【苏科版八年级暑假分层作业】作业11 反比例函数与几何综合（原卷版+解析版）

暑假作业11 反比例函数与几何综合
知识点01 反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质：当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.
（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
知识点02 反比例函数与一次函数关系
知识点03 反比例函数与几何关系
题型一 一次函数与反比例函数图象综合判断
1．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．对进行分类讨论，结合选项进行排除即可．
【详解】解：当时，，
反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，故B错误，C正确；
当时，，
反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，故A、D选项错误；
故选：C．
2．反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案，要掌握它们的性质才能灵活解题．
【详解】解：A、一次函数图象经过一、二、四象限，则，，反比例函数图象在第一、三象限，则，相矛盾，故此选项错误；
B、一次函数图象经过一、二、三象限，则，，相矛盾，故此选项错误；
C、一次函数图象经过一、三、四象限，则，，反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项正确；
D、一次函数图象经过二、三、四象限，则，，相矛盾，故此选项错误；
故选：C．
3．已知一次函数（为常数，且）的图象不经过第二象限，且点在反比例函数的图象上，若，则的值可能是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象与性质．根据题意，先确定发符号，再确定的符号即可．
【详解】解：一次函数（为常数，且）的图象不经过第二象限
点在反比例函数的图象上
则可取．
故答案为：．
4．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数 图象上，若直线的函数表达式为，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一次函数求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，可证明，根据全等三角形的性质得到，，进而证明，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图像上点的坐标特征即可得到结论．
【详解】解：在中，令，则，令，则，
，，
，，
过作轴于，过作轴于，
四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
，
设，，
，，
，，
点，点在反比例函数图像上，
，
，（不合题意舍去），
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
5．如图，已知直线交双曲线于点和点B，点为x轴上一动点，直线交直线于点C，交双曲线于点D．
(1)求a和k值；
(2)若，请求出m的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查一次函数和反比例函数综合，涉及待定系数法求解析式，等腰三角形的性质和解一元二次方程等知识点，熟练掌握一次函数和反比例函数相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得点，则，过点A作于E点，根据即可推出，进行计算求解即可．
【详解】（1）解：把点带入到中，，
解得，
把带入中，得，
即，．
（2）由（1）可得：直线解析式为，反比例函数解析式为；
由题意可得点，则，过点A作于E点，
，
，
，
，
，
或（舍去），
即．
6．如图，直线交反比例函数的图象于点和点．
(1)填空：______，______．
(2)连接，，求的面积；
(3)根据图象，直接写出当时的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）把点坐标代入直线中，即求出m的值，即可得出A点坐标，将A点坐标打代入反比例表达式，求出k即可；
（2）令直线，求出C点坐标，再将一次函数和反比例函数联立构造方程组求出B点坐标，直接利用，即可求出结果；
（3）根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，再结合点A、点B的坐标和图象即可得出结果．
【详解】（1）将点坐标代入直线，得：
故
将代入，得
，
故答案为：6 6
（2）
令直线中，得
故
两个函数联立成方程组，得：
解得或
故
；
（3）根据图像可知：当或时，
【点睛】此题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用．利用数形结合的思想是解题的关键．
题型二 一次函数与反比例函数的交点问题
1．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据待定系数法，可得函数解析式，根据解方程，可得答案．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法得出，的值是解题关键．
【详解】解：一次函数与反比例函数的图象相交于点，
，，
解得，
关于的方程为，
，
解得，，
故选：D．
2．一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，则不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，先求出点坐标，再画出函数图象，根据函数图象得到一次函数图象在反比例函数的图象上方时的取值即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图象过点，，
∴，
∴，
∴，
画出函数图象如下：
由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数的图象上方时，的取值范围是或，
∴不等式的解集是或，
故选：．
3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过点B、，则的面积是
【答案】8
【分析】先求出点坐标，进而求出反比例函数的解析式，求出点坐标，平行四边形的性质，求出点坐标，延长交x轴于点F， 待定系数法求直线的解析式，进而可求出点的坐标，根据，计算求解即可．
【详解】解：把，代入，得：，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点B、，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∵，
∴，
把点先向左移动1个单位，再向下移动2个单位得到点，
∴把点先向左移动1个单位，再向下移动2个单位得到点，
∴，
如图，延长交x轴于点F，
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，，
∴，
∴，
∴的面积为8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，坐标与图形，点坐标的平移，平行四边形的性质．熟练掌握反比例函数解析式，一次函数解析式，坐标与图形，点坐标的平移，平行四边形的性质是解题的关键．
4．如图，矩形OABC的顶点B是反比例函数与直线在第一象限内的一个交点，其中，若另一个交点是D，则的面积是 ．
【答案】10
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，先求出反比例函数的解析式，然后利用解方程组求出点D的坐标，然后根据计算即可．
【详解】解：设，则，
∴点的坐标为，
∴ ，解得，
∴点的坐标为，
代入反比例函数得：，
∴反比例函数解析式为，
解方程组，
解得，，
∴点D的坐标为，
∴，
故答案为：．
5．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，．
(1)______，______，点坐标为______．
(2)不等式的解集是______．
(3)已知轴，以，为边作菱形，求菱形的面积．
【答案】(1)；3；
(2)或
(3)20
【分析】（1）将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出、的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标；
（2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象下方时，自变量的取值范围；
（3）作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案．
【详解】（1）解：将代入得，解得，
，
将代入得，
点与关于原点对称，
；
故答案为：；3；；
（2）解：不等式的解集是指反比例函数图象在直线上方的图象对应的的范围，
由图象知，当或时，，反比例函数图象在直线上方，
故答案为：或；
（3）解：作于，如图所示：
，，
，，
在中，由勾股定理得，
四边形是菱形，
，
菱形的面积为．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，菱形的性质等知识，运用数形结合思想是解题的关键．
6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于．
(1)求m、n的值及反比例函数的表达式；
(2)求的面积：
(3)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
（1）将，代入求出，的值，再把点坐标代入反比例函数，求出的值即可；
（2）先求出的长，再利用即可得出结论；
（3）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论．
【详解】（1）解：将，代入得，
，，
解得，，
将代入，得，即；
（2）解：，当时，，
即，
，
，
；
（3）解：直线向下平移个单位得新直线，
与联立得，
消得，化简得，
直线与反比例函数的图象有唯一交点，
，
解得或，
，
（舍去），
即．
题型三 一次函数与反比例函数的实际应用
1．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（ ）

