠APB=540°-(∠C+∠D+∠E+∠F),所以∠1+∠2=1080°--2(∠C+∠D+∠E+∠F).
二、填空题
6.【答案】7.
【解析】因为凸 n 边形恰有 4个内角是钝角，所以这4个内角之和大于 360°且小于 720°.而另外的n--4个内角是直角或锐角，则这n-4个内角之和不大于((n-4)×90° 且大于0°，于是有不等式360°+0°<(n-2)×180°<720°+(n-4)×90°.解得 47.【答案】220°,20°.
【解析】从已知条件可得c=60°, 2a+d=180°,2b+e=180°,a+b=70°,2f+x=180°,c+d+e+f=360°,
所以d+e=220°,f=80°,x=20°.
8.【答案】4.
【解析】如答图 2-2 所示,连接 EF,易知∠A +∠D=∠DFE+∠AEF, ∠A +∠B+∠C +∠D+∠E+∠F 等于四边形BCEF 的内角和,为 360°,所以n=4.
9.【答案】13.
【解析】设这个外角为x,180°(n-2)+x=1988°,x= 2348°—180°n,
注意到 0°因 n 为整数,故 n=13.
10.【答案】1.
【解析】除了 3 个直角外，其余 4n—1 个角每个最大为 150°,最小为 30°,
它们的外角和在3×90°+(4n-1)×300°与3×90°+(4n-1)×15°之间,所以3×90°+(4n-1)×30°≤360°≤3×90°+(4n-1)×150°.
解得 0.4≤n≤1, 但 n 是整数,所以n=1.
三、解答题
11.【答案】225°.
【解析】设 2)×180°,x=225°,即∠A =225°.
12.【答案】1【解析】设AD=x,则有7-(4+2)13. 【答 案】 证 明: 设 ∠ABC = x, 则 ∠ADC
因为∠ABC 是△ABP 的外角,所以∠PAB=x--∠APB=x-2∠APM.
同理
又∠PAB=∠QAD,所以∠APM-∠AQM=x-90°.
设 QB 与 PM 相交于 N,则在△QNM 中,
∠M+∠AQM+∠ANM=180°,
又∠ANM=∠APM+∠PAB,
所以∠M+∠AQM+∠APM+∠PAB=180°.
即∠M+∠AQM+∠APM+x-2∠APM=180°.
于是∠M=180°-x+∠APM--∠AQM=90°,故 PM⊥QM.
14.【答案】134°.
【解析】如答图2-3所示，延长CD 与FE 的延长线交于H，延长CB 与FA 的延长线交于G.
因为CD//AF, 所以.
由已知∠CDE=∠BAF,所以∠HDE=34°.
所以∠F=180°—46=134°.
15.【答案】(1) 12;(2) 6.
【解析】把多边形沿直线剪开，每增加一个多边形，边数的增加会出现以下三种情况：①当直线经过两个顶点时，增加两条边；②当直线经过一个顶点时，增加三条边；③当直线不经过顶点时，增加四条边.于是，当将原多边形分割成4个小多边形，最多可以增加4×3=12条边；当将原多边形分割成8个小多边形，最少可以增加2×7=14 条边.所以分割后的多边形的个数是5、6、7中的一个.
设原多边形的边数是 n，分割成边长为a ，a ，…，am的m个多边形，则m个多边形的总边数为 由题意，有
所以 20m=156-3n=3(52-n),故 m 是 3 的倍数.
于是m=6,n=12.
原来的多边形是十二边形，把原来的多边形分割成了 6个小多边形.