苏科版2024年新九年级暑期成果评价卷（原卷版+解析版）

苏科版2024年新九年级暑期成果评价卷
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023九年级·安徽六安·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；
结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得．
故选：C．
2．（3分）（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）

A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【分析】本题考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合，根据弦的定义进行判断即可，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解题关键
【详解】解：弦为，共有3条，
故选：B．
3．（3分）（2023九年级·浙江温州·期中）若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入，得，然后把所求式子化为代入计算即可作答．
【详解】解：∵是关于的方程的一个根，
∴，
∴，
故选：D．
4．（3分）（2023·山东青岛·一模）如图，四边形内接于，连接，若=，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是圆内接四边形、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．先根据同弧所对的圆周角相等得出，再根据等腰三角形的性质得出，根据圆内接四边形的性质即可求出．
【详解】解：∵
∴
∵=，
∴
∵四边形内接于，
∴；
故选：B．
5．（3分）（2023·山东聊城·二模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出m、n的值即可得到答案．
【详解】解：
，
∴，
∴，
故选：D．
6．（3分）（2023·福建厦门·二模）如图，点A、B、C在上，，过点C作的切线交的延长线于点D，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆的切线的性质，同弧所对圆周角和圆心角的关系，掌握同弧所对圆周角是圆心角的一半是解答本题的关键．连接，根据同弧所对圆周角和圆心角的关系，求出的度数，再根据为的切线，得到，再求出的大小即可．
【详解】解：如图，连接，
∵为的切线，
∴，
∵，是所对的圆周角和圆心角，，
∴，
∴，
故选：C．
7．（3分）（2023九年级·安徽六安·阶段练习）已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】此题考查了正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系.
首先根据正方形的性质得到，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到，进而求出，即可得到正方形的周长．
【详解】∵四边形是正方形
∴
∵正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，
∴，
∴
∴正方形的周长为．
故选：B．
8．（3分）（2023·安徽淮南·三模）如图，正三角形和正六边形都内接于连接则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是正多边形与圆，等腰三角形的性质，先求解，，再进一步结合等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵正三角形，
∴，
∵，
∴，
∵正六边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
9．（3分）（2023·江西赣州·一模）设是关于x的方程的两根，是关于x的方程的两根，则p，q的值分别等于（　　）
A．1， B．1，3 C．， D．，3
【答案】C
【分析】考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；根据根与系数的关系，可得 ，，整理可得关于p，q的二元一次方程组，解方程组即可；
【详解】解：是关于x的方程的两根，
，
是关于x的方程的两根，
，，即，
将代入整理得，
，解得，
故选：．
10．（3分）（2023·山西晋中·三模）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆中不规则图形的面积求法，熟练掌握割补法、勾股定理、等边三角形的性质与判定是解题的关键．连接，先判定是等边三角形，得出有关三角形的角度，再利用勾股定理、直角三角形的性质进行边的求解，最后利用割补法求面积．
【详解】解：如图，连接，
∵以点为圆心，的长为半径画弧交于点，
∴，
∵以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴为中点，
∴，
∴，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023·福建泉州·模拟预测）设是方程的两个根，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】因为，所以利用根的判别式计算即可．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟记根的判别式．
【详解】解：，
，
解得．
故答案为：．
12．（3分）（2023九年级·福建泉州·期末）若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个．
【答案】6
【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可．
【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆，
∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆，
选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个．
故答案为：6．
13．（3分）（2023·宁夏石嘴山·一模）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数）
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故答案为：．
14．（3分）（2023九年级·浙江·期中）如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的知识，根据已知条件，用a和S表示出矩形的面积，根据一元二次方程的解法解答即可．
【详解】解：根据题意，得起始矩形的面积，变化后矩形的面积为，
∴，，
∴，
∴，
∵有且只有一个a的值，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴S的值是．
故答案为：．
15．（3分）（2023·内蒙古呼和浩特·二模）如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是 度；圆锥的侧面积是 ．
【答案】 /18度
【分析】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为，根据题意，得，解得；根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积，根据扇形面积公式，得，解答即可．
本题考查了扇形弧长，面积计算，圆锥侧展与扇形的关系，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为，
根据题意，得，
解得；
根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积，
得，
故答案为：，．
16．（3分）（2023·贵州遵义·三模）如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．
【详解】解：如图，当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的，
因此交于点M，此时的值最大，
由题意得，，，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023九年级·山东淄博·期中）选择合适的方法解方程．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先移项，再进行因式分解，得，令每个因式为0，进行计算，即可作答．
（2）先移项，提公因式得，令每个因式为0，进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：
解得
（2）解：
解得
18．（6分）（2023九年级·安徽安庆·开学考试）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接．
(1)若，求的直径；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)40
(2)
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
（1）设⊙O的半径为，根据垂径定理，由得到，在中，利用勾股定理得，解得，所以的直径为20；
（2）由得到，根据三角形外角性质得，则，加上，所以，然后解方程即可得的度数；
【详解】（1）解：∵，，
∴，
设，
又∵，
∴，
解得：
∴的直径是40．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（8分）（2023·四川绵阳·一模）已知关于的方程；
(1)求证：方程总有实数根；
(2)若方程的两根为直角三角形的两边长，且，求的值及该直角三角形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)或 ，周长为
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是根据根的判别式、韦达定理和勾股定理来解答．
（1）先求出方程的判别式的结果； 再根据 方程有实数根； 即可证明.
（2）根据根与系数的关系求出方程两根的值和的值，再由勾股定理求出直角三角形的斜边长，进而得到直角三角形的周长．
【详解】（1）由 得到，
，
，
∴不论为任何实数，方程总有实数根.
（2）解：根据题意得 ，
，
解得或 ，
直角三角形的斜边为：
所以直角三角形的周长为：．
20．（8分）（2023九年级·湖北孝感·期中）如图，在中，，以为直径作交于点，交于点，平分，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据切线的判定即可得到结论；
（2）由（1）得，，由勾股定理得，由得到，根据平行得性质得，再利用弧长公式计算即可．
本题考查了切线的判定和性质，弧长公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，
为的直径，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
为的直径，
是的切线；
（2）解：由（1）知：
得到，，
，
21．（8分）（2023·江西赣州·模拟预测）如图，内接于，．请仅用无刻度的直尺，分别在下列两个图形中，根据条件作一个角的圆周角．（保留作图痕迹）
(1)在图1中，；
(2)在图2中，．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补，从而正确作出图形．
（1）取优弧上取一点D，连接，得到（或）即为所求；
（2）连接并延长，交圆于点E，连接，则得到，在弧上取一点D，连接，则为所求．
【详解】（1）解：（或）即为所求；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）即为所求．
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴．
22．（8分）（2023·安徽滁州·三模）2024年3月中国新能源汽车在国家积极政策的鼓励下，居民环保意识日渐增强，新能源汽车的市场非常火爆．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价？
【答案】下调后每辆汽车的售价为21万元．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设下调后每辆汽车的售价万元，售价降低万元，则平均每周多售出辆，根据总利润=每辆汽车的销售利润×销售量建立方程，求解即可
【详解】解：设下调后每辆汽车的售价万元，每辆汽车的销售利润为万元时，
，
整理可得：，解得：，，
因为要尽量让利顾客，所以．
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
23．（8分）（2023九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P是y轴正半轴上一点，⊙P与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，OC、OA分别是方程的两个根（OC＞OA），点D是弧AC上的一动点，点F是弧AD的中点．
（1）求⊙P的半径；
（2）试判断∠CFA与∠EFC的大小关系，并说明理由；
（3）随着D点的运动，CE的长度变化吗？若不变，请求出其值；若变化，请求出其变化范围．
【答案】（1）；（2）相等；理由见解析；（3）不变；10
【分析】（1）解方程求出OA和OC的长，在中应用勾股定理即可求解；
（2）连接AC，AP，BP，证得即可求解；
（3）易得，即可求解．
【详解】解：（1）解方程，
得，，
，
，，
连接AP，
设⊙P的半径为r，则在中，，
即，
解得；
（2）连接AC，AP，BP
∵，
且，
∴，，
∴，
∴∠CFA与∠EFC相等；
（3）不变；
∵点F是弧AD的中点，
∴，
易得，
∴．
【点睛】本题考查圆的基本性质、垂径定理、勾股定理等内容，作出辅助线是解题的关键．
苏科版2024年新九年级暑期成果评价卷
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023九年级·安徽六安·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．
2．（3分）（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）