A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时
【答案】B
【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间．
【详解】解：时，设线段的解析式为，
由于线段过点，则有，
解得：，
即线段解析式为；
当时，设，把点代入中，得，
即，
当时，，得；当时，，得；
∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）；
故选：B．
【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合．
2．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（ ）
A．月份的利润为万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元
C．月份该厂利润达到万元
D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元
【答案】D
【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答．
【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，，
反比例函数的解析式为：，
∵当时，，
月份的利润为万元，正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意；
C、设一次函数解析式为：，
则，解得：，
故一次函数解析式为：，
当时，，解得：，
∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意．
D、当时，，解得：，
∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键．
3．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．

【答案】12
【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案．
【详解】解：设一次函数关系式为：，
将，代入，得，
解得，
，
设反比例函数关系式为：，
将代入，得，
，
中，
令，解得；
反比例函数中，令，解得：，
（min），
水温不低于的时间为min．
故答案为：．
4．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点，直线与y轴相交于点，与双曲线相交于点，线段、及、两点之间的曲线所围成的区域记作．
（1） ；
（2）若区域（不包括边界）内的整点的个数大于等于，则的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查的是反比例函数的图象和性质、平面直角坐标系中整点的定义，掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出．
（2）先由题意得出点坐标，再加上，从而得出直线表达式，再确定，根据在和进行分类讨论，写出区域内所有整数点，列举出满足条件的整数点，进而综合两种情况得到答案．
【详解】解：（1）将代入中，
解得：，
故答案为：．
（2），
当时，，
，且,
设直线表达式为，
代入和坐标可得，
解得：，
直线表达式为，
∴直线过点，，
时，与无交点，不合题意，
、、在上，
均不在区域，
当时，，
当在时，若恰好经点过时，点在直线上，
此时内有一个整点，即，
将代入中，
解得：，
中至少有个整点，
．
当在时，若恰好经过点时，
此时内有两个整点，即，，
将代入中，
解得：，即，
中至少有个整点，
,
综上：的取值范围是或，
故答案为：或．
5．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；
(2)求全天的温度与时间之间的函数关系式；
(3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？
【答案】(1)20摄氏度
(2)
(3)小时
【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键．
（1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度；
（2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；
（3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可．
【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：，
根据题意，可得，
解得，
直线，
当时，，
恒定温度为：；
（2）由（1）可知：一次函数解析式为，
根据图象可知：，
设小时内函数解析式为：，
根据题意，可得方程：，
，
函数解析式为：，
小时函数解析式为：；
（3）当时，，
，
当时，，
，
在时时内有个小时气温是低于的，
气温低于的总时间为：，
气温高于的适宜温度是：．
6．我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题：
(1)第3分钟时消毒效果为________效力；
(2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式；
(3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
【答案】(1)
(2)深消毒阶段的函数解析式为；降消毒阶段的函数解析式为；
(3)本次消毒有效
【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了求一次函数及反比例函数解析式，求自变量值和函数值，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）设渐消毒阶段的函数解析式为，将点代入，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的函数值即可；
（2）分别设深消毒阶段的函数解析式为，降消毒阶段的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）分别求出深消毒阶段和降消毒阶段消毒效果达到4效力的时间，作差比较即可．
【详解】（1）解：由图象可知，第3分钟处于段渐消毒阶段，
设渐消毒阶段的函数解析式为，
将点代入得：，
解得：，
渐消毒阶段的函数解析式为，
当时，，
即第3分钟时消毒效果为效力，
故答案为：
（2）解：设深消毒阶段的函数解析式为，
将点和代入得：，
解得：，
深消毒阶段的函数解析式为；
设降消毒阶段的函数解析式为，
将点代入得：，
解得：，
降消毒阶段的函数解析式为；
（3）解：当深消毒阶段消毒效果达到4效力时，则，
解得：；
当降消毒阶段消毒效果达到4效力时，则，
解得：，
，
即本次消毒有效．
题型四 一次函数与反比例函数的其他综合应用
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，一次函数的图象与轴交于点．则下列结论不正确的是（ ）
A．反比例函数的表达式为
B．一次函数的表达式为
C．当时，自变量的取值范围为
D．线段与线段的长度比为
【答案】D
【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，利用图象法比较两个函数的大小，以及一次函数与坐标轴交点，勾股定理求两点间距离，体现了数形结合思想．根据相关知识求解，并判断，即可解题．
【详解】解：反比例函数过点，
，
反比例函数的表达式为，
故A项正确，不符合题意；
反比例函数过点，
，解得，
即，
一次函数过点，，
，解得，
一次函数的表达式为；
故B项正确，不符合题意；
由图知，当时，自变量的取值范围为，
故C项正确，不符合题意；
当时，，解得，
，
，，
线段与线段的长度比为，
故D项错误，符合题意；
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点均在反比例函数的图象上，连接，，，过点作轴于点，过点作轴于点，则下列结论中正确的有（ ）

