【高中数学苏教版必修第一册同步练习】 2基本不等式（含答案）

【高中数学苏教版必修第一册同步练习】
2基本不等式
一、单选题
1．设 ,且 ,则 的最小值为（　　）
A．6 B．12 C．14 D．16
2．已知 ，且满足 ，那么 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．已知x，y为正实数，且满足 ，则 的最大值是（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数 ，若对任意的到对以 ， ， ， 均可作为同一个三角形的三边长，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．已知 ，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6． 在△ABC中，已知＝9，sinB＝cosAsinC，S△ABC＝6，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为（　　）
A． B．12 C． D．
二、多选题
7．下列选项中正确的是（　　）
A．不等式 恒成立
B．若 为正实数，则
C．当 ，不等式 恒成立
D．若正实数 ， 满足 ，则
8．若实数m，n满足，其中，则下列说法中正确的是（　　）
A．n的最大值为2 B．的最小值为2
C．的最小值为 D．的最小值为4
三、填空题
9．已知 ，则 的最小值为　 　，此时 　 　．
10．已知 ， ， ，则 的最小值为　 　．
11．已知 ，若对满足条件的任意实数x，y，不等式 + ≥1恒成立，则实数a的最大值是　 　．
12．已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为　 　．
13．已知实数 ， ，且 ，则 的最小值为　 　．
14．已知x＞0，y＞0，且 ，则 的最大值为　 　．
四、解答题
15．
（1）描述并证明基本不等式；
（2）已知a、b、c为正数，且满足abc=1，证明： ；
16．
（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
17．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段，某公路段的车流量 （千辆/小时）与汽车的平均速度 （千米/小时）之间的函数关系为： .
（1）在该时段内，当汽车的平均速度 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围？
18．若 ，求 的最大值.
19．已知动点 到定点 和到直线 的距离之比为 ，设动点 的轨迹为曲线 ，过点作垂直于 轴的直线与曲线 相交于两点，直线 与曲线 交于 两点，与 相交于一点（交点位于线段 上，且与 不重合）.
（1）求曲线 的方程；
（2）当直线 与圆 相切时，四边形 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线的方程；若没有，请说明理由.
20．已知 都是正数，求证：
（1） ；
（2） .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】基本不等式
2．【答案】C
【知识点】基本不等式
3．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
4．【答案】A
【知识点】基本不等式
5．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
6．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
7．【答案】B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
8．【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
9．【答案】；
【知识点】基本不等式
10．【答案】
【知识点】基本不等式
11．【答案】2
【知识点】基本不等式
12．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
13．【答案】15
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
14．【答案】-25
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
15．【答案】（1）解： 当且仅当a=b时，等号成立.
对于 ，有 ，当且仅当 ，即 时等号成立．
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
（2）解：由条件 得
，当且仅当 时等号成立
，当且仅当 时等号成立
，当且仅当 时等号成立
以上三个不等式相加可得： ，
当且仅当 时等号成立
得证 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
16．【答案】（1）解：设两个正数为a，b
，则 ，当且仅当 等号成立，
即a=b=6时，它们的和最小，为12.
（2）解： ，则 当且仅当 等号成立
即a=b=9时，它们的积最大，为81.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
17．【答案】（1）解：依题意， ，
当且仅当 ，即 时，上式等号成立，
（千辆 时）．
当 时，车流量最大，最大车流量约为 千辆 时.
（2）解：由条件得 ，
整理得 ，
即 ．解得 ．
如果要求在该时段内车流量超过10千辆 时，则汽车的平均速度应大于 且小于 ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
18．【答案】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最大值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
19．【答案】（1）解：设点P(x，y)，由题意可得， ，得 .
∴曲线E的方程是
（2）解：设 ，由条件可得 .
当m＝0时，显然不合题意.
当m≠0时，∵直线l与圆x2＋y2＝1相切，∴ ，得 .
联立 消去y得 ，
则△ ， .
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
此时代入 得 .
经检验可知，直线 和直线 符合题意
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
20．【答案】（1）解：∵ ，∴ ，当且仅当 时等号成立，
同理可得， ，
∴ ，即 ；
（2）解：因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
同理可得 ， ，
∴ ，
即 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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