A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
3．（3分）（2023九年级·浙江温州·期中）若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
4．（3分）（2023·山东青岛·一模）如图，四边形内接于，连接，若=，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2023·山东聊城·二模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．
6．（3分）（2023·福建厦门·二模）如图，点A、B、C在上，，过点C作的切线交的延长线于点D，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2023九年级·安徽六安·阶段练习）已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（3分）（2023·安徽淮南·三模）如图，正三角形和正六边形都内接于连接则（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（2023·江西赣州·一模）设是关于x的方程的两根，是关于x的方程的两根，则p，q的值分别等于（　　）
A．1， B．1，3 C．， D．，3
10．（3分）（2023·山西晋中·三模）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，且这条弧恰好也经过点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023·福建泉州·模拟预测）设是方程的两个根，且，则的值为 ．
12．（3分）（2023九年级·福建泉州·期末）若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个．
13．（3分）（2023·宁夏石嘴山·一模）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数）
14．（3分）（2023九年级·浙江·期中）如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．

15．（3分）（2023·内蒙古呼和浩特·二模）如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是 度；圆锥的侧面积是 ．
16．（3分）（2023·贵州遵义·三模）如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023九年级·山东淄博·期中）选择合适的方法解方程．
(1)
(2)
18．（6分）（2023九年级·安徽安庆·开学考试）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接．
(1)若，求的直径；
(2)若，求的度数．
19．（8分）（2023·四川绵阳·一模）已知关于的方程；
(1)求证：方程总有实数根；
(2)若方程的两根为直角三角形的两边长，且，求的值及该直角三角形的周长．
20．（8分）（2023九年级·湖北孝感·期中）如图，在中，，以为直径作交于点，交于点，平分，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
21．（8分）（2023·江西赣州·模拟预测）如图，内接于，．请仅用无刻度的直尺，分别在下列两个图形中，根据条件作一个角的圆周角．（保留作图痕迹）
(1)在图1中，；
(2)在图2中，．
22．（8分）（2023·安徽滁州·三模）2024年3月中国新能源汽车在国家积极政策的鼓励下，居民环保意识日渐增强，新能源汽车的市场非常火爆．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价？
23．（8分）（2023九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P是y轴正半轴上一点，⊙P与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，OC、OA分别是方程的两个根（OC＞OA），点D是弧AC上的一动点，点F是弧AD的中点．
（1）求⊙P的半径；
（2）试判断∠CFA与∠EFC的大小关系，并说明理由；
（3）随着D点的运动，CE的长度变化吗？若不变，请求出其值；若变化，请求出其变化范围．