①；②；③直线与轴的交点坐标为；
④的值随．的增大而增大．
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，根据题意图形即可判断①正确，根据证明，先求得直线的函数表达式为，进而即可判断③，分，两种情形讨论，即可求解．
【详解】提示：①点P，Q都在第一象限，
，①正确；
①，
②正确；
③设直线的函数表达式为,则，
解得
∴直线的函数表达式为，
当时，
直线与轴的交点坐标为，③正确；
④直线的函数表达式为，直线的函数表达式为
当时，的值随的增大而减小，
当时，的值随的增大而增大，
④错误．
故选：D．
3．如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 ．
【答案】和
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数和一次函数解析式，坐标与图形，熟练掌握一次函数和的反比例函数的图象与性质是解题的关键．
根据，两点在反比例函数的图象上．求出反比例函数解析式、点的坐标，根据点、、的坐标，分别求出直线、的解析式，根据坐标与图形，分析当时、当时，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的情况，得出答案即可．
【详解】解：∵，两点在反比例函数的图象上，
∴，反比例函数解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴设直线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线解析式为，
设直线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线解析式为，
∵当时，，，，
∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，
∵，当时，，，
∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，
综上所述，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为和，
故答案为：和．
4．如图，一次函数与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数 交于M，N两点，若，则k的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，中点坐标公式的应用，先求解，，设，而，可得，可得，可得，再进一步可得答案．
【详解】解：∵一次函数与坐标轴交于A，B两点，
当，则，当，则，
∴，，
设，而，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
5．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于点C、D．已知点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)观察图像，直接写出时x的取值范围是________．
【答案】(1)，
(2)
(3)或．
【分析】本题考查反比例函数、一次函数与方程的关系，图像法求解不等式，直角坐标系内面积求解；理解函数与方程，不等式的联系是解题的关键．
（1）将已知的点坐标代入反比例函数解析式，求解参数k，将点代入反比例函数解析式，求解m，由点A，B，坐标，构建二元一次访组求解，得一次函数解析式；
（2）由一次函数解析式求得点D坐标，进而求得的面积；
（3）把不等式化为，再求解两个函数的交点的横坐标，再结合图像求解即可．
【详解】（1）解：的图像经过，
∴，则，
∴．
∵的图像经过点，则，
∴．
一次函数的图像经过，，
，解得
∴
（2）解：∵直线，
当时，，
∴，，
∴的面积
（3）解：∵，即，
∴，
如图，
当时，
∴，
解得：，，
∴两点横坐标分别为，，
∴的解集是或．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于，与反比例函数的图象交于，．和面积均为3．
(1)求反比例函数的表达式和的面积．
(2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集 ．
(3)点M为y轴上一点，点N为反比例函数图象上一点，当以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点N的坐标．
【答案】(1)，3
(2)
(3)点的坐标为或．
【分析】（1）解方程得到，，求得，，设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（2）设，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到不等式的解集为；
（3）设，，，，根据平行四边形的性质和中点坐标公式列方程组即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，令，则，令，则，
，，
，，
设，
和面积均为3，
，
，
，
，
反比例函数的表达式为，
的面积的面积的面积面积；
（2）解：设，
面积为3，
，
，
，
不等式的解集为，
故答案为：；
（3）解：设，，，，
以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，
则有当是平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：
解得；
即点；
当是对角线时，同理可得：
，解得，
即点（不合题意舍去）；
当是对角线时，同理可得：
解得，
故点；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形性质，不等式的解集，三角形的面积的计算，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
题型五 反比例函数与几何综合
1．对于平面直角坐标系中的任意一点，我们把点称为点的“和差点”．如图，的直角边在轴上，点，若点在反比例函数的图象上，点为点的“和差点”，且点在的直角边上，则的面积为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据题意设出点的坐标，即可得出点的坐标，根据点在的直角边上求出的值，从而求出的面积．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是由新定义求出点Q的坐标．
【详解】解：根据题意可设点的坐标为，且，
则点的坐标为，，
点在线段上，
则，
解得：，（舍，
此时点的坐标为，，
此时，
的面积，
故选：B．
2．如图，点A是反比例函数在第二象限图象上的一点，其纵坐标为1，分别作轴、轴，点D为线段的三等分点作轴，交双曲线于点E，连接．若，则k的值为（ ）
A．-2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
解得．
故选：B．
3．如图，在平行四边形中，点在轴正半轴上，点是的中点，若反比例函数的图象经过，两点，且的面积为，则 ．

