初中数学八年级竞赛强化辅导讲义31讲：第 15 讲 实数与二次根式（含解析）

第 15 讲 实数与二次根式
知识方法
(1) 有理数和无理数统称为实数.有理数包括整数和分数，无限不循环小数是无理数.两个有理数的和、差、积、商都是有理数，一个无理数与一个非零有理数的积是无理数.有理数能够写成两个整数之商的形式，而无理数不能够写成两个整数之商的形式.
(2)一个实数a的整数部分n是指不超过a 的最大整数，a的小数部分是b=a-n(0≤b<1).
(3)要掌握二次根式的四则运算法则，特别是分母有理化的方法，以及复合二次根式 的化简.
(4)要注意运用整式、分式的恒等变形技巧，如因式分解、运用公式、通分和约分、拆项、换元、配方等.
经典例题解析
【例 15-1】 化简
解 原式
【例15-2】 计算
解 原式
【例15-3】 若a、b、c 为两两不等的有理数,求证: 为有理数.
证明 因
故 是一个有理数.
【例 15-4】 若 求 的值.
解 因为 所以 8x+13=0.从而
【例 15-5】 已知 求 的值.
解 因为 所以 从而 即 又 所以
故原式
【例15-6】 设 a是x 的小数部分，b是-x的小数部分，则 = .
解 因为 而 所以
又因为 而 所以 所以
故a 1.
【例15-7】 已知 求 的值.
解
由已知，可得
故原式
【例15-8】 若8a≥1,则 的值是 .
解 设 则有
所以
因x + + 于是 即
所以
因
所以当8a--1=0时, 当 8a-1≠0时,p-1=0,即 p=1.
综上可知,p=1.
强化训练
一、选择题
1.有下列三个命题：
(甲) 若α、β是不相等的无理数，则αβ+α—β—定是无理数；
(乙)若α、β是不相等的无理数，则 是无理数；
(丙)若α、β是不相等的无理数，则 是无理数.
其中正确命题的个数是( ).
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
2.设 其中a、b为相邻的两个整数,c= ab,则M( ).
(A)必为偶数 (B) 必为奇数 (C) 必为无理数 (D) 以上三种都有可能
3. 若a、b、 都是有理数，则 的值是( ).
(A) 二者均为有理数 (B) 二者均为无理数
(C)一个为有理数，另一个为无理数 (D) 以上三种情况均有可能
4.设实数 则 p 满足( ).
(A)05. 已知 p、q 是有理数,而 满足方程 则 p+q 的值是( ).
(A) —1 (B) 1 (C) -3 (D) 3
二、填空题
6.计算
7.设 那么 的整数部分是 .
8. 已知实数 x 满足 则 的值为
9.化简
10.设 且 则
三、解答题
11.已知a、b、c是两两不等的有理数，且 也是有理数，求证： 都是有理数.
12.已知 且a>0,b>0.求 的值.
13. 设 的整数部分是a，小数部分是b.试求 的值.
14.计算
15.(1) 证明:
(2) 利用或不利用上式，计算
一、选择题
1.【答案】A.
【解析】命题甲是假命题，取 为有理数；
命题乙是假命题，取 是有理数；
命题丙也是假命题，取 =0是有理数.
2.【答案】B.
【解析】a、b为相邻的两个整数，则a、b必一奇一偶,不妨设 b=a+1(或 a =b+1),则 M= |a(a+1)+1|,无论a取什么整数,a(a+1)+1必为奇数，即M 为奇数，故选 B.
3.【答案】A.
【解析】若 的值一个为有理数，另一个为无理数，则 为无理数，与已知条件矛盾，故可排除 C、D.
若 的值均为无理数，设 则 ，即 b-a,此时应有m=0,否则 得出一个无理数与一个有理数相等，于是由m=0，得 从而a=b=0，与假设矛盾.
所以 的值均为有理数.
4.【答案】B.
【解析】
因为 所以 所以
即 15.【答案】A.
【解析】将 代入 并化简，得 ,于是2+p=0,且2q-p-4=0.解得p=-2,q=1,故 p+q=-1.
二、填空题
6.【答案】1.
【解析】因 故 由等比定理，得 于是，原式
7.【答案】3.
【解析】因为 所以 于是
8.【答案】0.
【解析】由 得
9.【答案
【解析】原式
10.【答案】1.
【解析】设 则 有
即
故
因为 xyz>0,所以
三、解答题
11.【答案】证明:设 为有理数，r 必为有理数，则 为有理数，于是s 必为有理数， 为有理数.
令 为有理数，则u 也是有理数， 必为有理数.同理，得 也是有理数，即 是有理数. 是有理数.类似地，证 都是有理数
12.【答案】
【解析】由 且 a >0,b>0,得
故原式
13.【答案】10.
【解析】因 而 于是 a = 2. 从而
故
14.【答案
【解析】第k 项可以写成
3,…24),而且
故原式
15.【答案】证明:
所以
(2)由上式知,当a=1990,b=1时,