【答案】
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．
延长交点轴于，由的面积，可求，设点坐标为，可得，进而求解坐标，由中点坐标公式得到坐标，由都在反比例函数图象上列等式，即可求解．
【详解】解：如图，

延长交点轴于，
的面积为，点是的中点，
设点坐标为，
，
，
，
根据中点坐标公式可得，
都在反比例函数图象上，
，
解得，
．
故答案为：．
4．如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点D， 且与直角边相交于点C， 点A 在x轴上．若点B的坐标为，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得点，则有，然后再把点C的横坐标代入进行求解即可．
【详解】解：∵点D是的中点，且点，
∴点，即，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵轴，
∴点C的横坐标为8，
∴，
∴点C的坐标为；
故答案为．
5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．
(1)______，点的坐标为______；
(2)若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图像于点，求面积的最大值．
【答案】(1)；；
(2)的面积的最大值为．
【分析】（1）将点代入反比例函数解析式求出，根据坐标中点公式求出点的横坐标即可；
（2）由两点坐标求出直线的解析式为，设坐标为，则，进而得到，即可解答
【详解】（1）解：拫据题意，将点代入反比例函数
得，解得，
∵点横坐标为：，点横坐标为，
故点横坐标为：，
故点坐标为．
故答案为：；；
（2）设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点为线段上的一个动点，
∴设，（），
∵轴，
∴），
∴，
∴当时，的面积的最大值为．
【点睛】本题考查了函数与几何综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形面积、坐标中点求法、二次函数的应用等知识点，掌握相关知识点是解题关键．
6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B．
(1)求k的值；
(2)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点Q，若的面积为1，求点P的坐标．
【答案】(1)4
(2)点P的坐标为或
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
（1）将点代入一次函数，求出的值，得点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可得到答案；
（2）设，则，根据三角形的面积公式即可得到答案．
【详解】（1）解：将点代入一次函数，
，
故，
将代入反比例函数，
得；
（2）解：由（1）得：，
联立，
解得：或，
可知
设，且，交x轴于点M，如图；
，
，
，
解得，
点P的坐标为或．
1．如图所示平面直角坐标系中A点坐标，B点坐标，的平分线与相交于点C，反比例函数经过点C，那么k的值为（ ）
A．24 B． C． D．30
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：如图，作，
∵A点坐标，B点坐标，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
设，,则，由勾股定理得：
，
解得：，
∴，
∵点C在反比例函数图象上，
∴．
故选：B．
2．如图，四边形是平行四边形，在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过第一象限点A，且平行四边形的面积为4，则k的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
作于，由四边形为平行四边形得轴，则可判断四边形为矩形，所以，根据反比例函数的几何意义得到，利用反比例函数图象得到．
【详解】解：作于，如图，
∵四边形为平行四边形，
∴轴，
∴四边形为矩形，
∴，
，
而，
，
故选：A．
3．如图，矩形的边与轴平行，顶点的坐标为，点、在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是（ ）
A． B．18 C． D．6
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握矩形性质是关键．先求出点、坐标，再求出线段的中点坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，依据反比例函数图象上点的坐标特征求出值即可．
【详解】解：矩形的边与轴平行，顶点的坐标为，点、在反比例函数的图象上，
，3，，
线段的中点坐标为，
为矩形，
线段的中点坐标为也是线段中点的坐标，
，，
解得，，
，
点在反比例函数的图象上，
．
故选：B
4．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得、的坐标是关键．
作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点，通过，求得、的坐标，根据全等三角形的性质可以求得、的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得的坐标，求出，即可求出．
【详解】解：作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点，
在中，令，解得：，即的坐标是．
令，解得：，即的坐标是．
则．
∵，
∴，
又∵直角中，，
∴，
在和中，
，
∴，
同理，，
，
故的坐标是的坐标是．
代入得：，则函数的解析式是：．
，
则的横坐标是2，把代入得：．
即的坐标是，
，
，
故选：B．
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，连接，若点为的中点，的面积为，则值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，首先设，表示出，再根据都在双曲线上，依次表示出坐标，再由，转化为，列出等式即可求解，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
【详解】解：设，
∵矩形，
∴，
∵为的中点，
∴也为的中点，
∵点在轴上，
∴的纵坐标为，
∴，
∵为的中点，
∴点，
∴点，
∵的面积为，，
∴，
∴，
解得，
故选：．
6．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为， 以为一边向上作，对角线与相交于点P，若点C和点P同时在反比例函数图象上，则点B的坐标为 ．

【答案】
【分析】此题考查反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，设点B的坐标为，得到点P的坐标为，点C的坐标是，根据点C和点P同时在反比例函数图象上得到关于m、n的方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：设点B的坐标为，
∵四边形是平行四边形，A点的坐标为，O点的坐标为，
∴点P是、的中点，
∴点P的坐标为，即，
∴点C的坐标是
∵点C和点P同时在反比例函数图象上，
∴，
解得，
∴点B的坐标为
故答案为：．
7．如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，反比例函数的性质，根据平行四边形的性质得出，，设点D的坐标为，得出点B的坐标为，求出，根据，得出，得出A点的坐标为，求出点C的坐标为，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵点D在反比例函数上，
∴设点D的坐标为，
∵D为的中点，
∴点B的坐标为，
∵点B在反比例函数上，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴A点的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∵点C在上，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
8．如图，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点、，已知点的纵坐标为，点的横坐标为，则的值为 ．
【答案】/0.6
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据的几何意义解答即可．
【详解】解：连接、，由的几何意义，
点的纵坐标为，点的横坐标为，
，
，
，
．
故答案为：．
9．如图，点、在反比例函数上，以、为邻边作平行四边形，点恰好落在反比例函数上，若四边形的面积是，则的值是 ．

【答案】
【分析】连接，交于点，作轴，轴，轴，设点，根据平行四边形的性质及三角形的面积公式可得点的坐标，利用中点坐标公式可得点的坐标即可求得的值．
【详解】解：如图，连接，交于点，作轴，轴，轴，
∵反比例函数解析式为，
∴，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
设点，点，
∵四边形是平行四边形，四边形的面积是，
∴，
∴，
整理得，
即，
∴或（不合题意舍去），
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴与互相平分，
∴点，，
∴，
∵点恰好落在反比例函数上，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，中点坐标公式，解决问题的关键是换元思想以及数形结合思想的运用．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数的图象经过线段的中点D，交于点C，连接．若的面积为12，则 ；的面积为 ．

【答案】 12
【分析】本题考查的是反比例函数与几何综合，设，可得，，再结合三角形的面积可得的值，如图，过作轴于，设，，则由中点含义可得：，再结合面积列方程求解即可．
【详解】解：设，
∵轴于点B，的中点为D，
∴，
∴，
∵的面积为12，
∴，
∴，
如图，过作轴于，

设，，
则由中点含义可得：，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
故答案为：，
11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中．
(1)求反比例函数解析式及的面积；
(2)请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）先求出反比例函数解析式和点C坐标，再根据计算即可；
（2）根据函数图象，直接写出不等式解集即可；
【详解】（1）解：将点代入中，得：，连结
，
将点代入中，得： ，
反比例函数的解析式为：，
令，则，
解得：，
点，
联立方程得：，
解得：，，
点．
．
（2）解：∵，，．
根据图象可知，或．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点B，与x轴相交于点 ．
(1)求直线与双曲线的表达式；
(2)点P为双曲线上的任一点，若，求P点坐标．
【答案】(1)直线的表达式为，双曲线的表达式为；
(2)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合中的三角形面积问题，待定系数法；
（1）将分别代入直线和双曲线的表达式，即可求解；
（2）由直线的表达式可求，由三角形的面积得，①当在第一象限时
由三角形面积得，即可求解；②当在第三象限时，同理可求；
掌握解法，能根据点在不同象限进行分类讨论是解题的关键．
【详解】（1）解：直线与双曲线相交于点，
，
，
解得：，
，
直线的表达式为，
双曲线的表达式为；
（2）解：由得，
当时，，
解得：，
，
，
，
①当在第一象限时
，
，
，
，
解得：，
；
②当在第三象限时
，
，
，
解得：
，
解得：，
；
综上所述：的坐标为或．
13．如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点和点 B．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请结合函数图象，直接写出不等式 的解集；
(3)如图， 以为边作菱形， 使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接， 求的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)10
【分析】本题主要考查的是反比例函数的综合题型，解题关键：一是求出反比例函数解析式，二是求出菱形的面积．
（1）先把点代入正比例函数解析式求出n的值，再把求出的点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值；
（2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称的，可得出点B的坐标，然后根据图象即可写出解集；
（3）根据题意作出辅助线，然后求出的长，根据菱形的性质求出的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出的面积．
【详解】（1）解：把点代入正比例函数可得：，
∴点，
把点代入反比例函数，
可得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵点A与点B是关于原点对称的，
∴点，
∴根据图象可得，不等式的解集为：或；
（3）解：如图所示，过点A作轴，垂足为G，
∵，
∴
在中，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴．
14．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，．
(1)若点的坐标为，则的值是______．
(2)若点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，，与之间的距离为1，求的值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】本题考查了反比例函数图像上的点的坐标特征，正确表示点的坐标是解题的关键．
（1）根据题意求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得、的值，进而求得的值；
（2）设点的纵坐标为，由题意可知点的纵坐标，根据轴，得出，得到，根据，，得出，得到，即可得出，解出即可求出的值．
【详解】（1）点的坐标为，轴，，
点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，
，，
．
故答案为：．
（2）设点的纵坐标为，则点的纵坐标为，
轴，，
，，
，，
，，
，，
，，
，
，
．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在x轴上是否存在点P，使的面积等于的面积的3倍．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)4
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用：
（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）先由直线解析式求得，根据的面积的面积的面积求得的面积；
（3）根据题意得到，即，即可求得的长，从而求得P的坐标．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得，
故反比例函数的表达式为：；
将点代入得：，
故点，
将点，代入得
，
解得，
故一次函数解析式为；
（2）解：由一次函数可知，当时，当时，
所以，，
则的面积的面积的面积；
（3）解：存在，点P的坐标为或；
∵的面积等于的面积的3倍．
∴，即，
∴，
∴点P的坐标为或．
1．（2022·江苏无锡·中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（-，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】将点A的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB与y轴交点D的坐标，确定OD的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵A（-，-2m）在反比例函数y=的图像上，
∴m=(-) ( -2m)=2，
∴反比例函数的解析式为y=，
∴B（2，1），A（-，-4），
把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n，
∴n=-3，
∴直线AB的解析式为y=2x-3，
直线AB与y轴的交点D（0，-3），
∴OD=3，
∴S△AOB=S△BOD+S△AOD
=×3×2+×3×
=．
故选：D．
．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法．
2．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限求得，，再根据为双曲线上一点求得；根据点A与点M的坐标求得直线AM解析式为，进而求得，根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为，进而求得，最后计算即可．
【详解】解：∵直线与双曲线相交于A，B两点，
∴联立可得：
解得：或
∵点A在第一象限，
∴，．
∵为双曲线上一点，
∴．
解得：．
∴．
设直线AM的解析式为，
将点与点代入解析式可得：
解得：
∴直线AM的解析式为．
∵直线AM与y轴交于C点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设直线BM的解析式为，
将点与点代入解析式可得：
解得：
∴直线BM的解析式为．
∵直线BM与y轴交于D点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．
3．（2020·江苏徐州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把P(，)代入两解析式得出和的值，整体代入即可求解C
【详解】∵函数与的图像交于点P(，)，
∴，，即，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．
4．（2020·江苏常州·中考真题）如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】D
【分析】作交BD的延长线于点E，作轴于点F，计算出AE长度，证明，得出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用，可计算出值．
【详解】作交BD的延长线于点E，作轴于点F
∵
∴
∴为等腰直角三角形
∵
∴，即
∴DE=AE=
∵BC=AO，且，
∴
∴
∴
∴
设点A，
∴
解得：
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点Ａ和点Ｄ表示出ｋ的计算是解题的关键．
5．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为 ．

【答案】4
【分析】根据题意可设点P的坐标为，则，把代入一次函数解析式中求出m的值进而求出点P的坐标，再求出k的值即可．
【详解】解：∵轴于点轴于点，
∴点P的横纵坐标相同，
∴可设点P的坐标为，
∵为的中点，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点P的坐标是解题的关键．
6．（2022·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点.若，则k的值为 ．
【答案】/0.75
【分析】由点A、B、C的坐标可知，m＝n，点B、C关于原点对称，求出直线BC的解析式，不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，根据列式求出，进而可得k的值．
【详解】解：∵点是函数图象上的三点，
∴，，
∴m＝n，
∴，，
∴点B、C关于原点对称，
∴设直线BC的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，
把x＝m代入得：，
∴D（m，），
∴AD＝，
∴，
∴，
∴，
而当m＜0时，同样可得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，中心对称的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握反比例函数的图象和性质，学会利用数形结合的数学思想解答是解题的关键．
7．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，点分别在函数的图像上，点在轴上．若四边形为正方形，点在第一象限，则的坐标是 ．
【答案】（2，3）
【分析】根据正方形和反比例函数图像上点的坐标特征，设D点坐标为（m，），则A点坐标为（ ，），进而列出方程求解．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴设D点坐标为（m，），则A点坐标为（ ，），
∴m-（）=，解得：m=±2（负值舍去），
经检验，m=2是方程的解，
∴D点坐标为（2，3），
故答案是：（2，3）．
【点睛】本题主要考查反比例函数与平面几何的综合，掌握反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
8．（2021·江苏宿迁·中考真题）如图，点A、B在反比例函数的图像上，延长AB交轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则 = ．
【答案】8
【分析】由的面积为12，故作，设，即可表示的面积，再利用中点坐标公式表示B点坐标，利用B点在反比例图像上即可求解．
【详解】解：作，设，
的面积为12
B点是AC中点
B点坐标
B点在反比例图像上
又
故答案是：8．
【点睛】本题考查反比例函数的综合运用、中点坐标公式和设而不解的方程思想，属于中档难度的题型．解题的关键是设而不解的方程思想．此外设有两点，则的中点坐标是：．
9．（2020·江苏南通·中考真题）将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝ ．
【答案】-3
【分析】由于一次函数y＝kx 2 k（k＞0）的图象过定点P（1， 2），而点P（1， 2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx 2 k（k＞0）相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案．
【详解】解：一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，
因此将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，
平移前，这两个点的坐标为为（a﹣1，），（，b+2），
∴a﹣1＝﹣，
∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点对称是解决问题的关键．
10．（2023·江苏·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．C是y轴上的一点，连接、．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)若的面积是6，求点C的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；
（2）设点，点E是一次函数与y轴的交点，求出，则，再由，得到，问题随之得解．
【详解】（1）解：点在比例函数上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∴，
∵点，点在一次函数的图象上，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为．
（2）解：如图，所示：

根据题意：设点，
∵点E是一次函数与y轴的交点，
∴点，
∴，
∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∴或，
∴点C的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
11．（2023·江苏泰州·中考真题）在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图像如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图像相交于点E，边与函数、的图像分别相交于点G、H，一次函数的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接．

(1)，，求函数的表达式及的面积；
(2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线与边的交点是否在函数的图像上？并说明理由．
【答案】(1)函数的表达式为，的面积为
(2)不变，理由见解析
(3)在，理由见解析
【分析】（1）由，，可得，，，，则，当，，则；当，，解得，则；当，，解得，则；待定系数法求一次函数的解析式为，当，，则，根据，计算求解即可；
（2）求解过程同（1）；
（3）设直线的解析式为，将，，代入得，，解得，即，当，，则直线与边的交点坐标为，当，，进而可得结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，，，
∴，
当，，则；
当，，解得，则；
当，，解得，则；
设一次函数的解析式为，
将，，代入得，，解得，
∴，
当，，则，
∴；
∴函数的表达式为，的面积为；
（2）解：的面积不变，理由如下：
∵，，，，
∴，
当，，则；
当，，解得，则；
当，，解得，则；
设一次函数的解析式为，
将，，代入得，，解得，
∴，
当，，则，
∴；
∴的面积不变；
（3）解：直线与边的交点在函数的图像上，理由如下：
设直线的解析式为，
将，，代入得，，解得，
∴，
当，，
∴直线与边的交点坐标为，
当，，
∴直线与边的交点在函数的图像上．
【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数解析式，反比例函数解析式，交点坐标．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
12．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
(1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．

【答案】(1)点在这个反比例函数的图像上，理由见解析
(2)①，；②点的坐标为
【分析】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于，得到，再结合等腰三角形三线合一得到为边上的中线，即，求出，进而求得，于是得到点在这个反比例函数的图像上；
（2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论；②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，于是得到结论．
【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图像上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图像上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：
，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
13．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求k与m的值；
(2)为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
【答案】(1)k的值为，的值为6
(2)或
【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；
（2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
（2）当时，．
∴．
∵为x轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
暑假作业11 反比例函数与几何综合
知识点01 反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质：当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.
（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
知识点02 反比例函数与一次函数关系
知识点03 反比例函数与几何关系
题型一 一次函数与反比例函数图象综合判断
1．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（ ）
A．B． C． D．
2．反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
3．已知一次函数（为常数，且）的图象不经过第二象限，且点在反比例函数的图象上，若，则的值可能是 ．（写出一个即可）
4．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数 图象上，若直线的函数表达式为，则的值为 ．
5．如图，已知直线交双曲线于点和点B，点为x轴上一动点，直线交直线于点C，交双曲线于点D．
(1)求a和k值；
(2)若，请求出m的值．
6．如图，直线交反比例函数的图象于点和点．
(1)填空：______，______．
(2)连接，，求的面积；
(3)根据图象，直接写出当时的取值范围．
题型二 一次函数与反比例函数的交点问题
1．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
2．一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，则不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过点B、，则的面积是
4．如图，矩形OABC的顶点B是反比例函数与直线在第一象限内的一个交点，其中，若另一个交点是D，则的面积是 ．
5．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，．
(1)______，______，点坐标为______．
(2)不等式的解集是______．
(3)已知轴，以，为边作菱形，求菱形的面积．
6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于．
(1)求m、n的值及反比例函数的表达式；
(2)求的面积：
(3)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值．
题型三 一次函数与反比例函数的实际应用
1．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（ ）

A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时
2．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（ ）
A．月份的利润为万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元
C．月份该厂利润达到万元
D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元
3．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．

4．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点，直线与y轴相交于点，与双曲线相交于点，线段、及、两点之间的曲线所围成的区域记作．
（1） ；
（2）若区域（不包括边界）内的整点的个数大于等于，则的取值范围是 ．
5．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；
(2)求全天的温度与时间之间的函数关系式；
(3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？
6．我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题：
(1)第3分钟时消毒效果为________效力；
(2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式；
(3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
题型四 一次函数与反比例函数的其他综合应用
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，一次函数的图象与轴交于点．则下列结论不正确的是（ ）
A．反比例函数的表达式为
B．一次函数的表达式为
C．当时，自变量的取值范围为
D．线段与线段的长度比为
2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点均在反比例函数的图象上，连接，，，过点作轴于点，过点作轴于点，则下列结论中正确的有（ ）

①；②；③直线与轴的交点坐标为；
④的值随．的增大而增大．
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
3．如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 ．
4．如图，一次函数与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数 交于M，N两点，若，则k的值为 ．
5．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于点C、D．已知点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)观察图像，直接写出时x的取值范围是________．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于，与反比例函数的图象交于，．和面积均为3．
(1)求反比例函数的表达式和的面积．
(2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集 ．
(3)点M为y轴上一点，点N为反比例函数图象上一点，当以C，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点N的坐标．
题型五 反比例函数与几何综合
1．对于平面直角坐标系中的任意一点，我们把点称为点的“和差点”．如图，的直角边在轴上，点，若点在反比例函数的图象上，点为点的“和差点”，且点在的直角边上，则的面积为（　　）
A．2 B． C．1 D．
2．如图，点A是反比例函数在第二象限图象上的一点，其纵坐标为1，分别作轴、轴，点D为线段的三等分点作轴，交双曲线于点E，连接．若，则k的值为（ ）
A．-2 B． C． D．
3．如图，在平行四边形中，点在轴正半轴上，点是的中点，若反比例函数的图象经过，两点，且的面积为，则 ．

4．如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点D， 且与直角边相交于点C， 点A 在x轴上．若点B的坐标为，则点C的坐标为 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．
(1)______，点的坐标为______；
(2)若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图像于点，求面积的最大值．
6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B．
(1)求k的值；
(2)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点Q，若的面积为1，求点P的坐标．
1．如图所示平面直角坐标系中A点坐标，B点坐标，的平分线与相交于点C，反比例函数经过点C，那么k的值为（ ）
A．24 B． C． D．30
2．如图，四边形是平行四边形，在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过第一象限点A，且平行四边形的面积为4，则k的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
3．如图，矩形的边与轴平行，顶点的坐标为，点、在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是（ ）
A． B．18 C． D．6
4．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．1
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，连接，若点为的中点，的面积为，则值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为， 以为一边向上作，对角线与相交于点P，若点C和点P同时在反比例函数图象上，则点B的坐标为 ．

7．如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ．
8．如图，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点、，已知点的纵坐标为，点的横坐标为，则的值为 ．
9．如图，点、在反比例函数上，以、为邻边作平行四边形，点恰好落在反比例函数上，若四边形的面积是，则的值是 ．

10．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数的图象经过线段的中点D，交于点C，连接．若的面积为12，则 ；的面积为 ．

11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中．
(1)求反比例函数解析式及的面积；
(2)请根据图象直接写出不等式的解集．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点B，与x轴相交于点 ．
(1)求直线与双曲线的表达式；
(2)点P为双曲线上的任一点，若，求P点坐标．
13．如图，已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点和点 B．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请结合函数图象，直接写出不等式 的解集；
(3)如图， 以为边作菱形， 使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接， 求的面积．
14．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，．
(1)若点的坐标为，则的值是______．
(2)若点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，，与之间的距离为1，求的值．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在x轴上是否存在点P，使的面积等于的面积的3倍．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2022·江苏无锡·中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（-，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2020·江苏徐州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·江苏常州·中考真题）如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是（ ）
A． B．4 C． D．6
5．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为 ．

6．（2022·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点.若，则k的值为 ．
7．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，点分别在函数的图像上，点在轴上．若四边形为正方形，点在第一象限，则的坐标是 ．
8．（2021·江苏宿迁·中考真题）如图，点A、B在反比例函数的图像上，延长AB交轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则 = ．
9．（2020·江苏南通·中考真题）将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝ ．
10．（2023·江苏·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．C是y轴上的一点，连接、．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)若的面积是6，求点C的坐标．
11．（2023·江苏泰州·中考真题）在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图像如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图像相交于点E，边与函数、的图像分别相交于点G、H，一次函数的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接．

(1)，，求函数的表达式及的面积；
(2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线与边的交点是否在函数的图像上？并说明理由．
12．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
(1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．

13．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求k与m的值；
(2)为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．